20041028-thayhoa-bai3

  • Số trang: 15 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
uchihasasuke

Đã đăng 588 tài liệu

Mô tả:

GIẢI TÍCH (CƠ BẢN) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 10 tháng 11 năm 2004 LÝ THUYẾT CHUỖI 1 Chuỗi số 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1. Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký hiệu là ∞ X an . 1 Với mỗi k ∈ N, đặt sk = k X an là tổng riêng phần thứ k. Khi k thay đổi trên N, có dãy 1 tổng riêng phần (sk )k . Nếu lim sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi k→∞ S= ∞ X ∞ X an hội tụ và đặt S = lim sk là tổng của chuỗi, k→∞ 1 an . 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk = +∞ hay lim sk = −∞, ta nói chuỗi k→∞ k→∞ k→∞ ∞ X an phân 1 kỳ. Tính chất 1. Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. 2. Chuỗi ∞ X 1 an và X an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n≥n0 3. Điều kiện cần: nếu chuỗi ∞ X an hội tụ thì lim an = 0. k→∞ 1 1 1.2 Chuỗi không âm Là chuỗi có dạng ∞ X an , an ≥ 0. 1 Tính ∞chất X Cho an , an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk )k là dãy tăng và nếu (sk )k bị chặn thì chuỗi ∞ X 1 an hội tụ. 1 Dấu hiệu so sánh 1. Giả sử 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, nếu kỳ thì ∞ X ∞ X ∞ X bn hội tụ thì 1 an hội tụ, nếu 1 ∞ X an phân 1 bn phân kỳ. 1 2. Giả sử lim n→∞ an = k. Khi đó: bn (a) Nếu 0 < k < ∞ thì ∞ X an , ∞ X 1 (b) Nếu k = 0 và ∞ X (c) Nếu k = ∞ và bn hội tụ thì 1 ∞ X bn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 ∞ X an hội tụ thì an hội tụ, nếu 1 ∞ X bn hội tụ, nếu an phân kỳ thì 1 ∞ X bn phân kỳ thì 1 1 1 ∞ X ∞ X 1 ∞ X bn phân kỳ. an phân kỳ. 1 Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: Z∞ ∞ X Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản: ∞ X 1 • hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 • ∞ X n t , |t| < 1, hội tụ và tổng S = 0 ∞ X tn = 0 1 1−t Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ X an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 1. Nếu k < 1 thì ∞ X an hội tụ. 1 2 2. Nếu k > 1 thì ∞ X an phân kỳ. 1 3. Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ X an+1 ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. Ghi chú. Nếu có an 1 Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ X √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1. Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2. Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3. Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. 1.3 Chuỗi đan dấu Có dạng ∞ X (−1)n an hoặc 1 ∞ X (−1)n an , an ≥ 0. 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ X Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm và lim an = 0 thì chuỗi k→∞ 1 hội tụ. Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: |S| ≤ a1 . 1.4 Chuỗi bất kỳ Có dạng ∞ X an với an có thể âm hay dương. 1 Xét chuỗi không âm chuỗi ∞ X ∞ X ∞ X |an |. Nếu chuỗi 1 an hội tụ tuyệt đối. Nếu chuỗi 1 ∞ X ∞ X |an | hội tụ thì chuỗi 1 an hội tụ nhưng chuỗi 1 ∞ X ∞ X an hội tụ và ta nói 1 |an | phân kỳ, ta nói chuỗi 1 an là bán hội tụ. 1 Tính chất ∞ X Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay đổi thứ tự các số hạng 1 cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi. Ghi chú. Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi thì chuỗi ∞ X ∞ X 1 an cũng hội tụ (phân kỳ) 1 3 |an | hội tụ (phân kỳ) Định lí 1. Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất kỳ (không cần n→∞ n X bk ≤ C. dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi n ∈ N, 1 ∞ ∞ X X Khi đó, chuỗi an bn hội tụ và tổng S = an bn thỏa mãn |S| ≤ Ca1 . 1 1 Thí dụ Xét sự hội tụ của chuỗi 1. ∞ X 1 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Khi α α n ln n x ln x 2 1 đó, f (n) = , n ≥ 2. n lnα n Z∞ Z∞ dx dt = Xét tích phân suy rộng (đổi biến t = ln x) α x ln x tα 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. ∞ X 1 hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. Vậy chuỗi α n ln n 2 ∞ X √ ( n a − 1)α với a > 1 2. 1  1 α √ lnα a an Đặt an = ( n a − 1)α = e n ln a − 1 và bn = α thì lim =1 n→∞ bn n ∞ X lnα a hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. Chuỗi α n 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1.   ∞  X 1 1 3. ln 2 − ln sin 2 n5 n5 1   1    sin 1 1  n2/5  Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln   1 n n n2/5 t3 sin t t2 Do sin t = t − + o(t3 ) nên = 1 − + o(t2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1, ta có lim = t→0 n→∞ bn n t 6 ∞ X 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. n4/5 1   ∞  X 1 1 4. sin − ln 1 + n n 1 4   1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t3 ), ln(1 + t) = t − + o(t2 ) 6 2 2 t Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t2 ) 2 1 an =1 Đặt bn = 2 , ta có lim n→∞ bn 2n ∞ X 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2 2n 1 5. ∞  X 1 1 n+1 − ln n n  1 n+1 − ln n n 1 an t2 =1 Do t − ln(1 + t) = + o(t2 ), đặt bn = 2 , ta có: lim n→∞ bn 2 2n ∞ X 1 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. Do chuỗi 2n2 1 Đặt an = 6. Xét sự hội tụ của chuỗi dương ∞ X an thỏa điều kiện: 1   1 ∀n ≥ n0 , an ≤ 1 − α với α ∈ (0, 1). n  n 1 Ta có: 0 < an ≤ 1 − α , ∀n ≥ n0 n  n 1 Xét lim n2 1 − α n→∞ n    n      1 1 1 α 1−α 2 ln n 2 = 2 ln n − n ln 1 − α = n − n ln 1 − α Ta có ln n 1 − α n n n1−α n   ln n 1 Do lim 1−α = 0, lim nα ln 1 − α = −1 nên n→∞ n n→∞ n n  1 lim n2 1 − α =0 n→∞ n √ n Dẫn đến lim n2 .an = 0 Do chuỗi n→∞ ∞ X 1 ∞ X 1 hội tụ nên an hội tụ. n2 1 7. (a) Xét sự hội tụ của chuỗi ∞ X an thỏa điều kiện: 1 5 an+1 ≤ an > 0, an  n n+1 α (b) Xét sự hội tụ của chuỗi với α > 1 ∞ X un với: 1 un = 1.3. . . . .(2n − 1) 2.4. . . . .2n.(2n + 2) 1 (a) Đặt bn = α , ta có n α  α an+1 n 1 bn+1 ≤ = 1− = , ∀n an n+1 bn n+1 an a1 an+1 ≤ ≤ ··· ≤ = a1 , ∀n Suy ra bn+1 bn b1 ∞ ∞ X X 1 Vậy an ≤ a1 .bn , ∀n. Do α > 1, chuỗi hội tụ nên chuỗi an hội tụ. nα 1 1   32 un+1 2n + 1 3 1 = (b) Ta có =1− ≤ 1− (∗) un 2n + 4 2(n + 2) n+2 ∞ X 1 Tương tự (7a) với bn = ta có chuỗi un hội tụ. (n + 1)3/2 1 Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], α > 1, (1 − t)α ≥ 1 − αt Đặt ϕ(t) = (1 − t)α − (1 − αt), ta có: ϕ0 (t) = −α(1 − t)α−1 + α ≥ 0 Do ϕ(0) = 0 nên ϕ(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)α ≥ 1 − αt 8. Cho α ∈ (0, 2π), s > 0. Xét sự hội tụ của hai chuỗi ∞ X cos nα 1 ns ∞ X sin nα , 1 Trước tiên chứng minh: có M > 0 sao cho n X cos kα ≤ M, 0 ns n X sin kα ≤ M, ∀n 0 Do eikα = cos kα + i sin kα, ∀k ∈ N, ta có: n X 1 − ei(n+1)α (1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α eikα = = iα 1−e (1 − cos α) − i sin α 0 = [(1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α][(1 − cos α) + i sin α] (1 − cos α)2 + sin2 α Đồng nhất phần thực và ảo n X [1 − cos(n + 1)α](1 − cos α) + sin α. sin(n + 1)α 5 cos kα = ≤ 2 2 (1 − cos α) + sin α (1 − cos α)2 + sin2 α 0 6 n [1 − cos(n + 1)α] sin α + (1 − cos α). sin(n + 1)α X 4 sin kα = ≤ 2 2 0 (1 − cos α) + sin α (1 − cos α)2 + sin2 α Vậy điều khẳng định được chứng minh. ∞ X 1 Do hai chuỗi đã cho có dạng an bn với lần lượt bn = cos nα, bn = sin nα và an = s , n 1 (an )n là dãy giảm, lim an = 0 và có hằng số C ≥ 0 thỏa mãn: n→∞ n X sin kα ≤ C, 1 n X cos kα ≤ C, 1 Vậy chuỗi ∞ X cos nα ns 1 , ∞ X sin nα 1 ns ∀n hội tụ. 9. Cho α > 0, s > 0. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu ∞ X (−1)n 2 lnα n ns α ln t ts α−1 ln t α Ta có ϕ0 (t) = s+1 (α − s ln t) ≤ 0 khi ln t ≥ t s α/s Vậy ϕ là hàm giảm khi t ≥ e  α  α X ln n n ln n α/s Với n0 ∈ N sao cho n0 ≥ e , chuỗi đan dấu (−1) có dãy là dãy giảm, s s n n n≥n0 lnα n =0 lim n→∞ ns Theo dấu hiệu Leibnitz, chuội đã cho hội tụ. Xét hàm ϕ(t) = 2 Bài tập 1. Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi sau (a) (b) (c) ∞ X 1 ∞ X 1 ∞ X 1 1 2 4n − 1 1 1 HD: an = 2 = 4n − 1 2 3n2 + 3n + 1 n3 (n + 1)3 arctg n2 1 +n+1 HD: an =  1 1 − 2n − 1 2n + 1 1 1 − 3 n (n + 1)3 HD: arctg a − arctg b = arctg 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 7 a−b 1 + ab  ∞ X 1 p n(n + 1) 1 √ √ ∞ X n+1− n−1 (b) n3/4 1 (a) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) ∞ X √ ( n2 + 1 − n)α 1 ∞ X  n n  1 n+1 n+1 HD: lim =e α n→∞ n n n 1  ∞ X  1 HD: ln(1 + t) ∼ t ln 1 + α n 1   ∞ X 1 n+1 √ ln n−1 n 1  ∞  X 1 t2 1 − cos α HD: 1 − cos t ∼ n 2 1 ∞ X 1 ∞ X 1 (j) n4/3 arctg 1 n2 ln n n3/2 ∞ X 2n + 3n 1 4n + n2 3. Dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn số xét sự hội tụ của chuỗi ∞ X n! (a) n 8 .n2 1 (b) ∞ X 1.3.5. . . . .(2n − 1) 1 ∞ X 22n .(n − 1)! 7n (n!)2 n2n 1  n ∞ X 2n + 1 (d) n 3n − 1 1  n2 ∞ X 1 1 (e) 1+ n 2 n 1 n(n−1) ∞  X n−1 (f) n+1 1 (c) 4. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu: 8 ∞ X n+1 +n+1 1   ∞ X 1 n (−1) . ln 1 + α , (b) n 1 (a) (c) (d) ∞ X 1 ∞ X 1 (e) (f) (−1)n . n2 α>0 1 1 (−1)n tg √ sin √ n n (−1)n 1 n + cos √ n ∞ X √ √ ( n + 1 − n) cos nπ 1 ∞ X (−1)n+1 1 HD: cos nπ = (−1)n 1.4.7. . . . .(3n − 2) 3.5.7. . . . .(2n + 1) 5. Xét sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối của chuỗi (a) (b) (c) (d) ∞ X 1 ∞ X 1 ∞ X 1 ∞ X 1 (−1)n+1 (−1)n n 1 , ln n 1 nα .n1/n  (−1) nα α>0 , n+1 2n2 + 1 cos na , nα HD (5d) ∞ X cos2 na 1 nα α>0 α , α>0 a ∈ (0, π) α > 0, ∞ ,= 1 X cos 2na + 1 2 1 nα ∞ ∞ X X 1 cos 2na Với α ≤ 1, chuỗi phân kỳ, hội tụ. α n nα 1 1 Suy ra chuỗi ∞ X cos2 na nα 1 phân kỳ. 2 Do | cos na| ≥ cos na, ∀n ∈ N nên chuỗi ∞ X | cos na| 1 Vậy chuỗi ∞ X cos na 1 nα nα phân kỳ. , α ≤ 1, hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. 9 3 Chuỗi hàm số 3.1 Sự hội tụ : Định nghĩa 2. Với mọi n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chuỗi hàm tương ứng ký hiệu là mỗi x ∈ I, có chuỗi số thực ∞ P n P un . Với 1 un (x), khi x thay đổi trên I, có vô số chuỗi số, trong số đó có 1 những chuỗi số(hội tụ và những chuỗi phân ) kỳ. ∞ X ∞ P Đăt D = x ∈ I, un (x) hội tụ và đặt u(x) = un (x), x ∈ D. D được gọi là miền 1 1 hội tụ của chuỗi, ký hiệu : u = ∞ P un . 1 Ta nói : – ∞ X 1 – ∞ P 1 P un (x) < ε. un hội tụ về u trên D ⇔ ∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒ n≥k0 P un (x) < ε, ∀x ∈ D. un hội tụ đều về u trên D ⇔ ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒ n≥k0 Dấu hiệu Weierstrass: Giả sử : |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 và ∞ P an hội tụ. Khi đó chuỗi 1 ∞ P un hội tụ đều trên 1 D. Định lí 2 (Weierstrass). 1) Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục trên D, ∞ P un hội tụ đều về u trên D. Khi đó u liên tục trên 1 D. 2) Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục trên [a, b], chuỗi đạo hàm x0 ∈ [a, b] sao cho chuỗi số ∞ P ∞ P u0n hội tụ đều về v và có 1 un (x0 ) hội tụ. 1 Khi đó có hàm u khả vi liên tục trên [a, b] sao cho chuỗi và u0 = v = ∞ P ∞ P un hội tụ đều về u trên [a, b] 1 u0n . 1 Zx u(t)dt = Hơn nữa : a 4 x ∞ Z X 1 u(t)dt. a Chuỗi lũy thừa: Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ∞ P 0 10 an (x − x0 )n , x0 là tâm của chuỗi. Định lí 3. Cho chuỗi lũy thừa ∞ P 0 √ an+1 an (x − x0 ) . Giả sử : lim = ρ hoặc lim n |an | = ρ. n→∞ n→∞ an n 1 Đặt R = và gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi. Khi đó : ρ i. Chuỗi ∞ P an (x − x0 )n hội tụ về hàm u trên (x0 − R, x0 + R). 0 ii. Chuỗi ∞ P an (x − x0 )n phân kỳ khi |x − x0 | > R. 0 iii. Hàm u khả vi và u0 (x) = ∞ P nan (x − x0 )n−1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) 1 Zx u(t)dt = Hơn nữa : ∞ P x0 ∞ X an (x − x0 )n+1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R). Miền hội tụ của chuỗi n + 1 0 an (x − x0 )n là (x0 − R, x0 + R) có thể thêm vào điểm đầu x0 − R và điểm cuối x0 + R 0 tùy từng trường hợp. Thí dụ : 1) Chuỗi ∞ X 0 1 có miền hội tụ là |x| > 1. 1 + x2n ∞ X 1 1 1 Với a > 1, ta có : ≤ , ∀x, |x| ≤ a và hội tụ. Vậy chuỗi hàm hội 2n 2n 1+x 1+a a2n 0 tụ đều trên miền |x| ≥ a. ∞ X (−1)n là chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ là x > 1. Với a > 1, ε > 0, do tính X (−1)n 1 chất của chuỗi đan dấu, có k0 ∈ N : ln a < ε, với k ≥ k0 ta có : ≤ kln1 a ≤ ln x n k0 2) Chuỗi 0 nln x n≥k 1 k0ln a < ε. Vậy chuỗi hội tụ đều trên miền x ≥ a. 3) Chuỗi ∞ X 0 xn , x 6= 1. 1 + xn 1 Với |x| < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x|n < . 2 xn n Suy ra : ≤ 2|x| . 1 + xn Vậy miền hội tụ của chuỗi là (−1, 1). Tuy nhiên chuỗi không hội tụ đều trên (−1, 1). Thật xk vậy, với ε = 1, với mọi k ∈ N có thể chọn x ∈ (0, 1) sao cho: >1 1 − x2 Khi đó : X xn X xn xk 1< = ≤ . 1 − x2 n≥k 1 + x n≥k 1 + xn 11 xn an Với mọi 0 < a < 1, ta có : , ∀x, |x| ≤ a, ∀n ∈ N. ≤ 1 + xn 1 − a ∞ ∞ X P xn n Chuỗi a hội tụ. Vậy chuỗi hội tụ đều trên [−a, a]. 1 + xn 0 0 ∞ ∞ X cos nx X sin nx 4) Với s > 0, chuỗi , hội tụ khi x 6= k2π, k ∈ Z. Thật vậy, với mỗi s s n n 1 1 k, p ∈ N có hằng số M sao cho: k+p k+p X X M M cos nx ≤ , sin nx ≤ 1 − cos x 1 − cos x k k  dãy 1 ns  ∞ ∞ X cos nx X sin nx giảm về 0 nên chuỗi , hội tụ, có tổng s s n x k k S1 = ∞ X cos nx k ns , S2 = ∞ X sin nx k ns 1 1 M M , |S2 | ≤ s . s k 1 − cos x k 1 − cos x Với a > 0 và ε > 0 bất kỳ, M M do ≤ , ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], ∀i ∈ Z, 1 − cos x 1 − cosa M 1 < ε. Khi đó, với k ≥ k0 , ta có: chọn k0 ∈ N sao cho: s . k 1 − cos a ∞ ∞ X X cos nx sin nx < ε, ε, ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a]. ns ns thỏa mãn: |S1 | ≤ k k ∞ ∞ X sin nx X cos nx Suy ra: chuỗi , hội tụ đêu trên miền [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], i ∈ Z. xs xs 1 1 Ghi chú: Chuỗi ∞ X sin n2 x 1 n2 hội tụ trên R nhưng chuỗi đạo hàm từng số hạng 1 không hội tụ. Công thức Maclaurin của các hàm cơ bản: ∞ X 1 1) = tn , |t| < 1 1−t 0 ∞ X 1 2) = (−1)n tn , |t| < 1 1+t 0 t 3) e = ∞ X tn 0 n! ∞ P , ∀t ∈ R 12 cos n2 x 4) sin t = ∞ X (−1)n 0 5) cos t = ∞ X (−1)n 0 6) ln(1 + t) = ∞ X 0 t2n+1 , ∀t ∈ R (2n + 1)! t2n , ∀t ∈ R (2n)! tn+1 (−1) , t > −1 n+1 n 7) (1 + t)α = 1 + αt + α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n t + ... + t + . . . , |t| < 1. 2! n! Chuỗi Taylor: Cho hàm f khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 . Chuỗi ∞ X f (n) (x0 ) 0 n! (x − x0 )n là chuỗi Taylor của f trong lân cận của x0 . Nếu chuỗi Taylor của f có bán kính hội tụ R > 0 thì ∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n , x ∈ (x0 − R, x0 + R). n! 0 Bài Tập 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm : ∞ X 1 1) nx 1 2) ∞ X (−1)n+1 1 ∞ X 1 + nx n−1 xnx 1 ∞  X 4) xn + 3) 0 1 n 2 xn  2. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm: ∞ X (−1)n 1) trên R. HD : dùng chuỗi đan dấu. x2n + n 1 2) ∞ X xn e−nx trên [0, a] với a > 0. 0 ∞ X 1 √ (x2n − x2n+1 ) trên [0, 1]. n 0 1 1 HD : 0 ≤ un (x) = √ (x2n − x2n+1 ) ≤ √ , ∀x ∈ [0, 1]. n n(2n + 1) ∞ X x2 4) (−1)n trên R. (1 + x2 )n 0 3) 13 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) ∞ X xn 1 ∞ X 1 ∞ X 1 ∞ X 1 ∞ X 0 ∞ X 1 ∞ X n (x − 2)n , s > 0. ns (x + 1)n (2n − 1)! xn 3n + 2n √ 2 n (x + 1)n (x − 4)n √ n (−1)n−1 n x n n2 1 n ∞  X n+1 8) (x − 2)2n , HD : đặt t = (x − 2)2 2n + 1 1 7) 9) ∞ X (x + 5)2n−1 n2 4n 1 10) 11) ∞ X 2 ∞ X 1 , HD : xét (x + 5) ∞ X (x + 5)2n−2 1 n2 4n . 1 (x − 1)n n(ln n)2 ln n (x + 2)n . n 4. Tính tổng của các chuỗi sau : 1) ∞ X (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1). 1 HD: đặt f (x) = ∞ X (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1). Tính tích phân hai vế. 1 2) 3) ∞ X n x , x ∈ (−1, 1) n 1 ∞ X xn HD: f (x) = , f (0) = 0. Đạo hàm hai vế. n 1 ∞ X nxn , x ∈ (−1, 1) 1 HD : f (x) = x. ∞ X nxn−1 = x.S(x) với S(x) = ∞ P 1 1 14 nxn−1 . 4) ∞  X 1+ 0 2 3n+1  xn , x ∈ (−1, 1). HD: tách thành tổng hai chuỗi. ∞ X n(n + 1)xn−2 , x ∈ (−1, 1). 5) 2 HD : đặt S(x) = ∞ P n(n + 1)xn−2 , S(0) = 6, xS(x) = 2 ∞ P n(n + 1)xn−1 . 2 5. Khai triển Maclaurin của các hàm số sau : 1) f (x) = sin2 x. HD : sin2 x = 21 (1 − cos 2x). x3 + x + 1 . x3 − 4x + 3 HD : f (x) = x + 4 − 2) f (x) = 3 2(x−1) + 31 . 2(x−3) 2 3) f (x) = xex , Tính f (19) (0). ∞ ∞ X x2n+1 X f (k) (0) k HD : f (x) = = x . Đồng nhất hệ số của x19 ở hai vế. n! k! 0 0 x 4) f (x) = , Tính f (17) (0). 1 + x4 √ 5) f (x) = 3 8 + x. √ 6) f (x) = ln(x + 1 + x2 ). ∞ Zx X α(α − 1) . . . (α − n + 1) 2n 1 HD : f (0), f 0 (x) = (1 + x2 )− 2 , f 0 (x) = t dt, với n! 0 0 1 α=− . 2 Zx sin t dt. 7) f (x) = t 0 15
- Xem thêm -