Tài liệu 5_cd5_so phuc

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Chủ đề 5. SỐ PHỨC A. Tóm tắt lí thuyết I. SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN 1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu z  a  bi  i: đơn vị ảo,  a: phần thực,  b: phần ảo. Chú ý:  z  a  0i  a được gọi là số thực (a    )  z  0  bi  bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)  0  0  0i vừa là số thực vừa là số ảo y b M 2. Biểu diễn hình học của số phức.  M(a;b) biểu diễn cho số phức z  z = a + bi O a x 3. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  a  a ' z  z'  b  b ' 4. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  z  z '   a  a '   b  b ' i z  z '   a  a '   b  b ' i 5. Nhân hai số phức. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  z.z '   aa ' bb '    ab ' a 'b  i 6. Môđun của số phức z = a + bi  y b M  z  a 2  b 2  OM O a x 7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi   zz z  z  z  z  2a  z .z  a 2  b 2  z 2 93 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN 8. Chia hai số phức. Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b 'i với a, b, a ', b '  o Thương của z’ chia cho z (z  0) : z ' z ' z z ' z ac  bd ad  bc   2  2  i z a  b2 a 2  b 2 zz z II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 1. Căn bậc hai của số phức o z  0 có một căn bậc hai là 0 o z  a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là  a o z  a là số thực âm có 2 căn bậc hai là  a .i 2. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a, b là số phức cho trước, a  0 ). Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực 3. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c là số thực cho trước, a  0 ). Tính   b 2  4ac o   0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x1 ,2  o   0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x1 ,2  o   0 : Phương trình có 1 nghiệm kép là x   b   2a b  i  2a b 2a III. CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn các điều kiện cho trước. Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  i z  2  5i . Tìm phần thực và phần ảo của z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: 2 z  i z  2  5i  2 a  bi  i a  bi   2  5i  2a  b   2b  a  i  2  5i 2a  b  2   a  2b  5 a  3   b  4 ♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4  94 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z  z 1  i   5 z  8i 1 . Tính môđun của z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: 3z  z 1  i 5 z  8i 1  3a  bia  bi 1  i 5a  bi  8i 1  3a  4b  2 a  b  i  1  8i 3a  4b  1   2 a  b  8 a  3   b  2 ♥ Vậy môđun của z là z  a 2  b 2  32  2  13  2 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  31 i  z  1 9i . Tính môđun của z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: 2 z  31 i  z  1 9i  2  a  bi   31 i a  bi   1 9i  5a  3b   3a  b  i  1  9i 5a  3b  1   3a  b  9 a  2   b  3 ♥ Vậy môđun của z là z  a 2  b 2  22  32  13  Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   2  i  z  3  5i . Tìm phần thực và phần ảo của z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi ,  a, b    ta có: z   2  i  z  3  5i  a  bi    2  i a  bi   3  5i  3a  b   a  b i  3  5i 3a  b  3   a  b  5 a  2   b  3 95 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN ♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3  Ví dụ 5: Tìm số phức z thỏa mãn ( z  1)(1  i )  z 1  | z |2 . 1 i Bài giải Đặt z  x  yi, (x, y   ) ta có: ( z  1)(1  i )  z 1 2  z 1 i   x  1  yi  (1  i )   x 1 yi  (1  i)  x2  y 2 2  3x 1 y  (3x  1 y )i  2( x 2  y 2 ) 3 x  1  y  2( x 2  y 2 )  3 x  1  y  0  y  (3 x  1)   2 10 x  3x  0  x  0, y  1    x   3 , y   1 . 10 10  ♥ Vậy số phức z cần tìm là z  i hoặc z   3 1  i.  10 10 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z  3i  1  i z và z  9 là số thuần ảo. z Bài giải ♥ Đặt z  a  bi (a, b   ) ta có:  | z  3i |  | 1  iz |  | a  (b  3)i |  |1  i (a  bi) |  | a  (b  3)i |  |1  b  ai |  a 2  (b  3) 2  (1 b) 2  (a ) 2 . b2  z 9 9 9(a  2i ) a3  5a  (2a 2  26)i  a  2i   a  2i  2  là số ảo z a  2i a 4 a2  4  a 3  5a  0  a  0, a   5 . ♥ Vậy các số phức cần tìm là z  2i, z  5  2i, z   5  2i . Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  z  2  2i và z  2i là số thuần ảo. z2 Bài giải ♥ Đặt z  x  yi (x, y   ) và z  2 ta có:  z  z  2  2i  x  yi  x  2  ( y  2)i  x 2  y 2  ( x  2) 2  ( y  2) 2  x  y  2  y  2  x.  Ta có (1) z  2i x  ( y  2)i [ x  ( y  2)i].[( x  2)  yi]   z  2 ( x  2)  yi ( x  2) 2  y 2 96 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM-TỔ TOÁN x ( x  2)  ( y  2) y ( x  2)( y  2)  xy x( x  2)  ( y  2) y  i là số ảo khi và chỉ khi 0 2 2 2 2 ( x  2)  y ( x  2)  y ( x  2) 2  y 2  x 2  y 2  2( x  y )  ( x  2) 2  y 2  0 ( x  1) 2  1 Thay (1) vào (2) ta được  x  2 ♥ Vậy các số phức cần tìm là z  2i.  Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z  (2)  x  0 . Suy ra y  2 . 4  i. Tính A  1  (1  i ) z . z 1 Bài giải ♥ Đặt z  a  bi, (a , b   ) ta có: 4 z  i  a 2  b 2  a  4  bi  b  ( a  1)i z 1  a 2  b 2  a  4  b   b  a  1  a  1, b  2   a  2, b  1 ♥ Vậy  Với a  1, b  2 ta có A  1  (1  i)(1  2i)  3i  3.  Với a  2, b  1 ta có A  1  (1  i)( 2  i)   3i  3.  Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z  1  i  2z  z  5  3i sao cho z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Bài giải ♥ Đặt z  x  yi ,  x, y    ta có:  z  1  i  (x  1)  (y  1)i = (x  1)2  (y  1)2  2z  z  5  3i = 3x  5  (y  3)i = (3x  5)2  (y  3)2 . Do đó: z  1  i  2z  z  5  3i  (x + 1)2 + (y + 1)2 = (3x – 5)2 + (y – 3)2.  8y = 8x2 – 32x + 32  y = x2 – 4x + 4. 2 2 ♥ Ta có z  2  2i = (x  2)  (y  2) = 2 y   y  2 = 2 2 y  3y  4 =  3 7 7 y    ≥ 2 4 2  6 3 3  (x – 2)2 =  x 2 . 2 2 2 6 3 6 3 ♥ Vậy z  2   i hay z  2   i thì z  2  2i đạt GTNN.  2 2 2 2 Dấu "=" xảy ra  y = 97 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước. Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diển các số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Bài giải ♥ Đặt z  x  yi  x, y    và M  x; y  là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng Oxy ta có: z  i  1  i  z   x  yi   i  1  i  x  iy   x   y 1i   x  y    x  y  i  x 2   y 1   x  y    x  y  2 2 2  x 2  y 2  2 y  1  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 xy  y 2  x 2  y 2  2 y 1  0 ♥ Tập hợp điểm M biểu diển của số phức z là đường tròn có phương trình x 2  y 2  2 y 1  0  B. Bài tập Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3  2i ) z  (2  i )2  4  i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i) 2 z  z  4i  20 . Tính môđun của z Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn (1  i ) z  2  4i  0 . Tìm số phức liên hợp của z . Bài 4: Cho số phức z thoả mãn (2  3i ) z  (4  i) z  (1  3i )2 . Tìm phần thực và phần ảo của z Bài 5: Cho số phức z thoả mãn (1  i )2 (2  i) z  8  i  (1  2i ) z . Tìm phần thực và phần ảo của z Bài 6: Cho số phức z thoả mãn z  (2  3i ) z  1  9i . Tìm số phức z Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )  2  2i . Tính môđun của z Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z  ( 2  i ) 2 (1  2i ) . Tìm phần ảo của z . Bài 9: Cho số phức z thoả mãn z  5i 3  1  0 . Tìm số phức z z 2 Bài 10: Cho số phức z thoả mãn z 2  z  z . Tìm số phức z Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z  (2  4i)  2 . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức z  i  (1  i)z . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i ) z  2i  (3  i ) z . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mp (Oxy ) 1 i Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z  3  2i  3 . Tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w, biết w – z = 1 + 3i. 98 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN 2 2 Bài 15: Cho số phức z thoả mãn 1  z  z  i   iz  1 . Tính mô đun của z  4 . z 1 Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức iz  3  z  2  i sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn 2 z  1  z  z  3 sao cho số phức w  z  8 có môđun nhỏ nhất Bài 18: Cho số phức z thoả mãn (1  i )( z  i )  2 z  2i . Tính môđun của số phức w  Bài 19: Cho số phức z thoả mãn (2  i ) z  z  2z 1 z2 2(1  2i)  7  8i . Tính môđun của số phức w  z  1  i 1 i Bài 20: Cho số phức z thoả mãn z  2 và z 2 l số thuần ảo. Tìm số phức z Bài 21: Cho số phức z thoả mãn z  (2  i)  10 và z.z  25 . Tìm số phức z Bài 22: Cho số phức z thoả mãn 5( z  i)  2  i . Tính môđun của số phức w  1  z  z 2 z 1 Bài 23: Cho số phức z thoả mãn z  z  1  i  5 và (2  z )(i  z ) l số ảo. Tìm số phức z Bài 24: Cho số phức z thỏa mãn z  2 z =  3 + 6i. 2 2 3 Tính T = z  z  z . 2 Bài 25: Cho số phức z thoả mãn 1  z  z  i   iz  1 . Tính môđun của z  4 . z 1 Bài 26: Tìm số phức z thoả mãn z  1  5 và 17  z  z   5 z.z Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn z  Bài 28: Cho số phức z  (1  3i )3 . Tìm môđun của số phức w  z  iz 1 i 1  9i  5i . Tìm các căn bậc hai của z 1 i Bài 29: Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) (3  2i) z  (4  7i)  2  5i 2) (7  3i) z  (2  3i )  (5  4i ) z Bài 30: Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) x 2  4 x  7  0 2) x 2  6 x  25  0 3) 2 x 2  5x  4  0 3) 8 z 2  4 z  1  0 ------------------------------Hết----------------------------- 99