Mô tả:
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Chủ đề 3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:
180 o
Goùc 10 1 goùc beït
180
.
y
x
O
2. Radian: (rad)
1800 rad
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
00
0
Độ
Radian
30 0
6
45 0
4
600
3
900
2
120 0
2
3
135 0
3
4
150 0
5
6
180 0
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
(tia ngọn)
y
360 0
2
y
(điểm ngọn)
B
O
x
x
O
(tia gốc)
t
M
t
A (điểm gốc)
(Ox , Oy ) k 2 (k Z)
AB k 2
2. Đường tròn lượng giác:
k2
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: AM
y
M
A
B
C
D
A, C
B, D
2k
2k
2
2k
- 2k
2
k
k
2
B
C
O
x
A
D
61
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
y
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
x'
u
B
1
u'
1. Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : trục tang
u 'Bu : trục cotang
t
1
C
R 1
O
1
A
1D
x
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
t'
y'
Trên đường tròn lượng giác cho
AM .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
t
y
t
a. Định nghĩa:
Trục sin
Trục cotang
U
B
u'
M
Q
t
x'
O
P
u
T
sin OQ
x
tan
A
Trục cosin
1
y'
cos OP
AT
cot BU
Trục tang
t'
b. Các tính chất :
Với mọi ta có :
1 sin 1 hay sin 1
1 cos 1 hay cos 1
k
2
cot xác định k
c. Tính tuần hoàn
tan xác định
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
tan( k ) tan
cot( k ) cot
(k Z )
62
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y
t
3
- 3
- 3 /3
-1
u'
B
1
2/3
3 /3
/2
u
/4
3 /2
3/4
2 /2
5/6
x'
3
1
/3
/6
3 /3
1/2
1/2
- 3 /2 - 2 /2 -1/2
-1
2 /2
3 /2
x
1 A (Ñieåm goác)
O
-1/2
-/6
- 2 /2
- 3 /3
-/4
- 3 /2
-1
-1
-/3
-/2
y'
Góc
00
0
Hslg
sin
0
cos
1
tan
0
cot
kxđ
30 0
6
1
2
3
2
3
3
3
45 0
4
2
2
2
2
1
1
t'
60 0 90 0 120 0
2
3
2
3
1
3
3
2
2
0
1
1
2
2
3 kxđ 3
3
3
0
3
3
- 3
135 0
3
4
2
2
2
2
-1
-1
150 0
5
6
1
2
3
2
3
3
3
180 0 3600
2
0
0
-1
1
0
0
kxđ
kxđ
63
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau
: vaø -
2. Cung bù nhau
: vaø -
3. Cung phụ nhau
: vaø
4. Cung hơn kém
2
(tổng bằng 0)
( tổng bằng )
( tổng bằng
)
2
: vaø
2
2
5. Cung hơn kém : vaø
(Vd:
& ,…)
6 3
(Vd:
2
&
,…)
6
3
(Vd:
7
,…)
&
6
6
2. Cung bù nhau:
1. Cung đối nhau:
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( )
& ,…)
6
6
5
(Vd:
&
,…)
6
6
(Vd:
cos( ) cos
Đối cos
Bù sin
cot
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( )
cot
3. Cung phụ nhau:
4. Cung hơn kém
cos( )
2
sin( )
2
tan( )
2
cot( )
2
cos( )
2
sin( )
2
tan( )
2
cot( )
2
sin
cos
cot
Phụ chéo
Hơn kém
2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
tan
:
2
sin
cos
cot
tan
5. Cung hơn kém :
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( )
cot( )
tan
cot
Hơn kém
tang , cotang
64
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2
1
cos2
1
1 cot 2 =
sin2
tan . cot = 1
1 tan2 =
2
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos
cot =
sin
2. Công thức cộng:
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tan +tan
1 tan .tan
tan tan
tan( ) =
1 tan .tan
tan( + ) =
3. Công thức nhân đôi:
cos2
1 cos 2
2
sin2
1 cos 2
2
cos2 cos2 sin2
2 cos2 1
1 2 sin 2
cos4 sin 4
sin 2 2 sin .cos
tan 2
2 tan
1 tan2
sin cos
1
sin 2
2
4 Công thức nhân ba:
3
cos 3 4 cos 3cos
cos 3
cos 3 3 cos
4
sin 3
3 sin sin 3
4
sin 3 3sin 4sin 3
5. Công thức hạ bậc:
cos2
1 cos 2
;
2
sin2
1 cos 2
;
2
tan2
1 cos 2
1 cos 2
65
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
6. Công thức tính sin ,cos ,tg theo t tan :
2
sin
2t
;
1 t2
cos
1 t2
;
1 t2
tan
2t
1 t2
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
cos .cos
8. Công thức biến đổi tổng thành tích:
.cos
2
2
cos cos 2 sin
.sin
2
2
sin sin 2sin
.cos
2
2
sin sin 2 cos
.sin
2
2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
cos cos 2 cos
9. Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4
4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4
4
3 cos 4
4
5 3 cos 4
6
6
cos sin
8
cos 4 sin 4
66
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
B. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
CÁC VÍ DỤ
1
Ví dụ 1: Cho góc ; mà sin
. Tính sin
2
6
5
Bài giải
♥ Từ hệ thức: cos2 sin 2 1 và ;
2
1
2
5
5
3 2
Thay (2) vào (1) ta được: sin
6
2 5
Suy ra: cos 1 sin 2 1
(2)
3
1
Ví dụ 2: Cho góc ; 2 mà sin cos . Tính sin 2
2
2
2
2
Bài giải
1
1
3
♥ Từ sin cos 1 sin sin
2
2
2
4
4
2
cos 1 sin 2 1 9 7
16 16
7
♥ Do
cos
3
4
; 2
2
♥ Vậy sin 2 2 sin .cos
3 7
8
3
9
Ví dụ 3: Cho góc ; mà cos . Tính tan
2
4
41
Bài giải
3
92
40
40
♥ Do ; sin 1 cos2 1 2 tan
2
41
41
9
40
1
tan 1
31
♥ Do đó tan
.
9
40 49
4 1 tan
1
9
Ví dụ 4: Cho là góc mà sin
1
. Tính sin 4 2sin 2 cos
4
Bài giải
♥ Ta có: sin 4 2 sin 2 cos cos 2 1.2 sin 2.cos
2 cos2 .4sin .cos2
67
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
1 1 225
81 sin .sin 81 .
16 4 128
2
2
2
Ví dụ 5: Cho là góc mà tan 2 . Tính P
sin
sin 3cos 3
3
Bài giải
♥ Vì tan 2 nên sin 0 , do đó:
1
2
sin
sin 2 1 cot
P 3
sin 3cos3 1 3 cot 3 1 3 cot 3
tan 2 1.tan 22 1.2 10
tan 3 3
23 3
11
C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
1. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
sinu = sinv
cosu = cosv
u = v+k2
u = -v+k2
u = v+k2
u = v + k2
u = -v+k2
tanu = tanv
u = v+k
cotu = cotv
u = v+k
k )
2
(u;v k )
(u;v
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k Z )
2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1:
Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã biết cách giải.
b. Phương pháp 2:
Biến đổi pt đã cho về dạng tích số.
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
A=0
A.B 0
B=0
hoặc
A.B.C 0
A=0
B=0
C=0
68
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
c. Phương pháp 3:
HĐBM-TỔ TOÁN
Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ.
Một số dấu hiệu nhận biết :
Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa).
Phương trình có chứa (cos x sin x ) vaø sinx.cosx .
3. Các phương trình lượng giác thường gặp:
a. Dạng 1:
sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m
(Phương trình lượng giác cơ bản)
* Gpt : sinx = m (1)
Nếu m 1 thì pt(1) vô nghiệm
Nếu m 1 thì ta đặt m = sin và ta có
( m R )
x = +k2
(1) sinx = sin
x = ( - )+k2
* Gpt : cosx = m (2)
Nếu m 1 thì pt(2) vô nghiệm
Nếu m 1 thì ta đặt m = cos và ta có
x = +k2
(2) cosx = cos
x = +k2
* Gpt: tanx = m (3)
( pt luôn có nghiệm m R )
Đặt m = tan thì
(3) tanx = tan x = +k
* Gpt: cotx = m (4)
( pt luôn có nghiệm m R )
Đặt m = cot thì
(4) cotx = cot x = +k
Các trường hợp đặc biệt:
sin x 1 x =
y
k 2
2
x = k
sin x 1
x = k 2
2
cosx 1 x = k 2
cosx = 0
x = + k
2
cos x 1 x = k 2
B
sinx = 0
C
O
x
A
D
69
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
b. Dạng 2:
a sin 2 x b sin x c 0
a cos2 x b cos x c 0
( a 0)
a tan 2 x b tan x c 0
a cot 2 x b cot x c 0
(Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta được phương trình : at 2 bt c 0 (1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
c. Dạng 3:
a cos x b sin x c (1)
( a;b 0)
(Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx)
Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho a2 b2 thì pt
a
b
c
(1)
cos x
sin x
a2 b 2
a2 b2
a2 b2
Đặt
a
2
a b
2
cos vaø
b
2
a b2
sin với 0;2 thì :
(2) cosx.cos + sinx.sin =
cos(x- ) =
(2)
c
2
a b2
Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
c
a2 b2
(3)
Chú ý :
Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm a2 b2 c 2
d. Dạng 4:
a sin 2 x b sin x.cos x c cos2 x 0
(a;c 0)
(1)
(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx)
70
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Cách giải 1:
1 cos2 x
1 cos 2 x
vaø cos2 x
2
2
1
và công thức nhân đôi : sin x.cos x sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
2
Áp dụng công thức hạ bậc : sin 2 x
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x ta được pt:
a tan 2 x b tan x c 0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải.
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x
k có phải l nghiệm của (1) không?
2
e. Dạng 5:
a(cos x sin x ) b sin x.cos x c 0
(1)
(Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx)
Cách giải :
Đặt t cos x sin x 2 cos( x ) vôùi - 2 t 2
4
t2 1
Do (cos x sin x )2 1 2 sin x.cos x sinx.cosx=
2
Thay vào (1) ta được phương trình :
t2 1
at b
c 0 (2)
2
Chú ý :
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2 cos( x ) t tìm x.
4
a(cos x sin x ) b sin x.cos x c 0
Ta giải tương tự cho pt có dạng :
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình sin 5 x 2 cos 2 x 1
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 cos 5 x cos 2 x 0
2
cos 5 x cos 2 x
2
(Biến đổi về pt cơ bản)
71
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
5 x 2 x k 2
2
5 x 2 x k 2
2
k 2
x
6
3
k 2
x
14
7
k
k
k 2
k 2
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
, x
6
3
14
7
Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2sin 2 x
k
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
1
3
sin 3 x
cos 3 x sin 2 x
2
2
sin 3 x sin 2 x
3
(Biến đổi về pt cơ bản)
3 x 2 x k 2
3
3 x 2 x k 2
3
x k 2
3
k
4 k 2
x
15
5
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Ví dụ 3: Giải phương trình 4 cos
4 k 2
k 2, x
+
k .
3
15
5
5x
3x
cos 2 8sin x 1 cos x 5
2
2
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 2 cos 4 x cos x 8sin 2 x 2cos x 5
2cos 4 x 8sin 2 x 5 0
4sin 2 2 x 8sin 2 x 3 0
sin 2 x
(Biến đổi về pt bậc hai theo sin2x)
3
: phương trình vô nghiệm
2
72
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
2 x k 2
x k
1
6
12
sin 2 x sin 2 x sin
k
2
6
5
5
k 2 x
k
2x
6
12
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
5
k , x
+k k .
12
12
Ví dụ 4: Giải phương trình 2 cos 5 x.cos 3 x sin x cos 8 x
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 cos 8 x cos 2 x sin x cos8 x
2sin 2 x sin x 1 0 0
sin x 1
1
sin x
2
sin x 1 x
(Biến đổi về pt bậc hai theo sinx)
k 2
2
x k 2
1
6
sin x sin x sin
k
2
6
7
k 2
x
6
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Ví dụ 5: Giải phương trình
7
k 2; x k 2, x
+k 2 k .
2
6
6
2 sin x 2cos x 2 sin 2 x
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 2 sin x 2 2 cos x 2sin x cos x 2 0
sin x 2cos x 2 2 2cos x 2 0
sin x 2 2 cos x 2 0
(Biến đổi về pt tích số)
sin x 2 0 sin x 2 : phương trình vô nghiệm
2 cos x 2 0 cos x
2
3
3
cos x cos
x k 2 k
2
4
4
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
3
k 2 k .
4
Ví dụ 6: Giải phương trình sin x 4 cos x 2 sin 2 x
(1)
73
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài giải
♥ Ta có:
1 sin x 4cos x 2sin x cos x 2 0
sin x 22 cos x 1 0
(Biến đổi về pt tích số)
sin x 2 0 sin x 2 : phương trình vô nghiệm
2 cos x 1 0 cos x
1
cos x cos x k 2 k
2
3
3
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k 2 k .
3
Ví dụ 7: Giải phương trình cos x sin 2 x 0
2
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 sin x 2sin x cos x 0
sin x 1 2cos x 0
(Biến đổi về pt tích số)
sin x 0 x k
1
2
2
1 2 cos x 0 cos x cos x cos
x k 2
2
3
3
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k , x
Ví dụ 8: Giải phương trình sin 3 x cos 2 x sin x 0
2
k 2 k .
3
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 2 cos 2 x sin x cos 2 x 0 0
cos 2 x 2sin x 1 0
cos 2 x 0 2 x
(Biến đổi về pt tích số)
k
k x
k
2
4
2
x k 2
1
6
2sin x 1 0 sin x sin x sin
k
6
7
2
k 2
x
6
k
7
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x , x k 2, x
k 2 k .
4
2
6
6
Ví dụ 9: Giải phương trình 2 cos 2 x sin x sin 3 x
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 2 cos 2 x sin x sin 3 x 0
2 cos 2 x 2 cos 2 x sin x 0
cos 2 x sin x 1 0
(Biến đổi về pt tích số)
74
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
k
k x
k
2
4
2
sin x 1 0 sin x 1 x +k 2 k
2
k
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x , x +k 2
4
2
2
cos 2 x 0 2 x
Ví dụ 10: Giải phương trình 1 2sin x cos x 1 sin x cos x
2
k .
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1 2 1 sin x sin 2 x 1 sin x 0
1 sin x 2sin 2 x 1 0
sin x 1 x k 2
2
(Biến đổi về pt tích số)
k
2 x k 2
x k
1
6
12
2sin 2 x1 0 sin 2 x sin 2 x sin
k
2
6
5
5
k 2 x
k
2 x
6
12
5
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k 2, x k , x
+k k .
2
12
12
Ví dụ 11: Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x
4
(1)
(Phương trình lượng giác có điều kiện)
Bài giải
♥ Điều kiện: cos x 0 x
♥ Ta có:
1 1
k
2
sin x
2 sin x cos x
cos x
sin x cos x 2cos x 1 0
(Biến đổi về pt tích số)
sin x cos x 0 tan x 1 x k k
4
2 cos x 1 0 cos x
1
cos x cos x k 2 k
2
3
3
Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện.
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k, x k 2 k .
4
3
75
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
D. BÀI TẬP
Giải các phương trình
1) cos 5 x cos x 2 sin 3 x 0
3) 2 cos3 x cos x
2) cos 7 x cos 3 x 2 cos 5 x 0
1
cos 2 x
2
4) cos 3 x tan x sin 3x 1
5) cos 3 x 3 sin 3 x 2 cos x
6) cos 5 x cos 2 x sin 3x sin 2 x 0
7) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0
8) sin 2 x cos 2 x sin x 2 cos 2
9) 4 cos 4 x 8sin 4 x cos 4 x 3
10) 4 cos3 2 x 6sin 2 x 3
11) 8cos x cos x .cos x 1 0
3
3
13
12) sin x sin
x 1
2
13) 1 5sin x 2 cos2 x 0
14)
cos x 2sin x 3 2 2 cos 2 x 1
15)
1
1 s in2x
17) cot x tan x 4 s in2x
19) 2 cos2 x cot 2 x
2
s in2x
sin3 x 1
sin 2 x
x
0
2
cos 2 x 3 2 cos x 3
0
tan x 1
16) 5sin x 2 3 1 sin x tan 2 x
18) cos2 3 x cos 2 x cos2 x 0
20) cos2 x tan 2 x
cos2 x cos3 x 1
cos2 x
cos3 x s in3x
21) 5 sin x
cos 2 x 3
1 2 s in2x
22) 4 cos3 x 3 s in3x 1 3cos x
23) cos 7 x s in5x 3 cos5 x sin 7 x
24) 2 cos2 2 x 3 cos 4 x 4 cos2 x 1
4
25) s in3x 3 cos3x 2 sin 3 x
3
26) 2 sin 2 x 4 sin x 1
6
x 7
27) sin x cos 4 x sin2 2 x 4sin2
4 2 2
5x
9x
28) cos3 x sin 7 x 2sin2 2 cos2
2
4 2
17
29) sin 2 2 x cos2 8x sin
10 x
2
30) 2 s in2x cos2 x 7sin x 2 cos x 4
31)
2 sin 2 x 3sin x cos x 2
4
32) 2 cos6 x 2 cos 4 x 3 cos2 x s in2x 3
-----------------------------Hết-------------------------------
76
- Xem thêm -
.PDF 
16 
317 
123 
