Tài liệu 20041016-thayhoa-bai2

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Môn: Giải tích cơ bản GV: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa Đánh máy: NTV Phiên bản: 2.0 đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004 HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC 1 Giới hạn liên tục Định nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, điểm x0 ∈ R được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của I nếu với mọi δ > 0, I ∩ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0 } 6= 0. Cho f : I → R và x0 là điểm giới hạn của I. Ta nói: lim f (x) = a ∈ R ⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − a| < ε x→x0 lim f (x) = +∞ (−∞) ⇐⇒ ∀A ∈ R, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x−x0 | < δ =⇒ f (x) > A (f (x) < A) x→x0 Định nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói: f liên tục tại x0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì: f liên tục tại x0 ⇐⇒ lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Nếu f liên tục tại mọi x ∈ I, ta nói f liên tục trên I. f liên tục trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x0 ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <  Ta nói: f liên tục đều trên I ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x0 ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <  Hàm số liên tục trên một đoạn: Cho f : [a, b] → R liên tục. Khi đó: i) f liên tục đều trên [a, b]. ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên [a, b]. Đặt m = min{f (x), x ∈ [a, b]}, M = max{f (x), x ∈ [a, b]}. Khi đó f ([a, b]) = [m, M ] (nghĩa là f đạt mọi giá trị trung gian giữa m, M). 1 2 Sự khả vi f (x0 + t) − f (x0 ) t→0 t Định nghĩa 2.1 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói f khả vi tại x0 nếu lim tồn tại hữu hạn. Khi đó đặt f (x0 + t) − f (x0 ) gọi là đạo hàm của f tại x0 t→0 t f 0 (x0 ) = lim Nếu f khả vi tại mọi x ∈ I, ta nói f khả vi trên I. Định lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Giả sử f 0 (x) 6= 0 trên (a, b). Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho: f 0 (c)[g(b) − g(a)] = g 0 (c)[f (b) − f (a)] Trường hợp g(x) = x, ta có công thức Lagrange f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a) Quy tắc Lôpitan: Cho x0 ∈ R hoặc x0 = ±∞, f, g khả vi trong lân cận của x0 . Giả sử g và g 0 khác không và lim f (x) = lim g(x) = 0 hoặc lim f (x) = lim g(x) = +∞ hoặc −∞. x→x0 Khi đó: Nếu lim x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 f (x) f 0 (x) = A thì lim = A (A có thể là hữu hạn hoặc vô hạn). 0 x→x g (x) 0 g(x) Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân: Cho f liên tục, u, v khả vi. Đặt Zv(x) F (x) = f (t) dt u(x) Khi đó: F khả vi và F 0 (x) = v 0 (x)f (v(x)) − u0 (x)f (u(x)). 3 Vô cùng bé - Vô cùng lớn Hàm f được gọi là lượng vô cùng bé khi x → x0 nếu lim f (x) = 0. x→x0 Cho f, g là hai lượng vô cùng bé khi x → x0 . Giả sử lim x→x0 f (x) =k g(x) - Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé tương đương. - Nếu k 6= 0, k hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé cùng bậc. - Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói g là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn f . - Nếu k = 0, ta nói f là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn g. 2 Bậc của vô cùng bé: Cho f là lượng vô cùng bé khi x → x0 . Giả sử tồn tại k > 0 sao cho f (x) lim (x−x k tồn tại hữu hạn và khác 0, số k > 0, nếu có sẽ duy nhất, được gọi là bậc của vô 0) x→x0 cùng bé f khi x → x0 . Hàm f được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim f (x) = +∞ hoặc −∞. Nếu f là vô x→x0 1 cùng lớn khi x → x0 thì là vô cùng bé khi x → x0 . f (x) Cho f, g là vô cùng lớn khi x → x0 . Giả sử lim fg(x) = k. x→x0 - Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn tương đương. - Nếu k 6= 0 và hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn cùng bậc. - Nếu k = 0, ta nói g là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn f . - Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói f là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn g. Cho f là vô cùng lớn khi x → x0 . Bậc của vô cùng lớn f là số k > 0 (nếu có sẽ duy nhất) sao cho lim (x − x0 )k f (x) tồn tại hữu hạn và khác không. x→x0 4 Công thức Taylor Cho f : (a, b) → R có đạo hàm bậc (n + 1). Với x0 , x ∈ (a, b), tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho: f (x) = n X f (k) (x0 ) k=0 Rn (x) = Hoặc: 1 f (n+1) (n+1)! k! (x − x0 )k + 1 f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) (n + 1)! (x0 + θ(x − x0 )) là dư số Lagrange. f (x) = n X f (k) (x0 ) k=0 k! (x − x0 )k + o (|x − x0 |n ) Rn (x) = o (|x − x0 |n ) là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn n, được gọi là dư số Peano. Nếu x0 = 0 ta được công thức Maclaurin: f (x) = n X f (k) (0) k=0 k! xk + Rn (x) . Công thức Maclaurin của hàm sơ cấp a) ex = 1 + x + x2 xn eθx + ··· + + Rn (x), Rn (x) = xn+1 hoặc Rn (x) = o(xn ). 2! n! (n + 1)! x3 x5 x2n−1 x2n+1 + + · · · + (−1)n + R2n , R2n = (−1)n cos θx. hoặc 3! 5! (2n − 1)! (2n + 1)! = o(x2n ). b) sin x = x − R2n x2 x4 x2n x2n+2 + + · · · + (−1)n + R2n+1 , R2n+1 = (−1)n+1 cos θx. hoặc 2! 4! (2n)! (2n + 2)! = o(x2n+1 ). c) cos x = 1 − R2n+1 3 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n αx α(α − 1) 2 + x + ··· + x + Rn , (x > −1). 1! 2! n! α(α − 1) . . . (α − n + 1) Rn = (1 + θx)α−n+1 .xn+1 hoặc Rn = o(xn ). n! d) (1 + x)α = 1 + e) ln(1 + x) = x − f) arctgx = x − 5 xn x2 x3 + + · · · + (−1)n+1 + o(xn ), x > −1 2 3 n x2n−1 x3 x5 + + · · · + (−1)n+1 + o(x2n ) 3 5 2n − 1 Các giới hạn cơ bản sin t tgt arctgt arcsint ln (1 + t) et − 1 1. lim = lim = lim = lim = lim = lim t→0 t t→0 t t→0 t→0 t→0 t→0 t t t t (1 + t)a − 1 2. lim = a. t→0 t 1 − cos t 1 = . 2 t→0 t 2 3. lim tp = 0 ∀p. t→∞ et 4. lim lnp t = 0, α > 0, ∀p. t→∞ tα 5. lim Thí dụ: Tính các giới hạn sau: √ m (1 + t)1/m − 1 n x−1 1. lim √ = lim = . n 1/n x→1 t→0 (1 + t) −1 m x−1       √ √ √ 1 − (1 + t)1/2 . 1 − (1 + t)1/3 . . . 1 − (1 + t)1/n (1 − x)(1 − 3 x) . . . (1 − n x) lim = lim t→0 (1 − x)n−1 (−t)n−1 2. x→1 1 1 1 1 = . ... = 2 3 n n! x2 x→0 1 + 5x − (1 + x) 5 5 Đặt t = 1 + 5x hay x = t 5−1 x2 (t5 − 1)2 (t5 − 1)2 Suy ra : √ = − = − 5 5(t5 − t + 4) 5(t − 1)2 (t3 + 2t2 + 3t − 4) 1 + 5x − (1 + x) Vậy I = − 25  x   1 e −1 1 4. lim ln = lim ln(ex − 1) − ln x = 1 x→+∞ x x→+∞ x x 3. I = lim √ n ln(cos x) ln[1 + (cos x − 1)] cos x − 1 1 = lim = lim =− 2 2 2 x→0 x→0 x→0 x x x 2   1 1 − cos x x2 6. lim − cotg x = lim = lim =0 x→0 x→0 x→0 2x sin x sin x 5. lim 4  √ 3 7. lim x→0 cos x − x2 √ cos x = lim x2 1− 2 x→0 2  13 x2 − 1− 2 2 x   12 − = lim x→0 x2 x2 + 6 4 = 1 2 x 12 α x (1 + t) − 1 , lim =α) t→0 2 t √ √ √  √   √ √  x+1− x x+1+ x 8. lim sin x + 1 − sin x = lim 2 sin . cos =0 x→∞ x→∞ 2 2 (dùng 1 − cos x ∼ Tính lim u(x)v(x) x→x0 Đặt y = uv ⇒ ln y = v ln u. Sau đó tính lim v ln u x→x0 Nếu lim v ln u = a thì lim uv = ea x→x0  9. lim x→+∞ x+2 x−3 x→x0 3x+4 3x+4   x+2 x+2 ⇒ ln y = (3x + 4) ln Đặt y = lim x→+∞ x−3 x−3   5 ⇒ ln y = (3x + 4) ln 1 + x−3 5 Vậy lim ln y = lim (3x + 4). = 15 x→∞ x→∞ x−3 Suy ra lim y = e15  x→∞  1 1 + tg x sin x 10. lim x→0 1 + sin x   1 1 + tg x sin x Đặt y = 1 + sin x     1 + tg x 1 tg x − sin x 1 ln = ln 1 + ⇒ ln y = sin x 1 + sin x sin x 1 + sin x  (dùng ln(1 + t) ∼ t) 1 −1 tg x − sin x ⇒ lim ln y = lim = lim cos x =0 x→0 x→0 sin x(1 + sin x) x→0 1 + sin x Vậy lim y = 1 x→0 Chứng minh các lượng vô cùng bé sau tương đương khi x → 0: 1. f (x) = x sin2 x, g(x) = x2 sin x f (x) x sin2 x = lim 2 =1 x→0 g(x) x→0 x sin x lim 5 2. f (x) = e2x − ex , g(x) = sin 2x − x f (x) e2x − ex 2e2x − ex = lim = lim =1 x→0 g(x) x→0 sin 2x − x x→0 2 cos 2x − 1 lim So sánh các vô cùng bé khi x → 0 1. f (x) = 1 − cos3 x, g(x) = x sin x f (x) 1 − cos3 x (1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x) 3 = lim = lim = 2 x→0 g(x) x→0 x→0 x sin x x 2 (thay sin t ∼ t) lim Vậy f , g là vô cùng bé cùng bậc. 3 2. f (x) = cos x − cos 2x, g(x) = x 2 f (x) cos x − cos 2x (cos x − 1) + (1 − cos 2x) = lim = lim =0 3 3 x→0 g(x) x→0 x→0 x2 x2 lim Vậy f là vô cùng bé bậc lớn hơn g. Tìm bậc của các vô cùng bé sau khi x → 0 √ √ 1. f (x) = cos x − 3 cos x  1  1 x2 2 x2 3 √ √ 1− − 1− f (x) 1 cos x − 3 cos x 2 2 lim = lim = lim =− nếu k = 2 k k x→0 xk x→0 x→0 x x 12 Vậy f là vô cùng bé bậc 2. 2. f (x) = x sin x − sin2 x  Ta có: f (x) = sin x(x − sin x) ∼ x x3 3!  x4 = (dùng khai triển Taylor) 3! Vậy f là vô cùng bé bậc 4. p √ 3. Tìm bậc của vô cùng lớn f (x) = 1 + x khi x → +∞ q p p √ −1 −1 1 1 f (x) = 1 + x = x 2 (1 + x 2 ) = x 4 1 + x 2 Vậy f là vô cùng lớn bậc 1 4 Lưu ý. Để tìm bậc của vô cùng lớn khi x → +∞, ta tìm số k > 0 sao cho lim x→∞ tại hữu hạn và khác không. 4. Tìm lượng tương đương của f (x) = x[ p x2 + √ √ x4 + 1 − x 2] khi x → +∞ Dùng (1 + t)α ) − 1 ∼ αt khi t → 0, ta có   " #   21 ! 12  12 √ √ 1 1 f (x) = x2  1 + 1 + 4 − 2 ∼ x2 2+ 4 − 2 x 2x 6 f (x) tồn xk ∼x √ 2 " 2 1 1+ 4 4x  12 √ x2 2 −1 ∼ 8x4 # √ Vậy f là vô cùng bé tương đương với g(x) = 2 khi x → +∞ 8x2 5. Cho n là số tự nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa thức sao cho fn (x)enx + fn−1 (x)e(n−1)x + · · · + f0 (x) = 0 với mọi x lớn bất kỳ. Chứng minh f0 , f1 , . . . , fn đồng nhất bằng 0. Giả sử fn không đồng nhất triệt tiêu fn (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a0 , ak 6= 0 xp = 0 với a > 0, ∀p, ta được ak = 0. x→∞ eax Chia hai vế cho xk enx , cho x → ∞, áp dụng lim Mâu thuẫn. Vậy fn ≡ 0. Tương tự cho fn−1 , . . . , f1 đồng nhất triệt tiêu. Khi đó, f0 (x) = 0 với mọi x lớn bất kỳ. Vậy f0 ≡ 0. 6. Cho n là số tự nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa thức sao cho fn (x)(ln x)n + fn−1 (x)(ln x)n−1 + · · · + f0 (x) = 0 với mọi x > 0. Chứng minh f0 , f1 , . . . , fn đồng nhất triệt tiêu. Đặt x = ey và viết biểu thức vế trái dưới dạng gk (y)eky + gn−1 (y)e(k−1)y + · · · + g0 (y) = 0 với mọi y, trong đó k là số tự nhiên. Làm tương tự như bài (5), ta có gk , . . . , g0 đồng nhất triệt tiêu. Vậy f0 , f1 , . . . , fn đồng nhất triệt tiêu. 6 Bài tập 1. Tính các giới hạn sau tg3 x − 3 tg x  π x→ 3 cos x + 6 (b) lim x[ln(x + a) − ln x] (a) limπ x→∞ x2 − 1 x→1 x ln x √ √ 3 (d) lim x3 + 3x2 − x2 − 2x (c) lim x→+∞ 1 (e) lim (cos x) x2 x→0 1 (f) lim (sin x + cos x) x x→0 7 2. Tính các giới hạn sau bằng thay các vô cùng bé tương đương. Các lượng vô cùng bé sau tương đương khi t → 0: t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et − 1) t2 2 α (1 + t) ∼ 1 + αt (1 − cos t) ∼ ln(1 + 2x sin x) x→0 tg2 x sin2 3x (b) lim 2 x→0 ln (1 − 2x) √ 1 + cos 2x √ (c) lim √ π± x→ 2 π − 2x (a) lim ln(cos x) x→0 ln(1 + x2 ) (d) lim 3. Dùng công thức Taylor tính các giới hạn sau:    1 2 (a) lim x − x ln 1 + x→∞ x 1 − (cos x)sin x x→0 x3 Hướng dẫn: sin x. ln(cos x) = sin x. ln[1 + (cos x − 1)] ∼ sin x.(cos x − 1)   2  x3 x x3 ∼ x− + ... − − ... ∼ − 3! 2 2 x3 x3 1 − (cos x)sin x = 1 − esin x. ln(cos x) ∼ 1 − e− 2 ∼ 2 1 − (cos x)sin x 1 Vậy lim = x→0 x3 2 x (1 + x) − 1 (c) lim x→0 sin2 x 1 e − (1 + x) 2 (d) lim x→0 x (b) lim 4. Dùng quy tắc L’Hopital tính các giới hạn sau ex − e−x − 2x x→0 x − sin x x xe 2 (b) lim x→∞ x + ex ln x (c) lim+ x→0 1 + 2 ln(sin x) π − 2 arctg x   (d) lim x→∞ 1 ln 1 + x (a) lim 8 5. Dùng quy tắc L’Hopital khử các dạng vô định (a) lim+ ln x. ln(x − 1) x→1   1 1 (b) lim − x→0 x ex − 1 (c) lim (1 + x)ln x x→0+ 1 tg x x2 (d) lim x→0 x (e) lim+ (x)sin x  x→0 (f) lim (π − 2x)cos x π− x→ 2 Hướng dẫn: Đặt x = π +t 2 9