Mô tả:
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
2
Câu 1.
I
1
x2
dx
x2 7x 12
1
2
I 1
2
16
9
dx = x 16ln x 4 9ln x 3 1 = 1 25ln2 16ln3 .
x 4 x 3
2
Câu 2.
I
1
dx
x5 x3
1
1 1
x
x x3 x2 1
x3( x2 1)
Ta có:
I ln x
5
Câu 3.
I
4
Câu 4.
I
2
1
3
1
3
ln( x2 1) ln2 ln5
2
2
2
8
2x
1
1
2
3x2 1
x 2x 5x 6
3
2
dx
2 4 13 7 14
I ln ln ln2
3 3 15 6 5
xdx
1
( x 1)3
1
x
x 1 1
1
( x 1)2 ( x 1)3 I ( x 1)2 ( x 1)3 dx
Ta có:
3
3
0
8
( x 1)
( x 1)
0
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.
I
1
Câu 6.
I
( x 1)2
(2x 1)4
dx
7x 199
101
0 2x 1
7x 1
I
2x 1
0
1
99
1 x 1
Ta có: f ( x) .
3 2x 1
I
0 (x
5x
2
4)
2
99
7x 1
1 1 7x 1
d
2x 12 9 0 2x 1 2x 1
dx
100
Câu 7.
3
x 1
1 x 1
.
I
C
9 2x 1
2x 1
dx
1 1 7x 1
9 100 2x 1
1
2
dx
1 100
1
2 1
0 900
Đặt t x2 4 I
Trang 1
http://megabook.vn
1
8
1
x7
Câu 8.
I
Câu 9.
I x5(1 x3)6dx
0 (1
x 2 )5
Đặt t 1 x2 dt 2xdx I
dx
1 2 (t 1)3
1 1
dt .
2 1 t5
4 25
1
0
Đặt t 1 x3 dt 3x2dx dx
4
Câu 10. I
3
1
1
x( x 1)
4
2
2
1 x7
Câu 12. I
x(1 x7 )
1
Câu 13. I
3
1
Đặt : x
11 6
1 t 7 t8
1
t
(1
t
)
dt
30
3 7 8 168
1
2
3
1
t
1
3
t t 2 1 dt 4 ln 2
1
1 32
dt
. Đặt t x I
I 5 10
2
2
5 1 t (t 1)2
1 x .( x 1)
2
x.( x10 1)2
1
3x2
I
Đặt t x2 I
dx
dx
Câu 11. I
dt
2
I
dx
1
x4.dx
(1 x7 ).x6
x7.(1 x7 )
5
dx . Đặt t x7 I
1 128 1 t
dt
7 1 t(1 t )
dx
x (1 x2 )
6
1
I
t
3
3
1
t6
dt
t2 1
4 2
117 41 3
1
t t 1 2 dt =
135
12
t
1
3
1
3
2
Câu 14. I
x2001
1 (1
2
x2 )1002
2
x2004
I
3
2 1002
1 x (1 x )
Cách 2: Ta có: I
.dx
1
.dx
1002
1 3 1
x 2 1
x
1000
2
1 x2
4
1 1 x
1
x2
1 dt
11
x2000.2xdx
. Đặt t 1 x2 dt 2xdx
2
2000
2
2
2 0 (1 x )
(1 x )
1 2 (t 1)1000
1 2 1
I 1000 2 dt 1
21 t
2 1 t
t
Câu 15. I
.dx . Đặt t
1
1
d 1
t 2002.21001
dx
Trang 2
http://megabook.vn
2
x3
dx .
1 x
Ta có:
1
2
1 x4
3
2
1
x2 . Đặt t x 1 dt 1 1 dx
1
x
x2
x2 2
x
3
2
3
2 1
1
t 2
1
I 2
.ln
ln
dt
2
t 2 t 2
2 1
2
2
t
2
2
2
2
2
t
2
1
1
1
dt
2
Câu 16. I
1
1 x2
1 1
x4
1
1
dx
1
5
2
1
2
1
1
dt
. Đặt t x dt 1 dx I
.
x
2
x
1 x 4 x2 1
t
2
x2
2
x2
du
5
5
; tan u 2 u1 arctan2; tan u u2 arctan
Đặt t 2 tan u dt 2
2
2
2
cos u
1 x
Ta có:
2
u
2 2
2
2
5
du
(u2 u1)
arctan arctan2
2 u
2
2
2
1
I
2
Câu 17. I
1 x2
3
1 x x
1
Câu 18. I
0
x4 1
x6 1
1
1
2
1
4
x
Ta có: I
dx . Đặt t x I ln
1
x
5
1
x
x
2
dx
dx
x4 1 ( x4 x2 1) x2
x4 x2 1
x2
1
x2
x6 1
x6 1
( x2 1)( x4 x2 1) x6 1 x2 1 x6 1
Ta có:
1 1 d( x3)
1
I 2 dx 3 2 dx .
3 0 (x ) 1
4 3 4 3
0 x 1
1
Câu 19.
1
3
3
I
x4 1
0
I
3
3
0
x2
x
dx
2
( x 1)( x 1)
2
1
Câu 20. I
0
2
xdx
x 4 x2 1
.
dx
1
2
3
3
0
1
1
1
2
dx ln(2 3)
2
4
12
x 1 x 1
Đặt t x2 I
1 1 dt
11
2 0 t 2 t 1 2 0
Trang 3
http://megabook.vn
dt
2
1 3
t
2 2
2
6 3
Câu 21. I
1 5
2
x2 1
x 4 x2 1
1
1
1
x2 1
Ta có:
dx
x 4 x2 1
x2
1
x2
x2
. Đặt t x
1
1
1
dt 1 dx
x
x2
1
dt
I
1
2
0t
4
du
. Đặt t tan u dt
2
cos u
I du
0
4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
x
Câu 22. I
dx
3x 9x 1
x
I
dx x(3x 9x2 1)dx 3x2dx x 9x2 1dx
3x 9x2 1
2
3
+ I 1 3x dx x C1
2
3
1
1
+ I 2 x 9x 1dx 9x2 1 d(9x2 1) (9x2 1) 2 C2
18
27
2
3
1
I (9x2 1) 2 x3 C
27
Câu 23. I
x2 x
1 x x
x2 x
1 x x
dx
x2
dx
1 x x
x
dx
1 x x
dx .
x2
4
dx . Đặt t= 1 x x t 2 1 x x x3 (t 2 1)2 x2dx t (t 2 1)dt
3
1 x x
+ I1
4
4
4
4
(t 2 1)dt t 3 t C =
9
3
9
3
x
+ I2
1 x x
Vậy: I
4
9
4
Câu 24. I
0 1
dx =
1 x x
2x 1
2x 1
3
dx
1 x
x
3
4
1 x x C1
3
2 d(1 x x)
4
1 x x C2
=
3
3
1 x x
C
Đặt t 2x 1 . I =
Trang 4
http://megabook.vn
3
t2
1 t dt 2 ln2 .
1
6
dx
Câu 25. I
2 2x 1
4x 1
1
Câu 26. I x3 1 x2 dx
3 1
2 12
Đặt t 4x 1 . I ln
1
Đặt: t 1 x2 I t 2 t 4 dt
0
0
1
1 x
Câu 27. I
0 1
2
.
15
dx
x
1
2
t t
11
4ln2 .
dt = 2 t 2 t 2
dt =
3
1 t
t 1
0
0
1 3
Đặt t x dx 2t.dt . I = 2
3
x3
Câu 28. I
dx
3
x
1
x
3
0
2
2
2
1
3
dt (2t 6)dt 6
dt 3 6ln
2
2
t 1
1 t 3t 2
1
1
Đặt t x 1 2tdu dx I
Câu 29. I
0
x.
3
2t 3 8t
x 1dx
1
1
t7 t4
9
Đặt t x 1 t x 1 dx 3t dt I 3(t 1)dt 3
28
7 4 0
0
3
3
5
Câu 30. I
1
x2 1
x 3x 1
1
2
3
dx
2
t2 1
1
4 3
2tdt
2tdt
Đặt t 3x 1 dx
I 2
.
3
3
t 1
2
.t
3
4
4
2 1 3
t 1
100
9
t t ln
ln .
9 3
t 1 2 27
5
2
3
Câu 31. I
0
2 x2 x 1
x 1
4
24 2
dt
(
t
1)
dt
2
2
92
2 t 1
dx
x 1 t x t 2 1 dx 2tdt
Đặt
2
2(t 2 1)2 (t 2 1) 1
I
2tdt
t
1
2
4t 5
54
2 (2t 4 3t 2 )dt
2t 3
5
1 5
1
2
Trang 5
http://megabook.vn
1
x2dx
Câu 32. I 2
0 ( x 1)
x 1
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
I
2
(t 2 1)2
t3
1
4
.2tdt 2
1
x 1
Câu 33. I
1
0
2
2
t3
1
1
16 11 2
t dt 2 2t
t 1
3
t
3
2
1 2x
2
dx
Đặt t 1 1 2x dt
dx
1 2x
dx (t 1)dt và x
t 2 2t
2
1 (t 2 2t 2)(t 1)
1 4 t 3 3t 2 4t 2
1 4
4 2
Ta có: I =
dt
dt t 3 dt
2
2
22
22
2 2
t t2
t
t
4
=
Câu 34. I
8
3
1 t2
2
1
3t 4ln t = 2ln2
2 2
t
4
x 1
dx
x2 1
x
1
2
2
I
dx = x 1 ln x x 1
2
2
x 1
3 x 1
8
8
3
= 1 ln
3 2 ln 8 3
1
Câu 35. I ( x 1)3 2x x2 dx
0
1
1
I ( x 1)3 2x x2 dx ( x2 2x 1) 2x x2 ( x 1)dx . Đặt t 2x x2 I
0
0
2
2x 3x x
3
Câu 36. I
x2 x 1
0
2
I
2
( x2 x)(2x 1)
x2 x 1
0
2
dx
3
dx . Đặt t x2 x 1 I 2 (t 2 1)dt
1
x3dx
Câu 37. I
3
0
4 x2
3
Đặt t 4 x2 x2 t 3 4 2xdx 3t 2dt I
3 2 4
3 8
(t 4t )dt 43 2
23
2 5
4
Câu 38. I
1
4
.
3
11
dx
x 1 x2
Trang 6
http://megabook.vn
2
.
15
Ta có: I
+ I1
+ I2
1
1 x 1 x2
1 (1
x)2 (1 x2 )
1
1 x 1 x2
1 11
1 x2
dx 1 dx
dx
2
x
2
x
2
x
1
1
1
1
dx
1 11
1
1
1 dx ln x x |1 1
2 1 x
2
1
1 x2
dx . Đặt t 1 x2 t 2 1 x2 2tdt 2xdx I2=
2x
1
2
t 2dt
2
2 2(t 1)
0
Vậy: I 1 .
Cách 2: Đặt t x x2 1 .
1
3 3
x
x
1
Câu 39. I
3
2
4 x2
dx
x
Câu 40. I
1
2
4 x2
Ta có: I
x
1
I=
0
t (tdt )
4 t2
3
Câu 41. I
2
0
( x2 1) x2 5
x 2
1
x x2
3
3
Đặt t x I 5
1
1
0
4
5
Đặt t x 5 I
3t
dt
2
4
1 15
ln .
4 7
1
x2 x 1
2
2 5
2t
1
dt 5 1
dt 5 3 1 ln
2
2
3 12
t t 1 t 1
t(t 1)
1
3
t3 2
2
dx
1 3
1
3
2 3
= 3 ln
2
3
3
2
dx
Đặt t x x2 x 1 I
Câu 44. I
0
dx
6
Câu 43. I
0
t2
x
27
4 x2 t 2 4 x2 tdt xdx
xdx . Đặt t =
t 2
dt (1
)dt t ln
2
t2
t2 4
3t 4
3
2 5
2
Câu 42. I
dx
x4
1
3
1
1
3 1
1
Ta có: I 2 1 . 3 dx . Đặt t 2 1 I 6 .
x
x
1 x
1
x2
2
2
0 (1 1 x ) (2 1 x )
4
1
2dt
ln(2t 1)
1
2t 1
3
ln
dx
42 36
4
Đặt 2 1 x t I 2t 16 2 dt 12 42ln
t
3
t
3
Trang 7
http://megabook.vn
3 2 3
3
3
x2
0 2( x 1) 2
x 1 x x 1
Câu 45. I
2
t (t 1)2
1
Câu 46. I
3
2 2
x x3 2011x
3
2 2
Ta có: I
1
M
2 2
1
3
N
2011
3
1
2 2
2011
x2
dx
dx M N
3
x3
x
1
dx . Đặt t
dx
2 2
x
1
I
1
1
x2
x3
1
2 2
1
0 (1
x2
1 M
3
2
0
2 2
2011
2011x dx
2x2 1
3
t 3dt
213 7
128
14077
16
3
x3). 1 x3
3
3
3
3
2
dt
2
3
1
t 2. t 3 1 3
t
Đặt u 1
Câu 48. I
1
t3
2 2
3
du
t2
1
t 4.(t 3 1) 3
2
1
3dt
dt
3
2
dt
t4
3
2
Đặt t 1 x I
1
1
7
2
dx
Câu 47. I
3
3
14077 213 7
.
16
128
1
3
dx
x4
1
2
2 2
2
2 (t 1)2 dt (t 1)3
1
3
3
1
2t(t 2 1)2 dt
Đặt t x 1 I
dx
2
3
1
t 4 1 3
t
1
2
2
u 3
I
0
3
2
dt
1
t 2.(t 3 1) 3
2
1
t
t4
2 1 3
1
du
2
3
dt
1
2
1 2 3
u du
3
0
x4
dx
1 2
x x x 1
Đặt t x2 1
Trang 8
http://megabook.vn
1
1 u3
1
2
3 1
3 0
1
1 2
u3
0
1
3
2
3
I
3 4
(t 2 1)2
dt =
t2 2
2
t 2t 2 1
t2 2
2
3
3
dt t dt
2
2t
2
1
2
2
dt
19
2 4 2
ln
3
4 4 2
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
1
dx
2
x
ln
1
x
1 x
0
1 x
Câu 49. I
1
1 x
Tính H
1 x
0
x cost; t 0; H 2
2
2
dx . Đặt
1
u ln(1 x)
1
K
Tính K 2x ln(1 x)dx . Đặt
2
dv 2xdx
0
Câu 50. I
2
(x
5
x2 ) 4 x2 dx
2
I=
2
(x
5
x ) 4 x dx =
2
2
2
x
5
4 x dx +
2
2
+ Tính A =
x
x
2
4 x2 dx = A + B.
2
2
2
2
5
4 x2 dx . Đặt t x . Tính được: A = 0.
2
4 x2 dx . Đặt x 2sin t . Tính được: B = 2 .
2
2
+ Tính B =
x
2
Vậy: I 2 .
2
Câu 51. I
3
4 x2 dx
2x4
1
2
Ta có: I
2
3
4
1 2x
2
+ Tính I 1 =
3
1 2x
2
+ Tính I 2
1
4
dx
dx =
4 x2
2x4
1
4 x2
2x4
dx .
3 2 4
7
x dx .
21
16
dx . Đặt x 2sin t dx 2costdt .
Trang 9
http://megabook.vn
1 cos tdt 1
12
3
2 1
cot
t
dt
cot 2 t .d (cot t )
4
2
8 sin t
8
8
8
sin t
2
2
I2
2
6
Vậy: I
1
7 2 3 .
16
1
x2dx
0
4 x6
Câu 52. I
6
6
Đặt t x3 dt 3x2dx I
1 1 dt
.
3 0 4 t 2
16
Đặt t 2sin u, u 0; dt 2cosudu I dt .
2
30
18
2
2 x
dx
x2
Câu 53. I
0
1
2
0
x2dx
Câu 54. I
3 2 x x2
0
1
Ta có: I
0
x2dx
22 ( x 1)2
. Đặt x 1 2cost .
2
3
I
2
2
3
1
2
Câu 55.
t
2
Đặt x 2cost dx 2sin tdt I 4 sin2 dt 2 .
(1 2cost ) 2sin t
2
4 (2cost )2
dt =
3 4cost 2cos2t dt =
2
3 3
4
2
2
1 2x 1 x2 dx
6
Đặt x sin t I (cost sin t ) costdt
0
0
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 56. I
3
x2 1dx
2
Trang 10
http://megabook.vn
12
3 1
8 8
x
dx
u x2 1 du
2
Đặt
x 1
dv dx
v x
I x x 1
2
5 2
3
2
I
3
2
3
x.
2
x 1dx
2
x
x2 1
3
2
dx 5 2
dx
x2 1
2
x 1
2
3
dx
x2 1
1
5 2 I ln x x2 1
3
2
5 2
1
ln 2 1 ln2
2
4
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x
1
vì 2;3 1;1
cost
Trang 11
http://megabook.vn
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 57. I
8cos2 x sin2x 3
dx
sin x cos x
(sin x cos x)2 4cos2x
dx sin x cos x 4(sin x cos x dx
sin x cos x
3cos x 5sin x C .
cot x tan x 2tan2x
Câu 58. I
dx
sin4x
2cot 2x 2tan2x
2cot 4x
cos4x
1
Ta có: I
dx
dx 2
dx
C
2
sin4x
sin4x
2sin4x
sin 4x
cos2 x
8
Câu 59. I
dx
sin2x cos2x 2
1 cos 2x
1
4 dx
Ta có: I
2 2 1 sin 2x
4
cos 2x
1
dx
4 dx
2
2 2 1 sin 2x
sin x cos x
4
8
8
I
cos 2x
1
dx
4 dx 1
2 2
3
2 2 1 sin 2x
sin x
4
8
1
3
ln 1 sin 2x cot x
C
4
8
4 2
Câu 60. I
2
dx
3sin x cos x
3
1
dx
1
dx
= I
.
=
4
4
3
2 x
1 cos x
2sin
3
3
3
2 6
1
I
2
Câu 61. I
6
1
2sin x
0
dx
3
Trang 12
http://megabook.vn
Ta có: I
cos
6
6
6
1
2 0
1
sin x sin
3
dx
6
dx
1
2
dx
sin x sin
3
3
x x
cos
2 6 2 6
0
dx
x
x
sin x sin
2cos .sin
3
2 6
2 6
x
x
cos
sin
6
6
1
2 6 dx 1
2 6 dx ln sin x
20
x
20
x
2 6
sin
cos
2 6
2 6
0
0
6
0
x
ln cos
2 6
6
0
2
(sin
Câu 62. I
4
x cos4 x)(sin6 x cos6 x)dx .
0
Ta có: (sin4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x)
33
33 7
3
.
cos4x cos8x I
128
64 16
64
2
cos2x(sin
Câu 63. I
4
x cos4 x)dx
0
2
0
1
1 2
0
1
I cos2x 1 sin2 2x dx 1 sin2 2x d(sin2x) 0
2
2
2
2
(cos
Câu 64. I
3
x 1) cos2 x.dx
0
A =
2
2
5
cos xdx
0
0
2
cos x.dx
0
Vậy I =
=
8
15
2
B=
2
2
1
sin
x
d(sin x)
12
(1 cos2x).dx =
4
20
8
– .
15 4
Câu 65. I
2
cos
2
x cos 2 xdx
0
2
2
I cos2 x cos2xdx
0
1
12
(1
cos2
x
)
cos2
xdx
(1 2cos2x cos4x)dx
2 0
4 0
Trang 13
http://megabook.vn
.....
2
1
1
( x sin2x sin4x)
4
4
8
0
3
2 4sin x dx
0 1 cos x
Câu 66. I
4sin3 x 4sin3 x(1 cos x)
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin2x
1 cos x
sin2 x
I 2 (4sin x 2sin2x)dx 2
0
2
Câu 67. I
1 sin xdx
0
I
2
2
x
x
x
x
x
sin cos dx sin cos dx 2 sin dx
2 4
2
2
2
2
0
0
2
2
0
3
2
2
x
x
2 sin dx sin dx 4 2
2 4
2 4
0
3
2
Câu 68. I
4
0
dx
cos6 x
4
Ta có: I (1 2tan2 x tan4 x)d(tan x)
0
28
.
15
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
sin2xdx
3 4sin x cos2x
2sin x cos x
1
Ta có: I
C
dx . Đặt t sin x I ln sin x 1
sin x 1
2sin2 x 4sin x 2
dx
Câu 70. I
3
sin x.cos5 x
dx
dx
8 3
I 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
3
1
3
1
C
Đặt t tan x . I t 3 3t t 3 dt tan4 x tan2 x 3ln tan x
t
4
2
2tan2 x
2t
Chú ý: sin2x
.
1 t2
Câu 69. I
Trang 14
http://megabook.vn
Câu 71. I
I
dx
sin x.cos3 x
dx
dx
2
. Đặt t tan x dt
dx
; sin2x
sin x.cos x.cos2 x
sin2x.cos2 x
cos2 x
dt
t2 1
1
t2
tan2 x
I 2
dt (t )dt ln t C
ln tan x C
2t
t
t
2
2
1 t2
Câu 72. I
2011
sin2011 x sin2009 x
sin5 x
cot xdx
1
2011 1
sin2 x cot xdx
sin4 x
Ta có: I
Đặt t cot x I
2
2011
t
(1 t 2 )tdt
4024
2011
cot 2 x
sin4 x
cot xdx
4024
8046
2011 2011 2011 2011
t
t
C
4024
8046
8046
2011
2011 2011
=
cot 2011 x
cot
xC
4024
8046
Câu 73. I
2
sin2x.cos x
dx
1
cos
x
0
2
(t 1)2
sin x.cos2 x
dt 2ln2 1
dx . Đặt t 1 cos x I 2
t
1
cos
x
1
0
2
Ta có: I 2
Câu 74. I
3
sin
2
x tan xdx
0
3
Ta có: I sin2 x.
0
sin x
dx
cos x
(1 cos2 x)sin x
dx . Đặt t cosx
cos
x
0
3
1
2
1 u2
3
du ln2
u
8
1
I
Câu 75. I
sin
2
x(2 1 cos2x )dx
2
Ta có: I 2sin xdx sin2 x 1 cos2xdx H K
2
2
2
Trang 15
http://megabook.vn
2t
1 t 2
2
2
2
+ H 2sin xdx (1 cos2x)dx
2
2
2
2
2
+ K sin2 x 2cos2 x 2 sin2 x cos xdx 2 sin2 xd(sin x)
I
2
3
2
Câu 76. I
3
dx
sin2 x.cos4 x
4
3
I 4.
dx
2
. Đặt t tan x dt
2
sin 2x.cos x
dx
cos2 x
.
4
I
3
(1 t 2 )2 dt
t2
1
3
1
3
1
1
t3
8 34
2
2
t
dt
2
t
2
3 1
3
t
t
Câu 77. I
2
sin 2 x
2 sin x dx
2
0
Ta có: I
2
sin2x
(2 sin x)2
2
dx 2
2
0 (2 sin x)
0
3
I 2
2
t 2
t2
sin x cos x
dx . Đặt t 2 sin x .
3
1 2
2
3 2
dt 2 dt 2 ln t 2ln
t t2
t 2
2 3
2
3
Câu 78. I
6
sin x
cos2x dx
0
I
6
6
sin x
sin x
cos2x dx 2cos2 x 1 dx . Đặt t cosx dt sin xdx
0
0
Đổi cận: x 0 t 1; x
Ta được I
3
2
1
1
2t 1
2
dt
6
t
1
2 2
ln
3
2
2t 2
2t 2
1
1
=
3
2
2 2
Trang 16
http://megabook.vn
ln
3 2 2
5 2 6
2
3
Câu 79. I
2
sin2 x
e
11 t
1
Đặt t sin x I = e (1 t )dt = e 1.
2
20
2
3
.sin x.cos x. dx
0
2
1
dx
2
Câu 80. I sin x sin2 x
Đặt t cosx . I
3
( 2)
16
6
Câu 81. I
4
sin4x
sin x cos x
6
0
6
dx
4
sin4x
I
1
4
3
1 sin2 2x
4
0
4
3
2 1
dx . Đặt t 1 sin2 2x I =
t
dt =
3
4
3
t
1
1
1
4
2
.
3
Câu 82. I
2
sin x
sin x
0
3
3 cos x
dx
Ta có: sin x 3 cos x 2cos x
;
6
3
1
sin x sin x =
sin x cos x
6 6
2
6 2
6
sin x dx
2
6
3
3
1 2
dx
=
I=
6
16 0
16 0
cos3 x
cos2 x
6
6
Câu 83. I
4
sin x 1 cos2 x
cos2 x
I
dx
3
4
sin x
4
sin x
cos2 x
cos2 x
1 cos2 x .dx
3
sin x dx
3
=
0
sin2 x
cos2 x
4
dx
0
sin2 x
cos2 x
dx
7
3 1.
12
3
Trang 17
http://megabook.vn
0
3
sin x
cos2 x
sin x dx
4
sin x
2
0 cos x
sin x dx
6
sin x
Câu 84. I
0
1
dx
3 cos x
sin x
1
1
1
1
3 dx .
I
dx =
dx =
20
20
0 sin x 3 cos x
sin x
1 cos2 x
3
3
6
6
6
1
2
1
1
1
Đặt t cos x dt sin x dx I
dt ln3
3
3
2 0 1 t2
4
2
Câu 85. I
1 3sin2x 2cos2 xdx
0
I
2
3
sin x 3 cos x dx = I
0
sin x 3 cos x dx
2
sin x
3 cos x dx 3 3
0
3
Câu 86. I
2
sin xdx
(sin x cos x)3
0
Đặt x
2
t dx dt I
2
costdt
0
2
cos xdx
(sin t cost )3 (sin x cos x)3
0
12
dx
1
4
1
cot( x ) 1 I
2I
2
20 2
2
4 0
2
0 (sin x cos x)
sin ( x )
4
2
dx
Câu 87. I
2
7sin x 5cos x
(sin x cos x)3 dx
0
Xét: I 1
0
Đặt x
2
2
sin xdx
sin x cos x
3
I2
;
2
0
cos xdx
sin x cos x
3
.
t . Ta chứng minh được I1 = I2
Tính I1 + I2 =
2
0
dx
sin x cos x
2
2
dx
0
2cos2 ( x )
4
1
tan( x ) 2 1
2
4 0
Trang 18
http://megabook.vn
I1 I 2
1
I 7I 1 – 5I 2 1.
2
Câu 88. I
3sin x 2cos x
2
(sin x cos x)3 dx
0
Đặt x
2
t dx dt I
3cost 2sin t
2
(cost sin t )3
0
2I I I
2
Câu 89. I
2
3sin x 2cos x
3cos x 2sin x
(cos x sin x)3 dx
0
2
3cos x 2sin x
2
1
(sin x cos x)3 dx (cosx sin x)3 dx (sin x cosx)2 dx 1
0
dt
0
I
0
x sin x
1 cos2 xdx
0
Đặt x t dx dt I
0
sin t
2I
2
0 1 cos t
( t )sin t
1 cos2 t
dt
sin t
dt I
2
1
cos
t
0
2
I
2
4 4
8
0 1 cos t
d(cost )
dt
Câu 90. I
cos4 x sin x
2
cos3 x sin3 x dx
0
Đặt x
2
0
t dx dt I
4
sin t cost
cos3 t sin3 t
dt
2
sin4 x cos x
cos3 x sin3 xdx
0
2
2I
2
cos x sin x sin x cos x
4
4
sin3 x cos3 x
0
dx
2
0
sin xcos x(sin x cos x)
3
sin3 x cos3 x
3
dx
1
4
I .
Câu 91. I
2
1
cos2(sin x) tan
0
Đặt x
2
(cos x) dx
t dx dt
2
2
2
1
tan2(sin t) dt
tan2(sin x) dx
2
2
cos (cos t)
cos (cos x)
0
0
I
1
Trang 19
http://megabook.vn
1 2
1
sin2xdx
20
2
1
.
2
2
2
1
1
Do đó: 2I
tan2 (cos x) tan2(sin x) dx = 2 dt
2
2
cos (sin x) cos (cos x)
0
0
I
2
.
Câu 92. I
4
cos x sin x
3 sin2x
0
dx
2
Đặt u sin x cosx I
1
du
4 u2
. Đặt u 2sin t I
4
2costdt
4 4sin2 t
4
12
dt
6
6
Câu 93. I
3
sin x
0
cos x 3 sin2 x
Đặt t 3 sin2 x =
I=
dx
4 cos2 x . Ta có: cos2 x 4 t 2 và dt
3
3
0
sin x
cos x 3 sin2 x
15
2
1 t2
= ln
4 t 2
3
2
3
sin x.cos x
cos2 x 3 sin2 x
sin2 x
+ Tính I 1
3
2
3
+ Tính I 2=
3
dx =
3
dt
4 t2
=
1
4
3 sin x
2
dx .
15
2
3
1
1
dt
t 2 t 2
1
15 4
32
1
ln
=
ln
ln 15 4 ln 3 2 .
4
2
15
4
3
2
2
3
x
2
3
Vậy: I
0
sin3 x sin2 x
3
I
x ( x sin x)sin x
Câu 94. I 3
2
3
=
.dx =
15
2
sin x cos x
dx
3
dx
dx
.
1 sin x
u x
du dx
dx
I1
dx . Đặt
dv
v cot x
3
sin2 x
sin2 x
x
2
dx
3
1 sin x
3
2
dx
dx
3
4 2 3
x
2
1 cos x
3 2cos
2
4 2
4 2 3.
3
Trang 20
http://megabook.vn
.
- Xem thêm -
.PDF 
48 
730 
90 
