Tài liệu 20041008-thayhoa-bai1

GIẢI TÍCH CƠ BẢN (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ PGS. TS Lê Hoàn Hóa Ngày 11 tháng 10 năm 2004 1 Giới hạn của dãy số 1.1 Định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta nói : • Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, ký hiệu lim xn = x hay lim xn = x nếu n→∞ với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì |xn − x| < . lim xn = x ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn − x| <  ⇐⇒ lim |xn − x| = 0 • Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo tứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứ tự xn < A). • Dãy (xn )n phân kỳ nếu không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vậy với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n hội tụ hoặc (xn )n phân kỳ. 1.2 Định lý cơ bản 1. Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm, bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b. 2. Giới hạn kẹp : Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a. 3. Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | <  1.3 Các giới hạn cơ bản 1. lim 1 = 0, ∀α > 0 nα 2. lim q n = 0, ∀q, |q| < 1 √ 3. lim n a = 1, ∀a > 0 1 4. lim 5. lim √ n np = 1, ∀p ≥ 0 np = 0, ∀a > 0, ∀p (1 + a)n np = 0, ∀p en 1 7. lim(1 + )n = e n 1 8. lim(1 − )n = e−1 n 6. lim lnp n = 0, ∀α > 0, ∀p nα n =e 10. lim √ n n! 9. lim 1.4 Ví dụ 1.4.1 Ví dụ 1 a n a ) , yn = (1 + )n+1 , n ∈ N. n n 1. Chứng minh : (xn )n là dãy tăng, (yn )n là dãy giảm. Với a > 0, cho xn = (1 + 2. Chứng minh :(xn )n ,(yn )n hội tụ và lim xn = lim yn . Đặt lim xn = lim yn = ea Giải : 1. Trước tiên ta chứng minh : Với α ≥ −1, (1 + α)n ≥ 1 + nα, ∀n ∈ N . Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n. Khi đó, do 1 + α ≥ 0 : (1 + α)n+1 = (1 + α)n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) = 1 + (n + 1)α + α2 ≥ 1 + (n + 1)α Ta có, với mọi n ∈ N : xn+1 = xn a n+1 a ) 1 + a a n+1 n + 1 )n = (1 + a )(1 − = (1 + )( )n a n a n + 1 n + 1 (n + 1)(n + a) (1 + ) 1+ n n a na a2 ≥ (1 + )[1 − ]=1+ >1 n+1 (n + 1)(n + a) (n + 1)2 (n + a) (1 + Vậy (xn )n là dãy tăng. Tương tự : a n+1 ) yn a −1 a n = = (1 + ) [1 + ]n+1 a n+2 yn+1 n+1 n(n + 1 + a) (1 + ) n+1 a (n + 1)a (n + 1)a ≥ (1 − )(1 + )≥1+ >1 n+1+a n(n + 1 + a) n(n + 1 + a)2 (1 + Vậy (yn )n là dãy giảm. 2 2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n là dãy tăng, bị chặn trên ; (yn )n là dãy giảm, bị chặn dưới, chúng hội tụ. Đặt a lim xn = lim yn = lim(1 + )n = ea n 1.4.2 Ví dụ 2 Cho (xn )n định bởi : x1 = chặn trên. Tính lim xn √ 2, xn+1 = √ 2 + xn , ∀n ∈ N . Chứng minh (xn )n là dãy tăng, bị Giải : Ta có : xn ≥ 0, ∀n và xn+1 − xn = √ 2 + xn − xn 2 2 + xn − xn = √ 2 + xn + xn Tam thức bậc hai 2 + xn − x√n 2 ≥ 0 ⇐⇒ −2 ≤ xn ≤ 2, ∀n. √ Bằng quy nạp, ta có : x1 = 2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó : xn+1 = 2 + xn ≤ 2 Vậy (xn )n là dãy tăng, bị chặn trên nên (xn )n hội tụ. Đặt x = lim xn . √ √ Từ đẳng thức xn+1 = 2 + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞, ta có : x = 2 + x hay x2 − x − 2 = 0 Vậy x = 2. 1.4.3 lim Ví dụ 3 3n+1 [1 + (2/3 )n+1 ] 3n+1 + 2n = lim =3 3n + 2n 3n [1 + (2/3 )n ] 1.4.4 Ví dụ 4 √ Tính lim n an + bn + cn , a, b, c > 0. Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có : a≤ Vậy lim √ n √ n r an + b n + c n = a n √ b c n 1 + ( )n + ( )n ≤ a 3 a a an + bn + cn = max{a, b, c} 1.4.5 Ví dụ 5 √ Tính lim n n2 2n + 3n n2 n2 Do lim = 0 nên có n0 ∈ N sao cho < 1, ∀n ≥ n0 . (3/2 )n (3/2 )n Với n ≥ n0 , ta có : s √ √ n2 n n 3 ≤ n2 2n + 3n = 3 n 1 + ≤ 3 2 n (3/2 ) √ Do định lý giới hạn kẹp lim n n2 2n + 3n = 3 3 1.4.6 Ví dụ 6 √ Tính lim sin(π n2 + 1) √ √ 0 ≤ | sin(π n2 + 1)| = | sin π( n2 + 1 − n)| = | sin( √ π π )| ≤ √ n2 + 1 + n n2 + 1 + n √ Vậy lim sin(π n2 + 1) = 0 BÀI TẬP Tính các giới hạn sau √ √ 1. lim( n2 + 5 − n2 + 3) 2. lim n sin n n2 + 1 3. lim an − b n , ∀a, b > 0 an + b n 4. lim nq n , |q| < 1 5. lim 2n 2n 2.2...2.2 4 ( HD: = ≤ ) n! n! 1.2....(n − 1).n n 6. lim n2 n! 7. Chứng minh : 12 + 22 + ... + n2 = 12 + 22 + ... + n2 n3 √ 8. Tính lim n( n e − 1) n(n + 1)(2n + 1) 6 Tính HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : (1 + 1 n 1 n ) < e < (1 − ) , ∀n n n−1 √ √ 9. Cho (xn )n định bởi : x1 = a, xn+1 = a + xn , ∀n(a > 0) Xét tính đơn điệu của (xn )n và tính lim xn (nếu có). n 10. Tính lim √n 2 √ n ln n )] HD : √n = exp[− n ln 2(1 − √ n ln 2 2 √ lnn Do lim √ = 0 nên lim(ln n − n ln 2) = −∞. Suy ra với mọi A > 0, có n0 ∈ N sao n ln 2 n n cho với n ≥ n0 thì √n ≤ e−A . Vậy lim √n = 0 2 2 4