Tài liệu 62 bài toán tổ hợp và xác suất tuyển chọn luyện thi đại học 2014 - nguyễn tùng giang

VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỌN LỌC LTĐH 1/ Tính giá trị của biểu thức S  C130  C131  C132  C133  ...  C1312  C1313 . 2/ Tính giá trị của biểu thức S  C130  C131  C132  C133  ...  C1312  C1313 . 3/ Tính giá trị của biểu thức S  C160  C161  C162  C163  ...  C1615  C1616 . 4/ Cho đa thức P(x) = (1+x)9 + (1+x)10 + (1+x)11 + (1+x)12 + (1+x)13 + (1+x)14 . Khai triển và rút gọn ta được P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a13x13 + a14x14 . Tính hệ số a9 . 5/ Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: C21n  C23n  C25n  C27n  ...  C22nn 1  C20n  C22n  C24n  C26n  ...  C22nn . 6/ Tìm n sao cho: Pn 3  720. An5 .Pn 5 . [ ĐS: n = 7 ] 1 Pn 1 . 2 [ ĐS: n = 4 ] 7/ Tìm n sao cho: An3  3 An2  8/ Giải phương trình: 2 Ax2  50  A22x . [ ĐS: x = 5 ] 9/ Giải phương trình: Ax2 .C xx 1  48 . [ ĐS: x = 4 ] 10/ Giải phương trình: Px  2  210 . Axx14 .P3 [ ĐS: x = 5 ] 11/ Tìm các số nguyên dương x thỏa mãn: C 1x  6C x2  6C x3  9 x 2  14 x [ ĐS: x = 7 ] 12/ Giải phương trình: C 1x  C x2  C x3  13/ Giải phương trình: 7 x 2 [ ĐS: x = 4 ] Ax4 24  . 3 x4 Ax 1  C x 23 [ ĐS: x = 5 ] 14/ Rút gọn B = C53 .C42  C42 .C31  C31.C30 . [ ĐS: B = 81 ] n 1  15/ Trong khai triển Niu –tơn của  x   , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng x  thứ hai là 35. Tính số hạng không chứa x trong khai triển nói trên. [ ĐS: 252 ] 16/ 1 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề Toán LTĐH – Đề và đáp án – Tài liệu … VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỌN LỌC LTĐH a/ Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. [ ĐS: 120 ] b/ Hãy tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên. [ ĐS: 9.333.240 ] 17/ Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 a/ Có thể lập được bao nhiêu số lẽ có bốn chữ số khác nhau từ 5 chữ số nói trên. [ĐS: 72 ] b/ Có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 có 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số nói trên. [ ĐS: 24 số ] 18/ Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ năm chữ số sau đây: 0, 1, 2, 3, 4. [ ĐS: 625 số ]. 19/ Với mười chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà các chữ số đó đều khác nhau. [ ĐS: 2.296 số ]. 20/ Từ tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. [ ĐS: 1.260 số ]. 21/ Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó, chữ số đầu tiên là chữ số lẽ. [ ĐS: 42.000 số ] 22/ Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7, có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. [ ĐS: 54 số ]. 23/ Người ta viết các số có sáu chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: trong các số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy ? [ ĐS: 1800 số ]. 24/ Cho năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Từ năm chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số nói trên có mặt một lần ? [ ĐS: 60 số ]. 25/ Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn. [ ĐS: 9.105.5 số ]. 26/ Cho bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm năm chữ số khác nhau. [ĐS: 1.260 số ]. 27/ Xét số gồm chín chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu: 2 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề Toán LTĐH – Đề và đáp án – Tài liệu … VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỌN LỌC LTĐH a/ Năm chữ số 1 được xếp liền nhau ? [ ĐS: 120 số ] b/ Các chữ số được xếp tùy ý ? [ ĐS: 3.024 số ]. 28/ Từ mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1. [ ĐS: 21.840 số ]. 29/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau chia hết cho 10. [ ĐS: 3.024 số ]. 30/ Xếp ba viên bi màu đỏ có bán kính khác nhau và ba viên bi màu xanh có bán kính bằng nhau vào một dãy bảy ô trống. a/ Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau ? [ ĐS: 840 cách ]. b/ Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho ba viên bi màu đỏ xếp cạnh nhau và ba viên bi màu xanh xếp cạnh nhau. [ ĐS: 36 cách ] 31/ Một tổ gồm 8 học sinh trai và 6 học sinh gái. Cần lấy một nhóm gồm 5 học sinh trong đó có 2 học sinh gái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. [ ĐS: 840 cách ]. 32/ Cho hai đường thẳng song song m và n. Trên m lấy 17 điểm hân biệt, trên n lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã lấy trên m và n. [ ĐS: 5.950 tam giác ] 33/ Một lớp có 40 học sinh gồm 25 trai và 15 gái. Thầy chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách: a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp ? [ 9.980 cách ] b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 trai và 2 gái ? [ ĐS: 2.625 cách ] c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh trai ? [ ĐS: 9.425 cách ] 34/ Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta lấy ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lấy ra 4 viên bi sao cho trong số viên bi lấy ra không có đủ cả ba màu ? [ ĐS: 645 cách ]. 35/ Trên một mặt phẳng có 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành trên mặt phẳng đó ? [ ĐS: 1620 hình ]. 36/ Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào một bình hoa. Bó thứ nhát có 10 bông hồng, bó thứ nhì có 6 thược dược và bó thứ ba có 4 bông cúc. 3 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề Toán LTĐH – Đề và đáp án – Tài liệu … VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỌN LỌC LTĐH a/ Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn ra 6 bông hoa tùy ý ? [ ĐS: 38.760 cách ]. b/ Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn ? [ 4.050 cách ]. 37/ Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét các tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H). a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của (H) ? [ ĐS: 1.140 tam giác; Có 20 tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của (H) ] b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) ? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H) ? [ ĐS: 320 tam giác; 800 tam giác ]. 38/ Một lớp học có 20 sinh viên, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 1 cán bộ lớp ? [ ĐS: 324 cách chọn ] 39/ Trong một hộp có 6 viên bi trắng (T) và 4 viên bi xanh (X). Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để lấy ra được: a/ Cả 3 viên bi đều mầu trắng. [ ĐS: 1/6 ] b/ Cả 3 viên bi đều màu xanh. [ ĐS: 1/30 ] c/ Có ít nhất một viên bi màu trắng. [ ĐS: 29/30 ] 40/ Trong một hộp có 6 viên bi trắng (T) và 4 viên bi xanh (X). Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để lấy ra được: a/ 3 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu xanh. [ ĐS: 8/21 ] b/ 1 viên bi màu trắng và 3 viên bi màu xanh. [ ĐS: 4/35 ] 41/ Trong một cái bình có 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu đỏ hoàn toàn giống nhau về hình dáng và kích thước. Sau khi trộn đều, ta lấy ra ngẫu nhiên 3 quả cầu cùng một lúc. Tính xác suất để trong 3 quả cầu lấy ra có hai quả cùng màu. [ ĐS: 8/ 10 ] 42/ Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để được: a/ 3 bóng tốt. 4 [ ĐS: 7/44 ] WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề Toán LTĐH – Đề và đáp án – Tài liệu … VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỌN LỌC LTĐH b/ Ít nhất 2 bóng tốt. [ ĐS: 7/11 ] c/ Ít nhất 1 bóng tốt. [ ĐS: 21/22 ] 43/ Một tổ sinh viên có 6 trai và 5 gái. Lấy ngẫu nhiên 4 sinh viên đi lao động. Tính xác suất để được: a/ Có 1 gái [ ĐS: 10/33 ] b/ Có không quá 3 gái. [ ĐS: 21/22 ] 44/ Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô, trong đó có 6 xe tốt. Điều động một cách ngẫu nhiên 3 xe đi công tác. Tìm xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất một xe tốt. [ ĐS: 29/30 ] 45/ Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối và đồng chất. Tính xác suất để có ít nhất một mặt sấp xuất hiện. [ ĐS: 7/8 ]. 46/ Gieo liên tiếp 3 lần một con xúc xắc. Tìm xác suất của biến cố “tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 16”. [ ĐS: 5/108 ] 47/ Xếp ngẫu nhiên 5 mẫu chữ cái B, G, N, O, O. Tìm xác suất để được chữ BOONG ? [ ĐS: 1/60 ] 48/ Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên n gồm 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để n là một số chẵn. [ ĐS: 41/81 ] 49/ Cho các chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9. a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà trong mỗi số có các chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho. [ ĐS: 180 ] b/ Lấy ngẫu nhiên một số, trong các số lập được từ a/. Tính xác suất sao cho số lấy được là một số lẽ. [ ĐS: 2/9 ] 50/ Cho tập hợp E gồm các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các phần tử của tập hợp G = {0, 1, 2, 3, 4, 5 }. Lấy ngẫu nhiên một phần tử của của E. a/ Tìm xác suất để lấy được một phần tử chia hết cho 5. [ ĐS: 7/25 ] b/ Tìm xác suất để lấy được một phần tử chia hết cho 3. [ 3/10 ] 5 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề Toán LTĐH – Đề và đáp án – Tài liệu … VINAMATH.COM VINAMATH.COM 62 BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỌN LỌC LTĐH 51/ Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lập được từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Lấy ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được 3 chọn là số chẵn. [ ĐS: n(S) = 210; ] – A13 7 52/ Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để hai 10 viên bi được lấy ra có cùng màu. [ ĐS: ] – B13 21 1 2 3 4 2012 2013 53/ Chứng minh rằng: C2013  2C2013  3C2013  4C2013  ...  2012C2013  2013C2013  2013.2 2012 . 54/ Chứng minh: 1.2.Cn2  2.3.Cn3  3.4.Cn4  ...  ( n  2).( n  1).Cnn 1  ( n  1).n.Cnn  ( n  1).n.2 n  2 . 55/ Chứng minh đẳng thức: 0 1 2 2010 2011 2013.2012.C2013  2012.2011.C2013  2011.2010.C2013  ...  3.2.C2013  2.1.C2013  2013.2012.2 2011 . 1 1 1 1 1 214  1 56/ Chứng minh: C130  C131  C132  C133  ...  C1312  C1313  . 2 3 4 13 14 14 1 1 1 1 1 1 57/ Chứng minh: C130  C131  C132  C133  ...  C1312  C1313  . 2 3 4 13 14 14 58/ Chứng minh rằng: 1  4.Cn1  4 2.Cn2  43 Cn3  ...  4 n 1.Cnn 1  4 n  5n với n là số nguyên dương. 59/ Chứng minh: 2.Cn0  2 2 1 23 2 2 4 3 2n 2 3n 1  1 Cn  Cn  Cn  ...  Cnn 1  Cnn  . 2 3 4 n n 1 n 1 60/ Chứng minh rằng: Cnk  4Cnk 1  6Cnk  2  4Cnk 3  Cnk  4  Cnk 4 . 61/ Chứng minh rằng: Cnk  3Cnk 1  3Cnk  2  Cnk 3  Cnk 3 . 62/ Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 1 3 (1) n n 1 Cn  Cn  Cn  Cn  ...  Cn  . 2 4 6 8 2(n  1) 2(n  1) [ Hướng dẫn: Sử dụng khai triển (1 – x2)n … ] 6 WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề Toán LTĐH – Đề và đáp án – Tài liệu … VINAMATH.COM