Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
20050128-thayhuyen-bai7...
Tài liệu 20050128-thayhuyen-bai7
.PDF
4
311
134
uchihasasuke
Báo vi phạm
Tải xuống
134
Đang tải nội dung...
Tải về
Xem thêm (5 trang)
Mô tả:
ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 31 tháng 1 năm 2005 Bài 7. Các Bài Toán Xác Định Tính Chất Và Mô Tả Cấu Trúc Của Một Nhóm Các bài toán dạng này thường có nội dung sau: Cho nhóm X thỏa mãn một số điều kiện cho trước nào đó, kết luận của bài toán yêu cầu chỉ ra rằng, khi đó nhóm X cũng thỏa mãn một số tính chất xác định. Ví dụ 1 Cho X là nhóm mà với mọi phần tử a ∈ X thì a2 = e. Chứng minh rằng khi đó X là nhóm aben. Về mặt nguyên tắc, muốn xử lý bài toán xác định một tính chất nào đó của nhóm, chúng ta cần sử dụng các tính chất thông dụng của nhóm, kết hợp với các điều kiện bổ sung của bài toán, phân tích, đánh giá và biến đổi các tính chất đã có tới các tính chất cần có theo đòi hỏi của kết luận bài toán. Các tính chất thông dụng của một nhóm bao gồm, trước hết là các tiên đề trong định nghĩa nhóm, và các tính chất dẫn xuất từ các tiên đề đó, chẳng hạn như: • Trong nhóm X luôn có luật giản ước (tức là từ mỗi đẳng thức ax = ay (hay xa = ya) đều suy ra được x = y!) • Trong nhóm X, phần tử a ∈ X là đơn vị của nhóm X ⇐⇒ a2 = a (tức a lũy đẳng!) • Trong nhóm X, nghịch đảo của mỗi phần tử a ∈ X là duy nhất và b = a−1 ⇔ ab = e hoặc ba = e. • Trong nhóm X, nghịch đảo của một tích bằng tích các nghịch đảo theo thứ tự ngược (tức −1 −1 là (a1 a2 . . . an )−1 = a−1 n . . . a2 a1 ) • ... 1 Quay trở lại ví dụ 1, để chứng minh X là nhóm aben ta cần chỉ ra: ∀a, b ∈ X thì ab = ba. Để có được tính chất cần thiết này ta sử dụng điều kiện bổ sung của bài toán là a2 = e, ∀a ∈ X, kết hợp với một số nào đó các tính chất thông dụng đã có trong nhóm, biến đổi để có được các lời giải sau: • Lời giải thứ nhất: Từ điều kiện bài toán, ta có với mọi a, b ∈ X thì: a2 = e, b2 = e =⇒ a2 .b2 = e.e = e đồng thời (ab)2 = e. Do đó: a.a.b.b = ab.ab (= e) Thực hiện luật giản ước trái a và luật giản ước phải b ở đẳng thức cuối cùng ta được: ab = ba (đpcm). • Lời giải thứ hai: Từ điều kiện bài toán: a2 = e, ∀a ∈ X =⇒ a = a−1 , ∀ ∈ X. Do đó ∀a, b ∈ X : ab = (ab)−1 = b−1 a−1 = ba, tức ta có đpcm. Ở đây, chúng tôi chỉ đưa vài lời giải cơ bản, nếu các bạn thực hiện các bước biến đổi hơi khác một chút các bạn sẽ có thêm các lời giải của riêng mình. Các bạn hãy thử sức mình xem! Ví dụ 2 Cho X là nhóm có vô hạn phần tử. Chứng minh rằng X chứa vô hạn các nhóm con khác nhau. Giải Vì X có vô hạn phần tử nên X 6= {e}. Xét cấp các phần tử của X, có hai khả năng duy nhất sau đây: a) Trong X có một phần tử cấp vô hạn. Khi đó, nhóm con cyclic sinh bởi phần tử a là < a > có vô hạn phần tử; và bản thân < a > chứa vô hạn các nhóm con khác nhau sau đây: < a >, < a2 >, . . . , < ak >, . . . Đó cũng là các nhóm con của X. Vậy, khi đó X chứa vô hạn nhóm con. b) Mọi phần tử trong X đều có cấp hữu hạn. Khi đó, xét họ J tất cả các[ nhóm con cyclic < x >, do đó sinh bởi các phần tử của X, J = {< x >: x ∈ X}. Dễ thấy là X = x∈X nếu họ J chỉ chứa hữu hạn các nhóm con khác nhau thì do: [ < x >= x∈X [
∈J có số phần tử là hữu hạn, trái với điều kiện đã cho X có vô hạn phần tử. Vậy J chứa vô hạn các nhóm con khác nhau, tức X chứa vô hạn các nhóm con khác nhau. Chú ý rằng các tính chất của nhóm là rất phong phú và đa dạng, nó không chỉ được phát biểu cho các phần tử của tập nền, phép toán trong nhóm mà còn được xác định cho những khái niệm dẫn xuất từ nhóm như là nhóm con, ước chuẩn tắc, . . . Đặc biệt trong các nhóm hữu hạn chúng ta có một tính chất quan trọng liên hệ giữa cấp của nhóm và cấp các nhóm con, chính là nội dung của định lý sau: Định lí 1 (Lagran) Cho nhóm hữu hạn X, và A ⊂n X. Khi đó, cấp A là ước số của cấp X. Định lý này có vài hệ quả cũng thường được sử dụng trong các bài toán xác định tính chất cho các nhóm hữu hạn và mô tả cấu trúc nhóm hữu hạn đó là: 2 Hệ quả 1 Cấp của một phần tử a trong nhóm X là ước số của cấp X. Hệ quả 2 Nếu cấp của nhóm X là số nguyên tố thì X là nhóm cyclic. Ví dụ 3 Cho X là nhóm aben cấp 6. Chứng minh rằng X là nhóm cyclic. Giải Để chỉ ra X là nhóm cyclic, ta cần chỉ ra trong X có chứa một phần tử cấp 6. Vì X cấp 6 nên tồn tại một phần tử a ∈ X và a 6= e. Theo hệ quả 1 của định lý Lagrang thì cấp a chỉ có thể là 2, 3, 6. Nếu cấp a = 6 thì ta có đpcm. Nếu cấp a = 2 thì nhóm thương X/< a > có cấp 3. Khi đó nếu b ∈ X/
mà b 6=< a > thì cấp b = 3. Do đó, phần tử đại diện b ∈ b phải có cấp 6 hoặc cấp 3. Trường hợp cấp b = 3 thì tích ab phải có cấp 6. Nếu cấp a = 3 thì nhóm thương X/
có cấp 2. Khi đó nếu b ∈ X/
mà b 6=< a > thì cấp b = 2. Do đó, phần tử đại diện b ∈ b phải có cấp 6 hay cấp 2. Trường hợp cấp b = 2 thì tích ab có cấp 6. Vậy trong mọi khả năng có thể xảy ra cho cấp phần tử của a, ta đều chỉ ra trong X có chứa một phần tử cấp 6, tức X là cyclic. ? Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng sự kiện: Các phần tử đại diện b của lớp ghép b trong nhóm thương là bội của cấp b, điều này có thể chứng minh đơn giản như sau: gọi cấp b = n, khi đó bn = e ⇒ (b)n = bn = e. Vậy n là bội của cấp b. Ví dụ 4 Hãy mô tả cấu trúc của các nhóm cấp 6 không đẳng cấu với nhau. Xét cấp của các phần tử x 6= e của nhóm X cấp 6. Theo hệ quả 1 của định lý Lagrang có tất cả các khả năng sau: a) Tồn tại một phần tử a cấp 6. Khi đó X là nhóm cyclic cấp 6 và X ∼ = Z6 . b) Không tồn tại một phần tử nào cấp 6; tức X không là nhóm cyclic. Do kết quả của ví dụ 3, ta suy ra X không là nhóm aben (vì nhóm cấp 6 aben là nhóm cyclic!). Vì X không aben nên tồn tại một phần tử a ∈ X mà cấp a = 3 (vì nếu mọi phần tử của X mà cấp ≤ 2 thì X lại là nhóm aben!). Khi đó nhóm con sinh bởi a là < a > có chỉ số 2 nên là ước chuẩn tắc của X và nhóm thương X/ < a > có đúng 2 phần tử. Chọn b ∈< / a > thì b ∈ X/ < a > và b 6= e nên cấp b = 2, suy ra cấp b = 2 (vì cấp b 6= 6!). Vậy, nếu tồn tại nhóm X cấp 6 không aben thì X =< {a, b} > với cấp a = 3, cấp b = 2, và gồm 6 phần tử sau: X = {e, a, a2 , b, ab, a2 b} thỏa hệ thức ba = a2 b (Bạn đọc hãy sử dụng tính chất trong nhóm để chứng minh nếu X với 6 phần tử trên là nhóm thì tích ba chỉ có thể là ba = a2 b mà không thể là 1 trong 5 giá trị còn lại!) Bây giờ xét nhóm S3 các phép thế bậc 3, xem như được sinh bởi 2 phần tử α = (1 2 3) và β = (1 2) ta có: S3 = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β} thỏa βα = α2 β. Điều này đảm bảo rằng ánh xạ ϕ : X → S3 mà ϕ(e) = e, ϕ(a) = α, ϕ(a2 ) = α2 , ϕ(b) = β, ϕ(ab) = αβ và ϕ(a2 b) = α2 β là song ánh bảo toàn các phép toán. Từ đó, X là một nhóm và X ∼ = S3 . 3 BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng các nhóm có cấp nhỏ hơn 6 đều là nhóm aben. 2. Cho X là nhóm hữu hạn cấp chẵn. Chứng minh số các phần tử cấp 2 trong X là số lẻ. 3. Cho X là nhóm và x, y ∈ X. Ta gọi x−1 y −1 xy là hoán tử của x và y. Chứng minh rằng: a) Nhóm con A của X sinh bởi tập tất cả các hoán tử của mọi cặp x, y ∈ X là nhóm con chuẩn tắc của X. b) Nhóm thương X/A là aben. Đồng thời nếu H C X thì X/H aben ⇐⇒ A ⊂ H. 4. Cho A là nhóm con của nhóm X và a ∈ X, chứng minh rằng tập aA = {ax : x ∈ A} là nhóm con của X khi và chỉ khi a ∈ A. 5. Mô tả cấu trúc của các nhóm cấp 4 không đẳng cấu với nhau. 6. Môt tả cấu trúc các nhóm cấp 9 không đẳng cấu với nhau. 4
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
Bài thu hoạch lớp bồi dưỡng đối tượng kết nạp đảng n...
15
101885
97
1thực trạng của việc ứng dụng máy tính trong công tá...
24
79824
135
Nghiên cứu và xây dựng một hệ thống gánnhãn thời gia...
48
79797
143
Nghiên cứu bài toán xác định collocation trong tiếng...
63
79444
124
Luận văn xây dựng website công nghệ thông tin và quả...
63
79435
129
Xây dựng hệ thống giám sát và điều khiển nhà thông m...
44
79388
161
Phương pháp sáng tạo khoa học ứng dụng trong phát tr...
26
79355
186
Mở rộng bộ dữ liệu huấn luyện cho quá trình xử lý nh...
51
79312
197
Các phương pháp điều khiển tương tranh và truy cập d...
60
79275
125
Nghiên cứu và xây dựng ứng dụng bảo mật trên pda...
168
79264
195
đồ án tốt nghiệp - phân tích, thiết kế và xây dựng m...
22
78748
187
Gán nhãn phân tích cú pháp quan hệ cho song ngữ anh ...
164
78608
143
Nghiên cứu về kiểm chứng phần mềm sử dụng công cụ sp...
50
78408
187
Mô phỏng bỏ phiếu điện tử...
57
78387
160
Trình bày về nội dung vận dung và sự vận dụng những ...
21
77991
133
áp dụng các nguyên lý sáng tạo trong quá trình phát ...
26
77918
143
Luận văn tìm hiểu tấn công dos - ddos...
36
77899
159
đồ án tốt nghiệp - phân tích thiết kế hệ thống - xây...
45
77855
155
Xây dựng chương trình đấu giá điện tử...
55
77769
167
Những nguyên lý sáng tạo trong ứng dụng cân bằng tải...
18
77622
190
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Báo cáo thực tập anala tower
1
55
Báo cáo thực tập tìm hiểu framework vuejs, java spring boot và xây dựng website xem phim online
1
74
Đồ án thiết kế mới tuyến đường qua 2 điểm h d
1
125
Đồ án phân tích dữ liệu tuyển sinh cho trường đại học giao thông vận tải tp. hồ chí minh
1
75
Đồ án nghiên cứu và tham gia triển khai hệ thống mạng
1
108
Đồ án phân tích cổ phiếu gmd niêm yết trên sàn giao dịch chứng khoán tp.hcm
1
68
Đồ án quy hoạch và thiết kế sơ bộ khu vực nhà ga tân kiên (depot đầu máy)
1
66
Đồ án phát triển ứng dụng tự động lấy mã hàng và thông tin người mua hàng từ comment
1
56
Đồ án tìm hiểu framework spring cho backend, reactjs cho frontend và xây dựng website bán giày minh họa
1
138
Đồ án kiến trúc và mô hình truyền dẫn hệ thống mạng truy nhập vô tuyến 6g
1
64
Tài liệu xem nhiều nhất
Bài thu hoạch lớp bồi dưỡng đối tượng kết nạp đảng năm 2016
15
101885
97
1thực trạng của việc ứng dụng máy tính trong công tác quản lý dữ liệu về thị trường khách du lịch ở việt nam.
24
79824
135
Nghiên cứu và xây dựng một hệ thống gánnhãn thời gian
48
79797
143
Nghiên cứu bài toán xác định collocation trong tiếng việt
63
79444
124
Luận văn xây dựng website công nghệ thông tin và quản trị nội dung
63
79435
129
Xây dựng hệ thống giám sát và điều khiển nhà thông minh quan sát và điều khiển trên ppc
44
79388
161
Phương pháp sáng tạo khoa học ứng dụng trong phát triển điện thoại di động
26
79355
186
Mở rộng bộ dữ liệu huấn luyện cho quá trình xử lý nhập nhằng nghĩa của từ
51
79312
197
Các phương pháp điều khiển tương tranh và truy cập dữ liệu trong cơ sở đữ liệu phân tán
60
79275
125
Nghiên cứu và xây dựng ứng dụng bảo mật trên pda
168
79264
195