Tài liệu 4_cd4_phuong trinh_bpt mu va logarit

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN Chủ đề 4 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. Tóm tắt lí thuyết I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các định nghĩa:  an  a.a...a  (n  Z  , n  1, a  R) n thöøa soá   1 a  a a a0  1  a n   m an  a  a  0 1 (n  Z  , n  1, a  R / 0) an n  am m n  1 m an ( a  0; m, n  N )  1 n m a 2. Các tính chất :   am .an  am  n am n  am n  a (a m )n  (an )m  am.n  (a.b)n  a n .b n  a an ( )n  n b b 3. Hàm số mũ: Dạng : y  a x ( a > 0 , a  1 )  Tập xác định : D  R  Tập giá trị : T  R  ( ax  0 x  R )  Tính đơn điệu: *a>1 : y  ax đồng biến trên R * 0 < a < 1 : y  a x nghịch biến trên R 77 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM - TỔ TOÁN Đồ thị hàm số mũ : y y y=ax y=ax 1 1 01  Đạo hàm của hàm số mũ: e x  '  ex  e  '  e .u ' u u x x  a  '  a .ln a  a  '  a . ln a (với u là một hàm số) x x u u . u' (với u là một hàm số) II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT Với a > 0 , a  1 và N > 0 1. Định nghĩa: dn  aM  N log a N có nghĩa khi a  0  a  1 N  0  log a N  M Điều kiện có nghĩa: 2. Các tính chất :  log a 1  0 log a a  1  log a a M  M   alog a N  N log a (N1 .N 2 )  log a N1  log a N 2 N loga ( 1 )  log a N1  log a N 2 N2    log a N   . log a N Đặc biệt : loga N 2  2. log a N 78 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 3. Công thức đổi cơ số :  log a N  log a b. log b N  log b N  log a N log a b * Hệ quả:  log a b  1 log b a  ak N 1 log a N k Dạng y  log a x ( a > 0 , a  1 ) 4. Hàm số logarít:    log và Tập xác định : D  R  Tập giá trị TR Tính đơn điệu: *a>1 : y  log a x đồng biến trên R  * 0 < a < 1 : y  log a x nghịch biến trên R  Đồ thị của hàm số lôgarít: y O y y=logax y=logax 1 O a>1  0 N (nghịch biến) 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN  M < N (đồng biến )  M=N 4. Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N 5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : loga M < loga N  M >N (nghịch biến) 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến) 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Dạng cơ bản: ax  m (1)  m  0 : phương trình (1) vô nghiệm  m  0 : ax  m  x  loga m Dạng cơ bản: loga x  m  m   : loga x  m  x  am a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : aM = aN ; log a M  log a N (Phương pháp đưa về cùng cơ số) Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.4 2x  3  2    8    x (1) Bài giải ♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được: x 1  2 .2 3 4 x6  5    2 2    5 x  2 4 x9  2 2  4 x  9  5 3 x  x9  x6 2 2 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  6  80 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN Tự luyện: Giải các phương trình sau 5 x7 1) 1,5  2     3  4) 3x 3 x  2  2 x1 x 1 2) 4.2 x     4  3) 3x.23 x  576  3 1 x Ví dụ 2: Giải phương trình log 2  x 1 2 log 4 3 x  2  2  0 (1) Bài giải  x  1  x 1  0  ♥ Điều kiện:     x 1 3 x  2  0  x  2  3 (*) ♥ Khi đó: 1  log 2  x 1 log 2 3 x  2  2  log 2  x 1  2 3x  2 x 1 1  3x  2 4  4 x  4  3 x  2  x  2 [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2  Ví dụ 3: Giải phương trình log 2 x  log 3 x  log 6 x  log36 x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  0 ♥ Áp dụng công thức log a c  log a b  log b c ,  0  a, b, c; a  1; b  1 , ta có 1  log 2 x  log3 2  log 2 x  log 6 2  log 2 x  log 36 2  log 2 x  log 2 x  log 3 2  log 6 2  1  log 36 2   0 * Do log 3 2  log 6 2  1  log36 2  0 nên *  log 2 x  0  x  1 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  1  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) log 3 x  log 3  x  2  1 2) log 3  x 1  log 3  x  2  log 3 6 3) log  x  7 x  6  log  x 1  1 4) 2 log2  2x  2   log 1  9x  1  1 2 2 5) log 1 3 1 32 x 1 1  log 3 3 (2  3x 1 ) 3 7) log 4  x  12.log x 2  1 1 6) log 2  log 1  x 2  x  3 x 2 8) log 1 x  1  log 1 x  1  log 1 7  x  1 2 9) log 4  x  3  log 2  x  7   2  0 2  2 2  10) log 7 x  2  log 1  8  x   0 7 81 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 11) log 3  2 x  7   log 1  x  5   0 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: log3 (x  1)2  log 3 (2x  1)  2 (1) Bài giải  x  1   x 1  0 ♥ Điều kiện:    2 x 1  0  x  1  2 ♥ Khi đó: (*) 1  2 log 3 x 1  2 log 3 2 x 1  2  log 3 x 1  log 3 2 x 1  1  log3  x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  3  Với (2) 1  x  1 thì  2  1  x2 x 1  3  2 x 2  3 x  4  0 : phương trình vô nghiệm 2  Với x  1 thì  1 x    2   x 1 2 x 1  3  2 x  3x  2  0   2   x  2 2 loaïi [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) log 2 x 2  2 log 2 3x  4 2) log2 x  2  log4  x  5  log 1 8  0 2 2 3) 2 log 3  x  2  log 3  x  4  0 2 4) log2 x  2  log2 x  5  log 1 8  0 2 5) log 2 1 2 x  x 2   2log 2 3  x  b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ 5: Giải phương trình 9x  4.3x  45  0 (1) Bài giải ♥ Đặt t  3x với t  0 , phương trình (1) trở thành t 2  4t  45  0  t  5  2   (2) loaïi  t  9  Với t  9 thì 3x  9  x  2 82 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 16 x 17.4 x 16  0 2) 25 x  6.5 x  5  0 3) 32x+8  4.3x+5 + 27 = 0 4) 9 x  x1 10.3 x  x2 1  0 2 2 Ví dụ 6: Giải phương trình 3x 1 18.3 x  29 (1) Bài giải ♥ Biến đổi phương trình (1) ta được 1  3.3x  18  29 3x (2) ♥ Đặt t  3x với t  0 , phương trình (1) trở thành 3t 2  29t 18  0 (3)  2 t  3   3  t  9  Với t  9 thì 3x  9  x  2  Với t  2 2 2 thì 3x   x  log 3 3 3 3 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2; x  log 3 2  3 Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 5x1  53x  26  0 2) 101 x 101x  99 2 2 Ví dụ 7: Giải phương trình 6.9 x  13.6 x + 6.4 x = 0 (1) Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 4 x ta được x  3 x   3 1  6.    13.   6  0  2  2   2  3 ♥ Đặt t    với t  0 , phương trình (1) trở thành 6t 2 13t  6  0  2  (2) x (3) 83 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN  2 t   3   3 3  t   2  3 3 3  Với t  thì     x  1   2 2 2 x  3 2 2  Với t  thì     x  1   2 3 3 x ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  1  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 4.9 x 12 x  3.16 x 2) 3.16 x  2.81x  5.36 x 3) 32 x  4  45.6 x  9.22 x  2  0 4) 5.2x  7. 10x  2.5x 5) 27 x  12 x  2.8 x Ví dụ 8: Giải phương trình log 22 x  3log 2  2 x 1  0 (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  0 ♥ Khi đó: 1  log 22 x  3log 2 x  2  0 Đặt t  log 2 x , phương trình (1) trở thành t 2  3t  2  0 (3) t  1 3   t  2  Với t  1 thì log 2 x  1  x  1 2 [thỏa (*)]  Với t  2 thì log 2 x  2  x  1 4 [thỏa (*)] 1 1 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  ; x   4 2 Ví dụ 9: Giải phương trình 1 2  1 5  log x 1  log x (1) Bài giải  x  0  ♥ Điều kiện: log x  5  log x  1 (*) 84 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 1 2  1 5  t 1 t t  2 3  1 t  25  t   5  t 1  t   t 2  5t  6  0   t  3  Với t  2 thì log x  2  x  100 [thỏa (*)]  Với t  3 thì log x  3  x  1000 [thỏa (*)] ♥ Đặt t  log x t  5, t  1 , phương trình (1) trở thành (3) ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  100; x  1000  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) log 22 x 2  4log 2 x3  8  0 2) 6 4  3 log2 2x log2 x2 3) log 3 3x 1.log 3 3x1  3  6 Ví dụ 10: Giải phương trình 2log 3 x 1  2log 3 x2 x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  0 ♥ Đặt t  log 3 x  x  3t thì phương trình (1) trở thành  2 1 9 4 2.2  .2t  3t  .2t  3t      t  2   3 9 4 4 t t Với t  2 thì x  9 (thỏa điều kiện) ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  9  Ví dụ 11: Giải phương trình  5.2 x  8  log 2  x   3 x  2  2  (1) Bài giải ♥ Điều kiện 5.2 x  8  0 (*) ♥ Ta có: 1  5.2 x  8  23 x x 2 2  2 x 5.2 x  8  8 2 x  2  5.22 x 16.2 x 16  0 (2) ♥ Đặt t  2 x với t  0 , phương trình (2) trở thành 5t 2 16t 16  0 (3) t  4  3   4 t    5  Với t  4 thì 2 x  4  x  2 [thỏa (*)] 85 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2  Tự luyện: Giải phương trình sau log 2 3.2 x 1  2 x  1 c. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5 x  25.2 x  100 10 x (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  4.5 x  2 x.5 x  25.2 x 100  0  5 x 4  2 x   25 2 x  4  0  4  2 x 5 x  25  0 5 x  25  x  x2 2  4  ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 3.7 x  49.3x  147  21x 2) 32 x  x  3  9 x  3 x 1 3) log 2 x  2 log 7 x  2  log 2 x.log 7 x d. Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó (Phương pháp lôgarít hóa) Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2 x  1 2 (1) Bài giải ♥ Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có 1  log 3 3x.2 x   log3 1 2  log 3 3x  log 3 2 x  0 2  x  x 2 log3 x  0  x 1  x log 3 2  0 x  0   1 x     log 2 3  log 3 2  ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  0, x   log 2 3  e. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) 86 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN ♥ Ta thường sử dụng các tính chất sau:  Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)  Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . (do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ 14: Giải phương trình 3x  4x  5x (1) Bài giải ♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 5 x 5 x  0, x , ta có  3  4  1        1  5  5  x x (2) ( Dạng f  x  C )  3  4  ♥ Xét hàm số f  x        trên  , ta có  5   5  x x  3 3  4  4 f '  x    ln    ln  0, x    f  x  nghịch biến trên   5  5  5  5 x ♥ Mặt khác x f 2  1  (2) có nghiệm x  2 (*) (**) Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x  2 ♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  2   1 Ví dụ 15: Giải phương trình    2 x  1  3  x (1) (Dạng f  x  g  x ) Bài giải 1 ♥ Xét các hàm số f  x    và g  x  2 x  1 trên  , ta có  3  x f  x  nghịch biến trên  và g  x đồng biến trên  ♥ Mặt khác f 0  g 0  (1) có nghiệm x  0 (*) (**) Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  0 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  0  Bài tập: 87 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN Giải các phương trình sau x 1) 2 x = 1+ 3 2 2) 2 x  3  x 3) 2 4) 2.2 x  3.3 x  6 x  1 5) 3.25x 2   3x  10  .5x 2  3  x  0 6) 9 x   x 12 3x  11  x  0 3x  x 2  8x  14 7) log 22 x   x 1 log 2 x  6  2 x Ví dụ 16: Giải phương trình 2log  x 3  x (1) 5 Bài giải ♥ Điều kiện: x  3 1  log5  x  3  log 2 x Khi đó: (2) ♥ Đặt t  log 2 x  x  2t thì phương trình (2) trở thành  2  1 log 5 2  3  t  2  3  5     3   1  5   5  t t t t t (3)  2  1 ♥ Xét hàm số f t      3  trên  , ta có  5   5  t t  2 2 1 1 f ' t     ln  3.  ln  0, t    f t  nghịch biến trên   5  5  5  5 (*) f 1  1  (3) có nghiệm t  1 (**) t ♥ Mặt khác t Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t  1 ♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x  2  IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < aN ( , ,  ) loga M  loga N ( , ,  ) Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x  x  9 2 (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  3 x  x  32 2  x2  x  2  x2  x  2  0  1  x  2 ♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 2  88 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN Tự luyện: Giải các bất phương trình 1) 3 6 x 3 x 4 x 2 15 x 13 3  27 1 2)    2  2 x 1  23 x 4 Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2 log3  4x  3   log 1  2x  3   2 (1) 3 Bài giải x  3 4x  3  0  3 4 ♥ Điều kiện:  (*)  x 2x  3  0 3 4  x   2  ♥ Khi đó: 1  log3  4x  3 2  2  log3 2x  3  2  log 3  4x  3   log 3  9  2x  3  2   4x  3   9  2x  3   16x 2  42x  18  0  3 x3 8 ♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là Tự luyện: Giải các bất phương trình sau 1) log 2 2 x  3  log 2 3x  1 3 x3 4 2) log 1 5 x  10  log 1  x 2  6 x  8 2 2 x4 3) log 1  log 1 (3  x) 2x  3 3 3 4) log 2  x  3  log 2  x  2  1 5) log 1 (x 2  6x  5)  2 log3 (2  x)  0 6) log 1 x  2 log 1  x  1  log2 6  0 2 3 1  7) log 1  x    log 2 ( x  1)  1 2 2  4 8) log 1  x 2  5 x  6  1 2 Ví dụ 3: Giải bất phương trình log 1 2 x2  3x  2 0 x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: 0  x  1 x2  3x  2 0 x  x  2 (*) ♥ Khi đó: 89 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG 1  log 1 2 HĐBM - TỔ TOÁN x 2  3x  2  log 1 1 x 2 2 x  3x  2 1 x x 2  4x  2  0 x x  0  2  2  x  2  2  2  2  x  1 ♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là   2  x  2  2  Tự luyện: Giải các bất phương trình sau 2x  1 0 x 1 2x  1 3) log 0,5 2 x5 3x  5 1 x 1 3x  1 4) log 1 1 x2 3 1) log2 2) log3  x2  x  Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log 0,7  log 6 0 x  4   (1) Bài giải  x2  x  x2  x  0  x  4  x  4  0  4  x  2 x2  x x2  4 ♥ Điều kiện:     1   0    2 2 x2 x4 x4 log x  x  0 x  x  1  6  x4  x  4 ♥ Khi đó:  x2  x  x2  x  log 1  log 1 1  log0,7  log6 0,7 6  x4  x4  (*) x2  x x2  x  log 6 6  6 x4 x4  4  x  3 x 2  5x  24  0 x4  x  8  4  x  3 ♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là    x  8 2x  3  Tự luyện: Giải bất phương trình log 1  log2 0 x 1  3   log 6 b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9 x 1  36.3x 3  3  0 (1) Bài giải ♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được 90 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 1  3x1   4.3x1  3  0 2 (2) ♥ Đặt t  3x1 t  0 , bất phương trình (2) trở thành t 2  4t  3  0 (3) 3  1  t  3 1  3 x1  3  0  x 1  1  1  x  2 Suy ra: ♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 2  Bài giải 1) 2 2x - 3.2 x+2 + 32 < 0 2) 2 x  23 x  9 3) 9 x  5.3 x  6  0 4) 52x 1  5x  4 5) 9x 2 2x  x2  2x 1  2   3 6) 32x 1  22x 1  5.6x  0 3 Ví dụ 6: Giải bất phương trình log22 x  log2 x  2  0 (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  0 ♥ Đặt t  log 2 x , bất phương trình (1) trở thành t 2  t  2  0 (2) 3  2  t  1 Suy ra: 2  log 2 x  1  1  x2 4 1  ♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 2   4  Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) log 2 2 x  17 log 2 x  4  0 2) 3.log32 x  14.log 3) log 2 x  2log x 4  5  0 4 4) log 21 ( x  1)  3   log 1 ( x  1)5 5 3 3 5) 3. log 1 x  log 4 x 2  2  0 6) log 21 x  log 1 x  2  0 2 2 3 x3  0 2 B. Bài tập Bài 1: Giải các phương trình 1) log x 125 x.log 225 x  1 3) 25log4 x  5log16 x 2 1  log 3 9 3  25log16 x 5) x log x 1 5.log 1 ( x  1)  3 5 2) log x2 16  log 2 x 64  3 x4 x 4) x 2 .log x 27.log 9 x  x  4 6) 8  2 x log 2 (2 x  1)  2 x 1  4 log 2 (2 x  1) 91 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 1  log2 x  2 log2x 1 4 2 4 10) 2  log 3 x . log9x 3  1 1  log 3 x 8) log 4  x  1  7) 2 log x (4 x  1)  log3 x  2  log3 (4 x  1) 9) 4 log2 2x  x log2 6  2.3log2 4x 2 11) log 3  3x - 1 .log 3  3 x+1 - 3  = 6 12) 13) log2x 1  2x2  x  1  log x 1  2x  12  4 14) 3  1  log x 7x .log7 x  1 1 6  logx  9x   log3 x x  15) 5 log x 3  log 9 27  8 log 9x2 9  2 9 x Bài 2: Giải các bất phương trình 1) log 2      3 x  1  6  1  log 2 7  10  x .  3) log x 8  log 4 x2 log2 2x  0 2) 22x 2  4x 2  16.22x x 2 1 4) log 1 2x2  3x  1  2 2  0 1 1 log2 (x  1)2  2 2 Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau  x  log 3 y  3 1)  2  2 y  y  12.3 x  81 y   xy  xy  2) 4  32 log x  y  1 log x  y   3  3  log x  log 4 y  1  log 4 9 3)  4  x  y  20 log 3 x  log 3 y  2 4)  2  x y  2 y  9  0  x  1  2  y  1 5)  2 3 3log 9 (9x )  log3 y  3 1 x2 y  x y ( 3 )  ( ) 6)  3 log 2 ( x  y )  log 2 ( x  y )  4 1  log 1 ( y  x)  log 4 y  1 7)  4  x 2  y 2  25   3 4x ( x  1  1)3y  8)  x  y  log x  1 3  ---------------------------Hết---------------------------- 92