Tài liệu 22 de thi hsg toan lop 1234

§Ò thi hsg líp 8 Năm 2007 – 2008 (120 phút) Bài 1 (4đ): 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4. 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 Bài 2 (3đ): Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì : 2( x  y ) x2 y2  3 x y − y3 1 = x 1 3 Bài 3 (5đ): Giải phương trình: 1, x 2  24 2001 + x 2  22 2003 = x 2  20 2005 + x 2  18 2007 2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3 Bài 4 (6đ): Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài 5 (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6). ®Ò thi häc sinh giái N¨m häc: 2004 – 2005 Thêi gian 150 phót Bµi 1: 1) Rót gän biÓu thøc: A=  x2  6x  5 5 x n  x n 1 víi /x/ = 1 2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x 2  7 xy  52 B= x y ( x  y) Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72 2) T×m x ®Ó biÓu thøc: A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã ? Bµi 3: 1) T×m sè tù nhiªn x sao cho: x2 + 21 lµ sè chÝnh ph¬ng ? 2) Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp th×: (m – 1).(n – 1) M192 Bµi 4: Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BN. 1) Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng. 2) Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña � AHN . 3) VÏ AI  HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF Bµi 5: 1) G¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7) 2) Cho a, b, c  R+ vµ a + b + c = 1. Chøng minh r»ng: 1 1 1    9 a b c §Ò sè 1 Bµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc 3 x2 1  1    A  2   :  2 x  3   3 x  3 x   27  3 x a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 1 6y 2   3 y 2  10 y  3 9 y 2  1 1  3 y b) 6 x 1  x 3 x 1  .  3  2  2 4 x  3 2 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn lît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4). Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. §Ò sè 2 C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  4 x  5 b) ab(a  b)  ac (a  c)  bc(2a  b  c) 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1 1 1 4  2  2  2  x  x x  3x  2 x  5x  6 x  7 x  12 5 2 C©u II: (2 ®iÓm) 1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc f ( x)  x 3  2 x 2  ax  b chia hÕt cho ®a thøc g ( x)  x 2  x  1 . 2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P( x)  x161  x 37  x13  x 5  x  2006 cho ®a thøc Q( x)  x 2  1. C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n CMR: a  b , b  c, c   a . a  bc b 2  ac c 2  ab    0 ( a  b)( a  c ) (b  a )(b  c ) (c  a )(c  b) 2 C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi. 2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. CMR: HA' HB ' HC '   AA' BB ' CC ' b»ng mét h»ng sè. C©u V: (1 ®iÓm): Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc: Q a 2  ab  b 2 a 2  ab  b 2 §Ò sè 3 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a (b  c) 2 (b  c )  b(c  a ) 2 (c  a )  c (a  b) 2 ( a  b) b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ Rót gän biÓu thøc: N  1 1 1   0 a b c 1 1 1  2  2 a  2bc b  2ca c  2ab 2 Bµi 2: (2®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M  x 2  y 2  xy  x  y  1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0 Bµi 3: (2®iÓm) Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®îc 15 phót, ngêi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD. a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. b) Chøng minh ba ®êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 5: (1®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3 x 2  5 y 2  345 §Ò sè 4 Bµi 1: (2,5®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x x - 3x + 4 x -2 víi x  0 Bµi 2 : (1,5®iÓm) Cho abc = 2 A  Rót gän biÓu thøc: a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 Bµi 3: (2®iÓm) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0 TÝnh: P ab 4a  b 2 2 Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM. Tõ N vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F. a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? d) M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña  ABC ®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng. Bµi 5: (1®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. §Ò sè 5 Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: M  1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 1) Rót gän M. 2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0. Bµi 2: (2®iÓm) Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra. 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x 2  2 xy  x  y 2  4 y  0 Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D). §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K. 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK. 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI. 3) §Æt DE = x (a  x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x. 4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt. Bµi 5: (1®iÓm) Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n: TÝnh N  x2 y2 z2   yz zx xy §Ò sè 6 C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 1 1 1   0 xy yz zx 1) 2) x 1  x  x 3x 2  4 x  1 ( a  1) 4  11( a  1) 2  30 3( a  1) 4  18( a 2  2a )  3 C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th× a 2  b 2 chia hÕt cho 13. 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A a b c   1  a  ac 1  b  bc 1  c  ac 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2  2x  1 x 2  2x  2 7   x 2  2x  2 x 2  2x  3 6 C©u III: (4 ®iÓm) §Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®îc giao lµm mét khèi lîng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh. C©u IV: (3 ®iÓm) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA. 3) Chøng minh AC 2  AB. AH  AD. AK C©u V: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2002 2002  x  2003 2003 1 §Ò sè 7 C©u I: (2®iÓm) 1. Thùc hiÖn phÐp chia A  2 x 4  x 3  x 2  x  2 cho B  x 2  1 . T×m x  Z ®Ó A chia hÕt cho B. 2. Ph©n tÝch ®a thøc th¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö. C©u II: (2®iÓm) 1. So s¸nh A vµ B biÕt: 2 4 8 16 A  5 32  1 vµ B  6(5  1)(5  1)(5  1)(5 2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44.  1) C©u III: (2®iÓm) 1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: ( a  b  c ) 2  3( ab  bc  ca ) . Hái tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c g× ? 2. Cho ®a thøc f(x) = x 100  x 99  ...  x 2  x  1 . T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x 2  1 . C©u IV: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. 1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 2. Chøng minh AB. CF = AC. AE 3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. C©u V : (1 ®iÓm) Chøng minh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn: x  2 x  3 x  4 x  2005 x  2004 x  2003      2005 2004 2003 2 3 4 §Ò sè 8 C©u 1: (2®iÓm) a) Cho x 2  2 xy  2 y 2 TÝnh N   2 x  6 y  13  0 3x y  1 4 xy 2 b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè d¬ng. A  a 3  b 3  c 3  3abc C©u 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: a b   a  b b  c c  a  c A      9 a b  a  b b  c c  a   c C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh. Nöa qu·ng ®êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qu·ng ®êng sau ®i víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h. TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®êng AB biÕt ngêi ®ã ®Õn B ®óng giê. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 6  3x 2  1  y 4 §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 6  1  6 1  x   x  6 2 x   x  Cho M  3 1  1 3 x    x  3 x  x a) Rót gän M. b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt : (2 x  5) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3 b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho x vµ y tho¶ m·n: 4 x  17 xy  9 y TÝnh H  x 3  y 3  xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a  b  c  abc Chøng minh: 2 2  5 xy  4 y  2 a (b 2  1)(c 2  1)  b(a 2  1)(c 2  1)  c( a 2  1)(b 2  1)  4abc Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N. a) Chøng minh IM = IN. b) Chøng minh: 1 1 2   AB CD MN c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lÇn lît t¹i H vµ E. Chøng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b. §Ò sè 10 C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 2  x  12 b) x 8  x  1 c) ( x 2  3 x  2)( x 2  11x  30)  5 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A  532 vµ B 2) Cho 3a 2  2b 2  7ab vµ 3a  b  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:  24(5 2  1)(5 4  1)(5 8  1)(516  1) P 2005a  2006b 2006 a  2007b C©u 3: (2 ®iÓm) 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  1974 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y 2  4 x  2 y  2 x 1  2  0 3) Chøng minh r»ng: a 8  b 8  c 8  d 8  4a 2 b 2 c 2 d 2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. b) Chøng minh AF2 = FK. FC. c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1  4 1  4 1  4 1   3  ...19   4  4  4 A  1 1 1  4  4   4  2   4  ... 20   4  4  4  b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho xyz = 2006 Chøng minh r»ng: 2006 x y z   1 xy  2006 x  2006 yz  y  2006 xz  z  1 b) T×m n nguyªn d¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3. c) Cho a  2b  3c  14 . Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2  14 . C©u 3: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc:  3x 2  3 x 1 1  x 1  . B   3  2  2 x  x  1 x  1  2x  5x  5  x 1 a) Rót gän B. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB vÏ c¸c h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF. a) Chøng minh: AE  BC. b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB. C©u 5: (1 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×: C  1 1 1 1 1 1  3  3  3 ...  3  2 3 2 3 4 5 n b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  7 x  6 b) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 c) x 4  4 2) Rót gän: A 1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d. 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. A 2x3  x 2  2x  5 2x  1 C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x 1 x  3 x  5 x  2 x  4 x  6      99 97 95 98 96 94 b) ( x 2  x  1) 2  ( x 2  x  1)  12  0 C©u 4: (3 ®iÓm) Mét ®êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC lÇn lît t¹i E, K, G. Chøng minh r»ng: 1) AE 2  EK . EG 2) 1 1 1   AE AK AG 3) Khi ®êng th¼ng d xoay quanh ®iÓm A. Chøng minh: BK. DG = const. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: B 16 x 2  4 x  1 2x (víi x > 0) §Ò sè 13 C©u 1: (6 ®iÓm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; a) 2 x  2 y  x 2  2 xy  y 2 b) 2 xy  2 x  y 2  y 2 2 c) x  2 xy  y  3x  3 y  10 C©u 2 (4 ®iÓm) Cho a  b  c  0 vµ abc  0 . Chøng minh r»ng: C©u 3 (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc Q  x4  x 2 x 2  3x  1  1  x 1 x2  x 1 ( x  1 ) a) Rót gän biÓu thøc Q. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q. C©u 4: (6 ®iÓm) VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c nhän ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD vµ ACE. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ CE. H lµ h×nh chiÕu cña N trªn AC, tõ H kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t BC t¹i I. a) Chøng minh tam gi¸c AMN ®ång d¹ng víi tam gi¸c HIN. b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c MNI. c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b. §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: b) Rót gän: ( a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3 x 3  19 x 2  33 x  9 C©u 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: n. A  n 3 ( n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba m¸y b¬m A, B, C hót níc trªn giÕng. NÕu lµm mét m×nh th× m¸y b¬m A hót hÕt níc trong 12 giê, m¸y b¬m B hót hÕtníc trong 15 giê vµ m¸y b¬m C hót hÕt níc trong 20 giê. Trong 3 giê ®Çu hai m¸y b¬m A vµ C cïng lµm viÖc sau ®ã míi dïng ®Õn m¸y b¬m B. TÝnh xem trong bao l©u th× giÕng sÏ hÕt níc. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x  a  x  2a  3a (a lµ h»ng sè). C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C (CA > CB), mét ®iÓm I trªn c¹nh AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ngêi ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §êng th¼ng vu«ng gãc víi IC kÎ qua C c¾t Ax, By lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N. a) Chøng minh: tam gi¸c CAI ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBN. b) So s¸nh hai tam gi¸c ABC vµ INC. c) Chøng minh: gãc MIN = 900. d) T×m vÞ trÝ ®iÓm I sao cho diÖn tÝch ∆IMN lín gÊp ®«i diÖn tÝch ∆ABC. C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè: 22499 .......... .......... 09  9100  ... n-2 sè 9 n sè 0 lµ sè chÝnh ph¬ng. ( n  2 ). §Ò sè 15 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho P  a 3  4a 2  a  4 a 3  7a 2  14a  8 a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc: P  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 2 b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng; A a b c   3 bca acb abc C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 0 60 quay quanh ®iÓm M sao cho hai c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng minh: a) BD.CE  BC 2 4 b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi. §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x 2  6 x  9) 3  (1  x 2 ) 3  (6 x  10) 3  0 b) Cho x, y tho¶ m·n: x 2  2 y 2  2 xy  6 x  2 y  13  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H  x 2  7 xy  52 x y Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho 1 x2  3y y 2  3x x , y  0 ; x, y  ; x  y .  víi x (1  3 y ) y (1  3 x ) 3 1 1 8 Chøng minh r»ng: x  y  x  y  3 . Bµi 3: T×m x nguyªn ®Ó biÓu thøc y cã gi¸ trÞ nguyªn. Víi y  4x  3 x2 1 Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ∆ABC c©n t¹i A (AB = AC > BC). Trªn c¹nh BC lÊy M sao cho MB < MC. Tõ M kÎ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë E, kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AC ë F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua ®êng th¼ng EF. a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. b) Chøng minh tø gi¸c ANEF lµ h×nh thang c©n. c) AN c¾t BC t¹i H. Chøng minh HB. HC = HN. HA Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho ®a thøc f ( x)  x 3 T×m a, b, c biÕt  ax 2  bx  c f (1)  5 ; f ( 2)  7 ; f (3)  9 §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 8  x 7  1 b) ( 4 x  1)(12 x  1)(3 x  2)( x  1)  4 2) Cho a  b  c  0 vµ a 2  b 2  c 2  1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M  a4  b4  c4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M  x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x ) (1  x )(1  y ) a) Rót gän M. b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7. Bµi 3: (2®iÓm) Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra. 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. a) Chøng minh AE = AF vµ tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. b) Chøng minh AKF ®ång d¹ng víi CAF vµ AF2 = FK. FC c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a lµ mét sè gåm 2n ch÷ sè 1, b lµ mét sè gåm n + 1 ch÷ sè 1, c lµ mét sè gåm n ch÷ sè 6 (n lµ sè tù nhiªn, n  1 ). Chøng minh r»ng: a  b  c  8 lµ sè chÝnh ph¬ng. §Ò sè 18 C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x 4  4 x 2  5 b) x  1  2 x  3  5 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A  x4  x x2  x a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m x ®Ó A > 1. C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh trong 5 giê 50 phót. Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®êng th¼ng BI song song víi AD c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng: a) EF song song víi AB. b) AB2 = CD. EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng biÓu thøc: 10 n  18n  1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn.