Tài liệu [123doc.vn] - chuyen-de-cac-bai-toan-so-sanh-hai-luy-thua-potx

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA 1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m>n thì am>an (a>1). + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu a>b thì an>bn ( n>0). 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân. (a0). Ví dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn. Hướng dẫn: Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 3210 và 1615 về luỹ thừa cùng cơ số 2. 3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260 Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615. Bài tập 1: So sánh: Bài 1: So sánh các số sau? a) 2711 và 818. b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n  N* ) Hướng dẫn: a) Đưa về cùng cơ số 3. b) Đưa về cùng cơ số 5. c) Đưa về cùng số mũ 12. d) Đưa về cùng số mũ n 23 22 13 16 Bài 2: a) 5 và 6.5 b) 7.2 và 2 c) 2115 và 275.498 Hướng dẫn: a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522. b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213. c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3. Bài 3: a) 19920 và 200315. Bài 5: 27 và 72 b) 339 và 1121. Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49 Hướng dẫn : Vì 128 > 49 nên 27 > 72 a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540. Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 260.545 273 = (33 )3 = 39 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121. Vì 310 > 39 nên 95 > 273 Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn? b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 72 45-7244và 72 44-7243. 2300 = (23) 100 = 8100 Hướng dẫn: Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300 c, 3500 và 7300 7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 7244-7244=7244(72-1)=7244.71. 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100 Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300 d, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47 => 85 < 3 . 47 e, 202303 và 303202 202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so sánh 2023 và 3032 2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33. 1012 = 9.1012 vậy 303202 < 2002303 f, 321 và 231 321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810 3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231 g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660 Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979 Bài 7: So sách các cặp số sau: a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315 Vậy A = B b/ A = 2 300 và B = 3200 A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100 Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B. Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 và 1714 Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn a) 1030 và 2100 b) 333444 và 444333 c) 1340 và 2161 d) 5300 và 3453 Bài 2: So sánh các số sau a) 5217 và 11972 b) 2100 và 10249 c) 912 và 27 7 d) 12580 và 25118 e) 540 và 62010 f) 2711 và 818 Bài 3: So sánh các số sau a) 536 và 1124 b) 6255 và 1257 c) 32n và 23n (n  N * ) d) 523 và 6.522 Bài 4: So sánh các số sau a) 7.213 và 216 b) 2115 và 275.498 c) 199 20 và 200315 d) 339 và 1121 Bài 5: So sánh các số sau a) 7245  7244 và 7244  7243 b) 2500 và 5200 c) 3111 và 1714 d) 324680 và 237020 e) 21050 và 5450 g) 52 n và 25 n ; ( n  N ) Bài 6: So sánh các số sau a) 3500 và 7300 999910 d) 202303 và 303202 371320 h) 1010 và 48.505 Bài 7: So sánh các số sau a) 10750 và 7375 b) 85 và 3.47 c) 9920 và e) 321 và 231 g) 111979 và i) 199010  19909 và 199110 b) 291 và 535 c) 544 và 2112 2100 Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân Bài giải: 100 Muốn biết 2 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh với 1030 và 1031. * So sánh 2100 với 1030 Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 với 1031 Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26 = 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53 = 231 . 6257. 53 (2) Từ (1) và (2) ta có: 231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Từ (*),( **) ta có: 1031 < 2100 < 1031 Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất 100 Nên 2 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. Bài 10: So sánh A và B biết. a) A = 19 30  5 19 31  5 ; B = 19 31  5 19 32  5 218  3 2 20  3 ; B = 2 20  3 2 22  3 1  5  5 2  ...  5 9 1  3  3 2  ...  3 9 c) A = ; B = 1  5  5 2  ...  5 8 1  3  3 2  ...  3 8 b) Bài giải: 19.(19 30  5) 19  5 19 31  95 90 Nên 19A = = = 1 + 31 31 31 31 19  5 19  5 19  5 19  5 31 31 32 19.(19  5) 19  5 19  95 90 B = 32 nên 19B = = = 1 + 19  5 19 32  5 19 32  5 19 32  5 90 90 Vì 31 > 32 19  5 19  5 30 A= 90 90 > 1 + 32 Hay 19A > 19B Nên A > B 19  5 19  5 2 2 .(218  3) 218  3 2 20  12 9 2 b) A = 20 nên 2 . A = = 20 = 1 - 20 22 2 3 2 3 2 3 2 3 2 20 20 22 2 .(2  3) 2 3 2  12 9 B = 22 nên 22.B = = 22 = 1- 22 22 2 3 2 3 2 3 2 3 9 9 9 9 Vì 20 > 22 Suy ra 1 - 20 < 1- 22 Hay 22 A < 22 2 3 2 3 2 3 2 3 Suy ra 1 + 31 B Nên A < B c) Ta có: 1  5  5 2  ...  5 9 A= = 1  5  5 2  ...  5 8 1  (5  5 2  ...  5 9 ) 1  5(1  5  5 2  ...  5 8 ) 1    5  5 (1) 2 8 2 8 2 1  5  5  ...  5 1  5  5  ...  5 1  5  5  ...  5 8 1 Tương tự B =  3  4 ( 2) Từ (1) và (2) Ta có 2 1  3  3  ...  3 8 1 1 A= +5>5>4> + 3 =B nên A > B 2 8 2 1  5  5  ...  5 1  3  3  ....  3 8 Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230 Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa Bài 4: Tìm x  N biết a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2 b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2 Bài giải: 3 3 3 3 a) 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = (x +1)2 ( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 2 55 = x +1 x = 55- 1 x = 54 b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2 2  99  1  2  1 = ( x - 2)   2  502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + 2 x = 52 ( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y  N thoả mãn 73 = x2 - y2 Ta thấy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2 (1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 Bài 2: Tìm x  N* biết. A = 111....1 - 777 ...7 là số chính phương 2 x chữ số 1 x chữ số 7 Bài giải: + Nếu x = 1 Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) + Nếu x > 1 Ta có A = 111...1 - 777...7 = ......34  2 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà ...34  4 Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) Vậy x = 1 c) Dùng tính chất chia hết Bài 1: Tìm x; y N biết: 35x + 9 = 2. 5y *)Nếu x = 0 ta có: 350 + 9 = 2.5y 10 = 2.5y 5y = 5 y =1 *) Nếu x >0 + Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50 35x + 9 = 2 ( vô lý) + Nếu y > 0 ta thấy: 35x + 9  5 vì ( 35x  5 ; 9  5 ) Mà 2. 5y  5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) Vậy x = 0 và y = 1 Bài 1: Tính tổng. A = 1 + 2 + 22+...+ 2100 B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100 Bài giải: 2 100 A = 1 + 2 + 2 + ...+ 2 => 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) Vậy A = 2101 - 1 B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101) 4B = 3 - 3101 Vậy B = ( 3- 3101) : 4 Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2  22 ; 2  22  23 ; 2  22  23  24 b) Chứng minh rằng: A  2  22  23  .....  22004 chia hết cho 3; 7 và 15. Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 34  35  36  37 b) Chứng minh rằng: B  1  3  32  ....  399 M40 Bài 4: Chứng minh rằng: a) S1  5  52  53  ...  52004 M6;31;156 b) S 2  2  22  23  ....  2100 M31 c) s3  165  215 M33 Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. a) A  20  21  22  ....  22006 b) B  1  3  32  ....  3100 c) C  4  42  43  ....  4n d) D  1  5  52  ....  52000 Bài 6 Cho A  1  2  22  23  ....  2200 . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa. Bài 7 Cho B  3  32  33  .....  32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3. Bài 8 Cho C  4  22  23  ....  22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2. Bài 9: Chứng minh rằng: a) 55  54  53 M7 b) 76  75  7 4 M 11 c) 109  108  107 M222 e) 106  57 M59 g) 3n 2  2n  2  3n  2n M 10n  N * h) 817  279  913 M45 i) 810  89  88 M55 k) 109  108  107 M555 Bài 10 Tính nhanh a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263 b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320 c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449 Bài 11 Tính tổng a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 Bài giải: 2 4 6 200 a) A = 1 + 5 + 5 + 5 + ...+ 5 25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 25 A - A = 5202 - 1 Vậy A = ( 5202 -1) : 24 b) Tương tự B= 7 304  1 73 1 Bài 3: Tính 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 100 7 7 7 7 4 4 4 4 B =  + 2 - 3 + ...+ 200 5 5 5 5 A= Bài giải: 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 100 7 7 7 7 1 1 1 7A = 1 + + 2 + ... + 99 7 7 7 1 1 => 7A - A = 1 - 100 A = 1  100  : 6 7  7  4 4 4 4 B =  + 2 - 3 + ...+ 200 5 5 5 5 4 4 4 5B = -4 + + 3 +...+ 201 5 5 5 4 B+5B = -4 + 200 5 4   B =   4  200  : 6 5   A= Bài 3: Tính A = 25 28  25 24  25 20  ...  25 4  1 25 30  25 28  25 26  ...  25 2  1 Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 = (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) = (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) = (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) Vậy A = 1 1  25 2 = 1 626 Bài tập 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó. Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a  b  c) Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd (a + b + c + d)4 = abcd