Tài liệu 595 bài tập giải tích 12 tự luận và trắc nghiệm phạm trọng thư

PHẠM TRỌNG THƯ GIẢI TÍCH 12 T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM DỪNG CHO : ♦ HỌC SINH LỚP 12 ♦ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Lời nói đâu Nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có tài liệu toán GIẢI TÍCH tham khảo để tự ôn tập, tự kiểm tra kiến thức của mình, chúng tôi biên soạn cuốn sách 595 BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 tự luận và trắc nghiệm. Cu ôn sách được chia làm bốn chương Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o s á t v à v ẽ Đ ồ THỊ CỦA HÀM SỐ Chương II : HÀM s ố LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM s ố LÔGARIT Chương III : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chương IV : s ố PHỨC Nội dung của mỗi chương được biên soạn theo bố cục A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ B. BÀI TẬP CĂN BẢN c. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM D. HƯỚNG DẦN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN Dù đã rất nhiều cố gắng nhưng cũng không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong quý độc giả góp ý để những lần tái bản sau được hoàn chỉnh. Tác giả chân thành câm ơn. PH Ạ M TR Ọ N G TH Ư 3 KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG SÁCH Suy ra => Tương đương Với mọi V e e R z Thuộc về Không thuộc về Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Tồn tại Giá trị lớn nhất Giá ưị nhỏ nhất V ế trái. V ế phải Tập xác định của hàm số 3 GTLN GTNN VT VP D Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM s ố sát A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ố Hằm 5ốđơn điệu. Cho hàm số f xác định ưên I, với I là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. + fđồng biến trên I nếu với Vx,, x 2 e l , X, < x 2 => f(x ,)< f(x 2) + f nghịch biến trên I nếu với V x,, x 2 e I, Xị < x 2 => f(x, ) > f(x 2) ('Điều kiện cần. đ ề hàm i đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó: + Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f'(x) > 0 , Vx € I + Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì f'(x) < 0, Vx € I (Diều kiện đả đ ể hàm lỏ đđu điệu a) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I • Nếu f'(x) > 0, Vx e I và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I . • Nếu f'(x) < 0 , Vx e I và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu*hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I . • Nếu f'(x) = 0, Vx 6 I thì hàm số f không đổi trên I. b) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên (a; b) • Nếu f'(x) > 0 ( hoặc f'(x) < 0 ) , Vx e (a; b) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a; b). • Nếu f'(x) = 0, Vx e (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a; b). 2. c ự c TRỊ CỦA HÀM số Điềm cực C trị. ho hàm số f xác định trên tập hợp D ( D c R ) , x 0 c D . + x 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) sao cho x 0 e (a ;b )c :D v à f(x )< f(x 0), V x e (a ;b )\{x 0}. + Xịj là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoả ng (a; b) sao cho x 0 e(a ; b ) c D v à f(x )> f(x 0),V x e (a ; b )\{ x H}. (Diều kiện cẩn đ ề hàm tố ¿tại eựe tri Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0và hàm số f só dạo hàm tại điểm x() thì f'(xo)=. 0 . ( Hàm f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm ) 5 đủ đ ể h àm i ấ đ ạ i eựe tr i a) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x()và có đạo hàm trên D iề u k iện các khoảng (a; x„) và (x0; b). Khi đó + Nếu f'(x) < 0, Vx e (á ; x0) và f'(x) > 0,Vx e(x„; b) thì f đạt cực tiểu tại x0. + Nếu f'(x) > 0 , Vx e (a; x0) và f'(x) <0, Vx e (x0; b) thì f đạt cực đại tại x0. b) Giả sử f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f "(x0) * 0 Khi đó: + Nếu f"(Xq) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. + Nếu f"(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0. 3. GIÁ TRỊ LỚN NHÂT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHAT c u a h à m s ố Cho hàm số y = f(x) xác định trên mieff'D (D c R ). Ta n ó i: a) Số M được gọi là GTLN của hàm sọ y = f(x) ưên D nếu hai điều sau , íf(x )< M ,V x e D thỏa mãn < [3X| e D : f ( X j ) = M. Kí hiêu : M = max f(x) hay M = m axy. xeD b) Số m được gọi là GTNN của hàm sô" y = f(x) trên D nếu hai điều sau thỏa mãn f(x)>m ,VxeD 3 x 2 e D : f(x2) = m. Kí hiệu : m = min f(x) hay m = m iny. 4. ĐƯỜNG TIỆM CẠN CỦA Đ ồ THỊ HÀM s ố Giả sử hàm sô" y = f(x) có đồ thị là (C) lim f(x) . = . X ->X y . X -»X q lim f(x) = x -> x ỹ . Kết luân Dấu hiệu —co lim f(x) = +00 -co . X = x0 là tiệm cận đứng của (C). y = y 0 là tiệm cận ngang của (C). lim f(x) = +00 X —» X q lim f(x) = X-+ + X y 0 hoặc lim f(x) = y () x - > - x .Nếu lim [f(x )-(a x + b)] = 0 ( a ? t0 ) X ->+*> hoặc lim [f(x) - (ax + b)] = 0 ( a ^ 0) y - ax + b là tiệm cận xiên của (C) X- > - x Cách tìm tiệm cận xiên Đường thẳng y = ax + b (a * 0) là tiệm cận xiên của (C) khi và chỉ khi a= hoặc a = 6 lim -^ v à b = X-*+oc X lim [f(x )-a x ] X-»+oc lim ^ —^ y à b = lim [f(x )-ax ]. X->-áo X X-»-» 5. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Cho hàm f có đạo hàm câp hai trên một .khoảng chứa điểm x0. Nếu f"(x0) = 0 và f*(x) đổi dấu khi X qua điểm x() thì I(x 0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị y = f(x). 6 . DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT s ố HÀM s ố THÔNG DỤNG + Đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a * 0 ) a < 0 a > 0 y' y ềV / / 0 / \ \ 0 ầ / \ * . y' = 0 CC hai nghiiệm phân biệi . y' = 0 cỏ hai nghiộĩn phân biệt . Hàm số’cổ một CI/c đại và một cực tiểu . Hàm số’cố một cực tiểu và một cực đại. 1 y*V 0 \ / y> 0 X \ \ 1 1 . y' > 0 ,Vx € D hc)ặc y' > 0,Vx e D . y' < 0,Vx e D hoặ 0 1 y' y> ỉ -------------------- J ._______ _ \ 0 / gj— ------ ---------- -----T™ * Nhận xét: a > 0 và b < 0 thì / 0 " 1 > * Nhận xét: a < 0 và b > 0 thì . Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại . Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu . Đồ thị hàm số có hai điểm uốn . Đồ thị hàm số có hai điểm uốn 7 + Đồ thị hàm số nhâ't biến y = ax + k (c * 0 , ad - bc cx + d 0) 'Ị ị ______________ * o « " V [ ------------------------------------- ỳ. 0 X 1 . y ' > 0 ,V x € Đ . y ' < 0 ,V x € D . C ó t h ể n h ìn a d - b c > 0 . C ổ th ể n h ìn a d - b c < 0 2 + Đồ thị hàm số hữu tỷ y = — + + c = px + q + — - — ( a e * 0 , r * 0 ) ex + f ex + f r Ỹl1 ' J s \ / / \ / j s / ■ / ......... ề\0 / * o * / a .c a . e > 0 v à y ' = 0 C Ổ h a i n g h i ệ m p h â n < O v à y ' s .1 T 1[ > c ỏ h a i n g h i ệ m 1 k 1 9 / * . ‘ 0 , V 8 x € D b iộ l rt s • '1 p h â n b i ệ t y ' < : 0 , V x ; e o D * 7. Sự GIAO NHAU VÀ SựTIEP x ú c c ủ a h a i đ ư ờ n g c o n g Cho hai đường cong (C ị): y = f(x), (C2): y = g(x) . Hoành độ giao điểm cỏa (C() và (C2)là nghiệm của f(x) = g(x)(*) S ố nghiệm phân biệi của (*) bằng số giao điểm của hai đường cong. . (C ,),(C 2)gọi là tiếpxúc nhau tại điểm M (x„;y0)nếu chúng có tiếp tuyến chung tại điểm M. Khi đó, M gọi là tiếp điểm. „ ff(x) = g(x) . (C.) và (C2) tiếp xúc vđi nhau O-Ị có nghiêm [fr(x) = g'(x) » Nghiệm của hệ phương trình trên gọi là hoành độ tiếp điểm. • Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của (P ): y = ax2 + bx + c (a * 0) <=> ax 2 +bx + c = px + q o axz +(b - p)x + c - q = 0 có nghiệm kép. B. BÀI TẬP CẢN BẢN §1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ô Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số y = X3 - 3x 2 + 5x + 2008. Giải . Tập xác định: D = R .Đ ạo hàm: y' = 3x 2 - 6 x + 5 - 3.5 = - 6 < 0 ^ 3x' - 6x - 5 > ° ' Vx . Vậy: Hàm số luôn luôn đồng biến trẽn R. m Bài 2. Xét chiều biến thiên cỏa hàm số y = X4 + X3 - 3x2 - 5x + 2008. Giải . Tập xác định: D = R .Đ ạohàm : y' = 4x 3 + 3 x 2 - 6 x - 5 y' = 0<=>(x + l) z( 4 x - 5 ) = 0 o x = - l hoăcx = — 4 • Bảng biến thiên: X — 00 . y' y * 5 4 — - 1 - 0 - + 0 0 0 + - *• Ịj 9 >ị £ _ . á ; + 00j Vậy: Hàm số đồng biến trèn khoảng Hàm số nghịch biến trên khoảng Ị^-oo; —j Giải • Tập xác định: D = R \{ - l} Ị 2 ẵ2 + 4x —6 • Đạo hàm: y' = - - - - - X—(x + 1) y' = 0 o 2 x 2 + 4 x - 6 = 0 o • Bảng biến thiên: -00 - 3 + 0 X = 1 hoặc - I - X = -3 + 00 1 - 0 4- ♦ Vậy: Hàm số đồng biến ưên khoảng (-do; - 3 )u (l; + oo) Hàm sốnghịch biến ưên khoảng ( - 3 ; 1). Giải • Tập xác đình: D = R • Đạo hàm: y' = J2 - mx + 2 Để hàm số luôn luôn đồng biến trên R <=> y' > 0, Vx 6 R f â —1 0 ^ I I _ rr • Vậy: |m |< 2 ^ 2 . Bài 5. Xét chiều biến thiên của hàm số y = sin 2 X + cosx (0 < X < 71). Giải • Đạo hàm: y' = 2sinxcosx - sinx = sinx(2cosx - 1 ) 1 7t y = 0 <=> 2cosx - 1 - 0 ( đo sinx > 0 ) o cosx = —o X = — 2 3 • Bảng biến thiên: 10 0n X y 71 — 3 71 Ị + y .. .. 0 ............... - ' * • Vây: Hàm sô" đồng biến trên khoảng 0; — V 3 ^71 Hàm sô" nghịch biến trên khoảng i ; n , V-> Bài 6. y 71^ 0 ;ĩ X3 ' n b ) Chứng minh: tanx > X + Vx e 0 ; - a) Chứng minh: tanx > X, Vx e 3 . 2; Giải a) Xét hàm sô" f(x) = tanx -X trên nửa khoảng * ! Thây f(x) liên tục trên và f'(x) = 1 cos2x *! -1 = tan2x > 0 , Vx e 0’ 2 / 1J Do đó: f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0; 71 2/ f n re) ( K^\ Suy ra : f(x) > f(0) = 0, Vx e 0 ; ^ hay lanx > X, Vx € 0 ; ^ V 2J 2 X3 b ) Xét hàm sô" g(x) = tanx - X - — trên nửa khoảng Thây g(x) liên tục trên và g (x ) = 0; 71 1 1 - X = tan X - X > 0, Vx e cos x ( áp dụng kết quả câu a ) ) Do đó: g(x) đồng biến trên nửa khoảng 0 ; H ) n Suy ra: g(x) >g(0) = 0 , Vx e ’7 ( hay tanx > x + - - > 0, Vx e 0; —■ .7 V 7 ¿7 X3 11 §2. c ự c TRỊ CỦA HÀM s ố Bài 7. Tìm cực ưị của hàm số y = -2 x 3 + 3x 2 + 12x. Giải . Tập xác định: D = R . Đạo hàm: y' = - 6x 2 + 6x +12 = - 6(x 2 - X- 2 ) y' = 0 o X2 - X - 2 = 0 o X = -1 hoặc . Bảng biến thiên: X —00 y' -1 - ft X =2 + 00 2 0 + 0 + 00 ' ^ — 20 \ CD y -7 CT -o c •V ậ y :y CĐ= y ( 2 ) = 2 0 ; yCT(-T) = - 7 . Bài 8 . Tìm cực trị của hàm số y = — —— Giải • Tập xác định: D = R \{l} , X2 - 2x - 4 • Đạo hàm: y = -------— — ( x - l )2 • Vậy: yCĐ= y ( 1 - ^ 5 ) = 4 -2 V 5 ; yCT(l + V5 ) = 4 + 2 V s . Chú ý :Để tìm giá ưi tri ta tính - —- = * v(x) 1 + V ớix, = 1 -V 5 =>f(x, ) = 2 ( 1 - 7 5 ) + 2 = 4 - 2 ^ 5 + V ớ ix ị = l + s/fi=>f(x2) = 2(l + V 5 )+ 2 = 4 + 2>/5 12 CƯC Bài 9. Tìm m để hàm sô a ) y = X5 - 2x2 + mx + 2008 có cực trị. X2 + (m + 2)x - m + 1 b) y = có cực đại và cực tiếu. x+1 Giải a) . Tập xác định: D = R • Đạo hàm: y' = 3x2 - 4x + m Để hàm số có cực trị o y' = 0 có hai nghiệm phân biệt 4 o A' = 4 - 3m > 0 <=> m < — 3 b) Tập xác định: D = R \ {—1} . . , X 2 + 2x + 2m +1 g(x) \ Đạo hàm: y = (x + i ỵ (x + i r Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu « g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 1 ÍA' = - 2 m > 0 n Ị g ( - l ) = l - 2 + 2 m + l *0 Bài 10. Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + mx2 + (m 2 - 4)x + 2. Tìm m để hàm _______ số dạt cực tiểu tại X= 1■_______________________________________ Giai . Tập xác định: D = R . Đạo hàm: f'(x) = X2 + 2mx + m 2 - 4 f '( x ) = 2 x + 2 m Hàm số đạt cực tiểu tại X = 1 => f'( 1) = 0 o m2 + 2m - 3 -- 0 o m= hoặc m = 1 ‘ T ầ Ẻ ìâ L í f Y1 ) = 0 Ỉ + V ớim = l: __4 => hàm số đạt cực đại tại X = 1 ( loại) 0 ^ ^àm số đạt cực tiểu tại X = 1 (nhận) .Vậy: m = 1 . Bài 11. Tìm cực trị của hàm số y = X - e x. _ _ . Tập xác định: D = R .Đ ạo hàm: y' = 1- e * ý' = 0 <=> 1 - e x = 0 o e x = e° o X = 0 Nếu X > 0 => e x > e° = 1 => y' < 0 Nếu X < 0 => e x < e° = 1 => y' > 0 13 . Bảng biến thiên: —00 X y' 4-00 0 + 0 CĐ y • Vậy: yCĐ = y(0) = -- 1 . " " Bài 12. Tìm cực trị của hàm số y = -v/xìnx. Giải • Tập xác định: D = (:0; + 00) , 1 1— lnx + 2 • Đao hàm: — =4nx + —. Vx = 2yf:X X 2 vx y ' = 0 c > lnx = -2 o Nếu X = e"2 = - y e > e -2 <=> lnx > -2 => y' > 0 0 < X < e~2 <=> lnx < - 2 => y' < 0 X • Bảng biến thiên y' 1111 1 —r e - 0 ] y • V ậ y :y CT= y +00 + \ 1111 M M 0 ia s s p Q o 1to X í 1 ì -y ve Bài 13. Cho hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 . Tim cực trị của hàm số và viết phương ưình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị. * 2 • Giải • Tập xác định: D = R • Đạo hàm: y' - 6(x 2 - 3x + 2 ); y' = 0 « Xị = 1 hoặc x 2 = 2 C á ch l • Bảng biến thiên: X y' 14 - 00 1 + 0 2 - 0 +00 + .Đ iểm cực đại M |(l; 1), điểm cực tiểu M2(2; 0) . Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là: X-*M, _ y - y M|' X —1 y -1 -------- — = ----- — — <=>-—- = - — y = —X + 2 . 2-1 yM3- y M, 0-1 2. Cách Chia f(x) cho f'(x) ta được: f(x) = —X - — f'(x) - X + 2 3 2 Với X, =1 thì f ( x , ) = i — X. - — f'(X)) - X, +2 = -X , +2 = 1 (1 iV x 2 = 2 thì f(xn) = —x 2 - — f'(x2) - x 2 + 2 = —x 2 + 2 = 0 \3 2) Gọi M ,(x,; y,), M 2(x2; y2) là hai điểm cực trị, ta có: j ^:1 ~ _X| + (y 2 ——x 2 + L Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ,, M 2 là y = - X + 2. _I phương trình Bài 14. Cho hàm số y = ---- --------- . Tìm cực trị của hàm số và viết phươn của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị. Giải • Tập xácđịnh:D = R\{2} X2 —4 x —5 . Đạo hàm: y' = ------ — - —, y' = 0 <=> Xj = -1 hoặc x 2 = 5 (x -2 Y Cách 1. . Bảng biến thiên: X —00 2> -1 y' + 0 - 5 ,CB\ —co / 0 — + + Q0 1 y +CO + O0 * —CO 13 cr • Điểm cực đại M|( - 1 ; 1), điểm cực tiểu M2(5; 13) • Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là: X- X y - y Hl -----= _£— xM 3 - x Ml y « , - y Ml X +1 y - 1 5+1 *3-1 „ _ í * _ -----<=> y = 2x + 3. Cách 2. GọiMịíXị; y t), i = 1,2 là các điểm cực đại và cực tiểu — — hay Ta có: y = - -— -= 1 Phương ưlnh đường thẳng đi qua điểm M |, M 2 là y = 2x + 3. v '(X ị) 15 Bài 15. Tìm cực trị của hàm số y = X + a/ i -X 2 . Giải •Tập xác định: D = [ - l ; 1] . Đạo hàm: y' = 1- X V l - X 2 —X Vl - X 2 -v/l-x2 . Giải -Jl-X 2 < X (*) [x > 0 >/2 • _ [x > 0 -» —— < X < 1 ( * ) « ! ;'1 - x,22 > 0 , 1 - x 2 < x 2 ° V| -2^ Ị l - X2 > 0" , l*- 2*1-x 2 < 0 2 Jõ .Với — < x < l t h ì y ' < 0 2 ' với -1 < X< thì y' > 0 2 . Bảng biến thiên : §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIẮ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài 16. Tim GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 - 12x +1 trên [ - 1; 3J. ~ ~ ~ • Tập xác định: D = [ -1 ; 3] Giải • Đạo hàm : y' = 6x 2 + 6x -1 2 , y' = 0 < = > ~ ^2 D • Bảng biến thiên : X 1 -1 y' y © 14 . Dựa vào bảng biến thiến : maxy = 16 1 3 + 46 khí X = 3, m in y = - 6 khi X = 1. Bài 17. Tìm GTNN của hàm số y = —— _________________________ _ với X > 0 ). X Giải • Tập xác định: D - (0: + X)) X2 _ 4 • Đạo hàm: y '= ---- — y' = 0 » X= X= -2 Ể D • Dựa vào bảng biến thiên thấy:miny = 8 khi X = 2. Bài 18. Tìm GTLN của hàm số f(x) = X1 + 3x2 - 72x + 9()j trcn [-5; 5] Giải • Xét hàm số g (x ) = X3 + 3x2 - 72x + 90 trên D = [ - 5 ; 5] • Ta có: g'(x) = 3x2 + 6x - 72, g'(x) = 0 <=> x ^ • Dựa vào bảng biến thiên thấy: maxf(x) = m axỊ|g(- 5)|, |g(4)|, |g(5)|| = 400 khi X = -5 . Bài 19. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = -2 sin 3x + 3cos2x - 6sinx. Giải • y = -2 s in 3 x + 3(1 —2 sin2 x )-6 sin x = -2 s in 3 X -6 sin 2 x - 6sinx + 3 (1) Đặt u = sinx, - 1 < u < 1 (1) viết lại: y = -2 u 3 - 6u2 - 6u + 3 y' = - 6 u 2 - 12u - 6 = -6 (ú 2 + 2u + 1) = -6(u + 1)2 < 0, y' = O o u = -1 Bảng biến thiên: TRUNG TẨM THÒNG ĨỈN fHU V :T. 17 L o LAẢ” 0_ 5 Dựa vào hảng hiến thiên thây: maxy = 5 khi sinx = -1 <=> X = + k2rt, k e z miny = —11 khi sinx = 1 o X = —+ k27T, k £ z 2 Bài 20. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = sinx + ‘xosx + 1 sinx + cosx + 3 •2• Giải / \ • Tập xác định: D = R do sinx + cosx + 3 sin í X + — 4 -3 * 0 , Vx l 4J (*) o (y - l)sinx +(y -2 )c o sx = 1 —3y (**) Đ ể phương trình (**) có nghiệm X€ R o (y -1 )2 + (y - 2)2 > (1 - 3y)2 <=> y 2 - 2y + 1 + y 2 - 4y + 4 > 1 - 6y + 9y2 o 4 - 7y2 > 0 2 2 t C>~ ỉ ĩ - y - ự ĩ 2 2 • Vậy: maxy =.ự=r, miny = §4. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG ^ • 2 • Giải a ) . Vì lim y = +C0 và limy = -0 0 => X = -1 là tiệm cận đứng X—*1T \ —> I 3+ . Vì limy. = lim ----- 7-= 3 => y = 3 là tiêm cân ngang 1X -* rx. \-r > f£ I X b) . Vì limy = +oo và lim y = -co => X = 2 là tiệm cận đứng. \-*2+ x-»2 1+ậ X Vì lim y = lim —— — = I => y = 1 là tiêm cân ngang. 1 -x-*+-x ụ 18 X ♦+■* / * -X. 1 + Vì limy = lim = -1 => y = -1 là tiệm cận ngang. x; Giải lim y = -0 0 Vì X= -1 là tiệm cận đứng lim y = +00 Hàm số đã cho có thể viết lạ i : y = - X + 2 - X+1 I ì '-*+ X+1 Vì lim[y -(-X + 2)1 = l i m ------— = 0 => y = -X + 2 là tiệm cận xiên ) Bài 23. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm s ố : y = Vx2 + X+ 5. Giải Tiệm cận xiên c ó dạng y = ax + b (a * 0 ) . Khi x -» +00 v/x2 ++XX+ 5 y Vx , 1 a = lim —= lim ----- —-------= lim , 1 + — ’■*“ X "*■* X *■*" V X 5 =1 X b = lim (y - x) = limíVx2 +x + 5 - x ) = lim- 7=..—+ '1----' * 1 V x2 + X+ 5+X = lim , » = 1. /, 1 5 , 2 1+ T + — +1 V X X 1 + - => y = X + — là tiệm cận xiên của nhánh phải . Khi X —> -c o _ .. y "X 7x2 + X+ 5 ĩ 5” X X a = lim — = lim — ----—— = - lim J1 + —+ —r = -1 , 1+1 X b = lim (y + x) = Vlim Vx2 + X+ 5 + X/ = lim + -* \ \-* -x \ + -r. _ 1 2 H. I * s - . V X X 2 y = -X - — là tiệm cận xiên của nhánh trái 19 2 Bài 24. Tìm m để đồ thị hàm số y - + x + m không có tiệm cận đứng. X- m Giải Đ ể đồ thị không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi 3m 2 + m + m = 0 <=> 3m 2 + 2m = 0 <=> m = 0 hoặc m = 2 • 3 __ _____________________________________________________________ Ị-______ _______________ _________ ____________________________________________________________ m2 Bàỉ 25. Tìm m để đồ thi hàm SC) y = -X + m + 1-------- ( m 5É0 ) có tiệm x+1 cận xiên đi qua điểm A(2; 0). /-N • Giải ( • Vì lim ^ 2 m X +1 ^ = 0=>y = - x + m + llà tiệm cận xiên của đồ thị • Tiệm cận xiên đi qua A(2; 0) khi và chỉ khi 0 = -2 + m +1 <=> m = 1 §5. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ- PHÉP TỊNH TIEN HỆ TOẠ ĐỘ Bài 26. Cho hàm số y = X3 - 3 x 2 + 2x - 4 có đồ thị (C) a) Tìm điểm uốn I của đồ thị (C) b ) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đôi với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra điểm I là tâm đối xứng của (C). Giải a ) . Tập xác định : D = R . y' = 3x2 - 6x + 2; y " . y* đổi dâu khi X = 6x - 6, y* = o o X = 1 qua điểm x() = 1. .Vậy 1(1; - 4 ) là điểm uốn của đồ thị (C) b) . Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là + ^ ; phương trình của (C) đối với hê toa đô IX Y )à ly = Y - 4 Y - 4 = (X + l) 3 -3 (X + l) 2 +2(X + l ) - 4 Y = (X + 1)[(X + 1)2 -3 (X + 1) + 2] = (X + 1)(X2 - X ) = X 3 - X . Hàm số Y = X3 - X là hàm số lẻ. Do đó đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng. 20