Tài liệu 100 bài toán hình học lớp 9 chọn lọc

100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Bieân soaïn LÖU VAÊN CHUNG 100 BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC 9 1 LVC 2 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 1 Cho BE , CD laø hai ñöôøng cao , AI laø ñöôøng kính cuûa (O), Ax laø tieáp tuyeán . Chöùng minh : 1. BDEC noäi tieáp vaø MN // DE A N 2. BH = BF vaø DM = DH x 3. BHCI laø hình bình haønh E 4. BCIF laø hình thang caân PHAÀN I ---------o0o--------- 5. KH.KA = KB.KC  BC 2 M D H 4 6. H laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp  DEF B K F MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI VAØO LÔÙP 10 THPT C I --------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 2 Cho BD , CE laø hai ñöôøng cao , Ax laø tieáp tuyeán AQ laø ñöôøng kính I laø trung ñieåm AH. A M Chöùng minh : x 1. BEDC vaø AEHD noäi tieáp I K D E 2. AE.AB = AD.AC N H O 3.  MAN caân 4. KDCQ noäi tieáp B F C 5. AH = 2OF 6. IOFJ laø hình thang caân J Q 7. BC = R 3 . Tính DE theo R 8. BC = R 3 . Khi A chaïy treân cung lôùn BC thì H di chuyeån treân ñöôøng naøo ? 9. Xaùc ñònh taâm P cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  BHC vaø chöùng minh AOPH laø hình thoi . --------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 3 Cho H laø tröïc taâm cuûa  ABC , M laø trung ñieåm BC . I laø ñieåm ñoái xöùng vôùi H qua K ; N laø ñieåm ñoái xöùng vôùi H qua M. Chöùng minh 1. I (O) vaø N  (O) vaø A , O , N thaúng haøng  vaø HAN  2. AF laø tia phaân giaùc chung cuûa ABC 3. AB.AC = AH.AD 4. Dieän tích  AHM baèng 2 laàn dieän tích  AOM 3 LVC 4 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc A Baøi 4 Cho SA , SB laø hai tieáp tuyeán , M laø trung ñieåm CD . Chöùng minh : 1. SO  AB vaø SAOB noäi tieáp 2. SA2 = SC.CD = SH.SO 3. SAOM noäi tieáp 4. CHOD noäi tieáp 5. AE // CD 6. CH caét ñöôøng troøn taïi F. D O E H K B C M I F Baøi 7 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ax , By , ED laø caùc tieáp tuyeán . EO = 2R Chöùng minh ACDB laø hình thang vuoâng Chöùng minh AC.BD = R2 Chöùng minh CM.DE = CE.DM Chöùng minh MI  AB vaø IM = IH Chöùng minh AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính CD Tính chu vi vaø dieän tích ACDB theo R Y D A X E  Chöùng minh SO laø phaân giaùc cuûa FSC M C O I H S C K M D E A H O B B -------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 5 Cho AB laø tieáp tuyeán , ACD laø caùt tuyeán , BI // CD, EC = ED 1. Chöùng minh ABOE vaø AHES noäi tieáp B 2. Chöùng minh AK laø tieáp tuyeán cuûa (O) I 3. Chöùng minh OE.OS = R2 4. AO = 3R , CD = R 3 . A Tính dieän tích  AOS theo R 5. A, B coá ñònh , tìm vò trí cuûa caùt tuyeán ACD ñeå S  AID lôùn nhaát H O C E D K S --------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 6 D Cho AC , BD , CD laø caùc tieáp tuyeán 1. Chöùng minh AC + BD = CD N M 2. Chöùng minh  COD vuoâng C 3. Chöùng minh AC.BD = R2 I K 4. Chöùng minh ACMO vaø BDMO noäi tieáp A O B 5. Chöùng minh CN = CA 6. Chöùng minh IK // AB vaø IK = R 5 LVC ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 8 Cho OM = 2R , MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán EF tieáp xuùc vôùi (O) taïi C. A 1. Chöùng minh EF = EA + FB E 2. Tính chu vi  MEF theo R C I H  3. Tính EOF M O 4. Chöùng minh EIKF noäi tieáp K F EF2 5. Chöùng minh CH  4R B --------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 9 Cho NA , NB laø hai tieáp tuyeán . BK  NA , CI  AB , CD  NB. 1. Chöùng minh caùc töù giaùc sau noäi tieáp : AKCI , BDCI , NKCD , NDIA A 2 2. Chöùng minh CI = CK.CD K H 3. Chöùng minh CHIE noäi tieáp C I 4. Chöùng minh EH // AB 5. Chöùng minh KI DI 6 E 2 2 = CK CD O N D B LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 10  , I  AO , CD qua M vaø AB Cho Ax , By laø hai tieáp tuyeán . M  vuoâng goùc vôùi IM . Chöùng minh : 1. CAIM vaø BDMI noäi tieáp 2.  CID vuoâng 3. EF // AB 4. AC.BD  R2 5. Khi M coá ñònh , I chaïy treân AO. 6. Tìm vò trí I ñeå AC.DB lôùn nhaát x y D M C E A F I O B --------------------------------------------------------------------------------------------K Baøi 11 AB = 2R coá ñònh , Ax , By  AB , I  Ax , C  AB , IC  CK. Ñöôøng troøn ñöôøng kính IC caét IK taïi M. Chöùng minh : x M 1. KBCM noäi tieáp I 2. AI.BK = CA.CB E F 3.  AMB vuoâng A C B 4. Neáu C coá ñònh , tìm vò trí cuûa I treân Ax ñeå SABKI nhoû nhaát ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 12 Cho OM = 3R , MA , MB laø hai tieáp tuyeán ,AD // MB , MD caét (O) A taïi C , BC caét MA taïi F , AC caét F D MB taïi E. Chöùng minh : C 1. MAOB noäi tieáp M O 2 2. EB = EC.EA E 3. E laø trung ñieåm MB 4. BC.BM = MC.AB B  5. Tia CF laø phaân giaùc cuûa MCA 6. Tính S  BAD theo R 7. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD vaø MB --------------------------------------------------------------------------------------------7 LVC Baøi 13 ( Hình veõ nhö Baøi 12 ) Cho MO = 3R , MA , MB laø hai tieáp tuyeán . Elaø trung ñieåm MB. EA caét (O) taïi C. Tia MC caét (O) taïi D , BC caét MA taïi F . 1. Chöùng minh MA2 = MC.MD 2. Chöùng minh ME2 = EC.EA 3. Chöùng minh AD // MB 4. Chöùng minh  DAB caân ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 14 I Cho DH  AC , DK  BC , KH caét AB A D taïi I . MA = MB , NH = NK. Chöùng minh 1. DHKC noäi tieáp H M 2. DI  AB 3. DI.DK = DA.DC N 4.  DHK ~  DAB B C 5.  DMN vuoâng K ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 15 Cho MA , MB laø hai tieáp tuyeán , CD  AB . CE  MA , CF  MB 1. Chöùng minh caùc töù giaùc sau noäi tieáp : DAEC , DBFC A E 2. Chöùng minh CE.CF = CD2 M H 3. Chöùng minh CHKD noäi tieáp D 4. Chöùng minh HK //AB C K B F ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 16 Cho ñöôøng thaúng d caét (O;R) taïi C vaø D. M laø ñieåm di ñoäng treân d ( M ngoaøi ñöôøng troøn vaø MC < MD ) MA , MB laø hai tieáp tuyeán , H laø trung ñieåm CD 8 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 1. 2. 3. 4. 5. Chöùng minh MIHF noäi tieáp Chöùng minh OHEI noäi tieáp Chöùng minh MA2 = MC.MD Chöùng minh CIOD noäi tieáp Chöùng minh 4 IF.IE = AB2 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc F A A M d M C E H H O D E B I C O D 6. Chöùng minh khi M di ñoäng thì ñöôøng thaúng B AB luoân ñieåm qua ñieåm coá ñònh ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 17 Cho (O;R) vaø daây BC = R 3 .M laø ñieåm di ñoäng treân tia ñoái cuûa tia BC . Veõ tieáp tuyeán MA vôùi (O). Veõ ñöôøng troøn taâm M baùn kính MA caét BC taïi H vaø caét (O) taïi E. AH caét (O) taïi K, OK caét BC taïi I vaø caét AE taïi N. Chöùng minh : 1. 2. 3. 4. 5.  AK laø tia phaân giaùc cuûa BAC MAOI vaø MHIN noäi tieáp ME laø tieáp tuyeán cuûa (O) BHOC noäi tieáp Ñöôøng thaúng AE ñi qua ñieåm coá ñònh A H M O B D E I C K N ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 19 Cho ñöôøng troøn (O ;R) vaø ñieåm A sao cho OA =3R . Töø A veõ hai tieáp tuyeán AM , AN vôùi (O) ( M , N laø tieáp ñieåm ) 1. Chöùng minh töù giaùc MANO noäi tieáp .Tính AM theo R 2. Veõ caùt tuyeán ACD vôùi ñöôøng troøn ( C naèm giöõa A vaø D ; CN < CM ) . Chöùng minh : AM2 = AC.AD 3. Ñöôøng troøn ñöôøng kính OA caét CD taïi I.Chöùng minh I laø trung ñieåm CD 4. Veõ daây cung CB  OM , CB caét MD taïi K , caét MN taïi H. Chöùng minh HINC noäi tieáp 5. Chöùng minh ñöôøng thaúng DH ñi qua trung ñieåm E cuûa AM. N ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 18 Cho (O;R) vaø daây BC = 2a coá ñònh. M  tia ñoái tia BC. Veõ ñöôøng troøn  ). AD ñöôøng kính MO caét BC taïi E , caét (O) taïi A vaø D ( A  cung lôùn BC caét MO taïi H , caét OE taïi N. Chöùng minh : 1. MA laø tieáp tuyeán cuûa (O) vaø MA2 = MB.MC 2. MHEN noäi tieáp 3. Tính ON theo a vaø R 4. Tia DE caét (O) taïi F. Chöùng minh ABCF laø hình thang caân 9 LVC M E B O A K H C I D N ------------------------------------------------------------------------------------------------10 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 20 Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R); hai ñöôøng cao AD vaø BE caét nhau taïi H ( D  BC ; E  AC ; AB < AC ) 1. Chöùng minh caùc töù giaùc AEDB vaø CDHE noäi tieáp 2. Chöùng minh CE.CA = CD.CB vaø DB.DC = DH.DA 3. Chöùng minh OC vuoâng goùc vôùi DE PHAÀN II  caét BC taïi N , caét ñöôøng troøn 4. Ñöôøng phaân giaùc trong AN cuûa BAC (O) taïi K. ( K khaùc A). Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  CAN. Chöùng minh KO vaø CI caét nhau taïi ñieåm thuoäc ñöôøng troøn (O). ------------------------------------------------------------------------------------------------ MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LUYEÄN THI VAØO CAÙC TRÖÔØNG CHUYEÂN 11 LVC 12 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 21 Cho ñöôøng troøn (O) vaø daây CD vuoâng goùc vôùi ñöôøng kính AB taïi H . treân tia ñoái tia DC laáy ñieåm M. Ñöôøng thaúng MB caét (O) taïi F. AF caét CD taïi I 1. Chöùng minh : ID.MC = IC.MD 2. Tieáp tuyeán vôùi (O) taïi F caét DM taïi J. Ch/ minh IJ = JM 3. MA caét (O) taïi E. Chöùng minh JE laø tieáp tuyeán cuûa (O). --------------------------------------------------------------------------------------------- Höôùng daãn giaûi: C 1. Chöùng minh ID.MC = IC.MD FA , FM laø phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa  CFD neân : ID MD   ID.MC = IC.MD A H O B 4. Neáu AB coá ñònh, coøn P laø ñieåm di ñoäng treân AB thì N di ñoäng treân ñöôøng naøo? Chöùng minh NP ñi qua moät ñieåm coá ñònh --------------------------------------------------------------------------------------------- Höôùng daãn giaûi: 1. Chöùng minh CODP laø hình bình haønh IC N O Töông töï ta coù OD // CP C D A P 2. Chöùng minh  ABN~  DCO  PN  CD  CD laø phaân giaùc NCP Sñ  AF AFJ  Sñ  I  = Sñ   Sñ DIF AC  Sd DF D J F M  = Sñ  AD  Sd DF = Sñ  AF   IJ = JF   AFJ  JIF Maø  IFM vuoâng  FJ = JM  IJ = JM K   1 NCP   DCP 2   1 NCP  ( goùc noäi tieáp ) Maø NAP 2   NAP   NCP   ODC   DCP   OCD    ABN~  DCO Töông töï cm NBP 3. Quyõ tích ñieåm M 3. Chöùng minh JE laø tieáp tuyeán cuûa (O) Chöùng minh E,I,B thaúng haøng   IEM vuoâng taïi E  JE = JF. Suy ra  OEJ =  OFJ  JE  OE  JE laø tieáp tuyeán cuûa (O). ---------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 22 Cho ñöôøng troøn (O) vaø daây cung AB quay quanh moät ñieåm coá ñònh P.Veõ ñöôøng troøn taâm C ñieåm qua A vaø P vaø tieáp xuùc vôùi (O). Hai ñöôøng troøn naøy caét nhau taïi N 1. Chöùng minh CODP laø hình bình haønh 2. Chöùng minh  ABN ~  DCO 3. Tìm quyõ tích N khi AB quay quanh P 13  CODP laø hình bình haønh . B MC 2. Chöùng minh IJ = JM E   , PDB   1800  2 B  AOB  1800  2B   OC // DP   AOB  PDB LVC Ta coù :  AOB   ANB (  ñoàng daïng )  A , O , N , B thuoäc ñöôøng troøn AB laø daây cung   NAB  ( cuøng chaén NB  )  NOB   ODC   NOB   900  ON // CD  ON  NP  ONP  N  ñöôøng troøn ñöôøng kính OP coá ñònh 4. Neáu AB coá ñònh , P di ñoäng treân AB thì N di chuyeån treân cung chöùa goùc AOÂB =  ( khoâng ñoåi ) döïng treân ñoaïn AB coá ñònh.  NP ñi qua ñieåm coá ñònh Goïi O’ laø taâm ñöôøng troøn (AOB) , NP caét OO’ taïi K. Do  ONK vuoâng taïi N  OK laø ñöôøng kính cuûa (O’). Suy ra K coá ñònh ( do O , O’ coá ñònh ). Vaäy NP ñieåm qua ñieåm K coá ñònh. 14 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc ---------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 23 Cho ñöôøng troøn (O,R). Töø ñieåm P coá ñònh ôû ngoaøi ñöôøng troøn veõ tieáp tuyeán PA vaø caùt tuyeán PBC vôùi ñöôøng troøn . H laø tröïc taâm cuûa  ABC. Ñöôøng thaúng AH caét (O,R) taïi K. 1. Chöùng minh K ñoái xöùng vôùi H qua BC 2. Goïi O1 ñoái xöùng vôùi O qua BC. Chöùng minh O1H = R vaø AOO1H laø hình bình haønh 3. Treân ñöôøng vuoâng goùc vôùi PA taïi P laáy ñieåm I sao cho PI = R vaø I , O naèm cuøng phía ñoái vôùi BC. Chöùng minh HIPO1 laø hình bình haønh 4. Tìm quyõ tích cuûa H khi caùt tuyeán PBC quay quanh P. --------------------------------------------------------------------------------------------- Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh K ñoái xöùng vôùi H qua BC P cố định , PI  AP ; PI = R  I cố định . PH = PO1 = PO ( không đổi ) Suy ra quỹ tích của H là đường tròn (I ; PO ) ------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 24 Trên đoạn AB lấy điểm M .Trên AM , BM dựng hai hình vuông AMCD và BMEF về cùng một phía đối với đường thẳng AB . Hai đường tròn (I) và (K) ngoại tiếp hai hình vuôngđó cắt nhau tại N . 1. Chứng minh N , E , A thẳng hàng 2. Tìm quỹ tích N khi M di động trên đoạn AB 3. Chứng tỏ trung điểm H của IK luôn chạy trên một đường cố định khi M di chuyển trên đoạn AB ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chứng minh A , N , E thẳng hàng Gọi N là giao điểm của BC và AE . AC cắt EB tại S . Ta có : I A P H B O K O1 C )   BAK  ( chaén BK BCK   BAK  ( goùc coù caïnh  ) BCH   BCK   BCH   HCK caân taïi C  K ñoái xöùng vôùi H qua BC 1. Chöùng minh O1H = R vaø AOO1H laø hình bình haønh O đối xứng với O1 qua BC K đối xứng với H qua BC  O1H = OK = R Vậy A , E thẳng hàng với giao điểm N của ( I ) và ( K ) 2. Quỹ tích của N khi M di động trên AB Quỹ tích của N là nửa đường tròn đường kính AB. Giới hạn : M  A  N  S ; M  B  N  S 3. Quỹ tích của H khi M chạy trên AB MI  AC , MK  BE , AS  SB  ISKM là hình chữ nhật . H là trung điểm IK  H là trung điểm SM . Mà S cố định (điểmchính giữa cung AB ). Suy ra H chạy trên đường trung bình của  ASB E D  K A1 (  AOK cân ) 1    HO1 // OA A H 1 F N K  ( t/c đối xứng ) Ta có H 1 1  S C H K I A 1 B M AH  BC ; OO1 // BC  AH // OO1 . Suy ra AOO1H là hình bình hành 2. Chứng minh HIPO1 là hình bình hành HO1 // OA và OA  AP  HO1  AP mà PI  AP  HO1 // PI Mà O1 H = PI = R  HIPO1 là hình bình hành 3. Quỹ tích của H khi PBC quay quanh P 15   SBA   450  AS  EB . Suy ra C là trực tâm của  AEB SAB  BN  AE .   900  N  ( K ) ;  ENB ANB  900  N  ( I ) LVC ------------------------------------------------------------------------------------------------16 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 25 Cho AB laø ñöôøng kính coá ñònh , MN laø ñöôøng kính di ñoäng cuûa ñöôøng troøn (O) .Tieáp tuyeán taïi B cuûa ñöôøng troøn caét AM taïi P , caét AN taïi Q 1. Chöùng minh  AMN ~  AQP 2. Chöùng minh trung tuyeán AK cuûa  APQ vuoâng goùc vôùi MN 3. Tìm quyõ tích taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  MNP. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh  AMN ~  AQP 1 Sñ  AM ANM = sñ  P  Sñ APQ 2 1  )  1 sñ  (sñ  AB – sñ MB AM 2  K I M A O B 2   AQP  ANM  AMN ~  AQP 2. Chöùng minh AK  MN  PAQ vuoâng taïi A  AK = KP   AKP caân   APQ   MNA   PAK  Maø NA  MA  AK  MN 3. Quyõ tích taâm ñöôøng troøn (MNP) N ) Töù giaùc MPQN noäi tieáp ( P  ANM Q Ñöôøng troøn (MNP) laø ñöôøng troøn (MPQN) coù taâm laø I  OI  MN ( ñk – dc)  OI // AK . Maø IK  PQ  IK //AB Do IK = OA = R neân quyõ tích taâm I cuûa ñöôøng troøn (MNP) laø ñöôøng thaúng song song vôùi PQ vaø caùch PQ moät ñoaïn baèng R ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 26 Cho  ABC ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R). M laø moät ñieåm tuøy yù thuoäc (O;R). 1. Chöùng minh MA + MB + MC  4R  ñeå MA + MB lôùn nhaát 2. Tìm vò trí cuûa M  AB ------------------------------------------------------------------------------------------------17 LVC  Höôùng daãn giaûi A M N B C 1. Chöùng minh MA + MB + MC  4R Treân ñoaïn MC laáy ñieåm N sao cho CN = AM   BCN =  BMA  BM = BN   BMN ñeàu  BM = MN  MA + MB + MC = NC + MN + MC = MC + MC = 2MC Maø MC  2R  MA + MB + MC  4R 2. Tìm vò trí M ñeå MA + MB lôùn nhaát Theo chöùng minh treân ta coù MA + MB = MC Do ñoù MA + MB lôùn nhaát  MC lôùn nhaát  MC = 2R  M laø ñieåm giöõa cung AB nhoû ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 27 Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB . C laø ñieåm chính giöõa cung AB , M laø ñieåm di ñoäng treân cung AC . Treân BM laáy ñieåm N sao cho BN = AM. 1. Chöùng minh CM = CN 2. Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BM taïi N luoân ñi qua ñieåm coá ñònh ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh CM = CN D  CMA =  CNB ( c- g – c) C  CM = CN 2. Chöùng minh ñöôøng thaúng  MB taïi N M ñi qua ñieåm coá ñònh N Veõ tia Nx  BM taïi N caét tia AC taïi D A B  töù giaùc DCNB noäi tieáp   DNC   450 ( do  MCN vuoâng caân)  DBC   900  DBA Suy ra BD laø tieáp tuyeán cuûa (O) taïi B. Vaäy D laø giao ñieåm cuûa tia AC vaø tieáp tuyeán cuûa (O) taïi B. Vaäy ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BM taïi N ñi qua ñieåm coá ñònh D. ------------------------------------------------------------------------------------------------18 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 28 Cho ñöôøng troøn (O;R) ñöôøng kính AB . C laø ñieåm di ñoäng treân ñöôøng troøn Goïi I , K laø hình chieáu cuûa O leân AC vaø BC. 1. Chöùng minh AK2 + BI2 khoâng ñoåi 2. BI caét AK taïi G . Tìm quyõ tích cuûa G khi C di ñoäng treân (O) 3. Tìm vó trí ñieåm C treân (O) ñeå tích GA.GB lôùn nhaát . Tìm giaù trò lôùn nhaát ñoù ------------------------------------------------------------------------------------------------C  Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh AK2 + BI2 khoâng ñoåi K AK2 + BI2 = AC2 + BC2 + CI2 + CK2 I = BC 2 + IK2 = 4R2 + R2 = 5R2 G A B 2. Quyõ tích cuûa G O 1 R . Suy ra quyõ tích cuûa G laø 3 1 ñöôøng troøn (O ; R ) 3 Ta coù OG = 3. Tìm vò trí ñieåm C ñeå GA.GB lôùn nhaát Ta coù GA.GB  GA2  GB2 2 C D P H K O B E ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 30   450 noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R). Cho  ABC caân taïi A coù BAC  1. Chöùng minh AO laø phaân giaùc cuûa BAC 2. Tính caùc caïnh cuûa  ABC theo R 3. Neâu caùch döïng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi OB vaø OC. Tính baùn kính ñöôøng troøn ñoù theo R ------------------------------------------------------------------------------------------------  Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh AO laø phaân giaùc BAC  AOB =  AOC 2. Tính caùc caïnh cuûa  ABC theo R  BOC vuoâng caân  BC = R 2 A Daáu “ = “ xaûy ra khi GA = GB  AC = BC  C laø ñieåm chính giöõa cung AB 4 (AK 2  BI2 ) 10R 2 GA 2  GB2 9 Max(GA.GB) = =  2 2 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 29 Cho ñöôøng troøn (O;R) , töø ñieåm P trong ñöôøng troøn döïng hai daây cung APB vaø CPD vuoâng goùc vôùi nhau 1. Tính PA2 + PB2 + PC2 + PD2 theo R 2. Cho P coá ñònh , khi hai daây AB vaø CD quay quanh P vaø vuoâng goùc vôùi nhau. Chöùng minh AB2 + CD2 khoâng ñoåi ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Tính PA2 + PB2 + PC2 + PD2 theo R Veõ ñöôøng kính AE. Suy ra CB = DE Ta coù : PA2 + PB2 + PC2 + PD2 19 = CB2 + AD2 = DE2 + AD2 = AE2 = 4R2 2. Chöùng minh AB2 + CD2 khoâng ñoåi Veõ OH  CD , OK  AB . Ta coù : AB2 + CD2 = 4AK2 + 4HD2 = 4( OA2 – OK2 + OD2 – OH2 ) = 4( 2R2 – OP2 ) khoâng ñoåi A LVC  O M N B C K B’ D C’ OK = R 2 2  AK = R + R 2 2  AC = R 2  2 3. Caùch döïng ñöôøng troøn (I) Goïi x laø ñoä daøi baùn kính (I) ta coù CMIN laø hình vuoâng  OI = x 2 , ID = x  x + x 2 = R  x = R( 2  1 )  Caùch döïng: Döïng tieáp tuyeán taïi D cuûa (O) caét OB , OC taïi B’ vaø C’ . I laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng phaân giaùc cuûa  OB’C’. ------------------------------------------------------------------------------------------------20 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Baøi 31 Cho  ABC ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R). M laø ñieåm thuoäc cung nhoû AB . AM caét ñöôøng thaúng BC taïi N 1. Chöùng minh  ABM ~  ANB 2. Chöùng minh ñöôøng troøn taâm I ngoaïi tieáp  MBN tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng AB 3. Goïi D laø ñieåm chính giöõa cung BC. Chöùng minh taâm K cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  MNC thuoäc ñöôøng thaúng CD -------------------------------------------------------------------------------------------------A Höôùng daãn giaûi 1.Chöùng minh  ABM ~  ANB M   1 (sdAC   sdMB)   1 sdAM  ANB 2 2 O I   1 sdMA  MBA N B C 2   MBA  ANB  Baøi 32 Cho  ABC coù trung tuyeán AM vaø phaân giaùc AD.Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ADM caét AB , AC taïi E vaø F. Chöùng minh BE = CF. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi DB AB A Ta coù (tính chaát phaân giaùc)  DC AC Ta chöùng minh : BE.BA = BD.BM (1) E CF.CA = CM.CD (2) BE BD BA F   : 1 CF CD CA  BE = CF B D K AÂ chung    ABM~  ANB E 2. Chöùng minh AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  MBN  ABM~  ANB  AB2 = AM.AN  AB tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (MBN) 3. Chöùng minh taâm K cuûa ñöôøng troøn (MNC) thuoäc ñöôøng thaúng CD   900 Veõ ñöôøng kính CE cuûa ñöôøng troøn (K)  EMC   ABC   600  NME   30 0 Maø AMC   300 ( cuøng chaén cung NE )  NCE   30 0 (  1 sdBD ) Maët khaùc D laø ñieåm chính giöõa cung BC  BCD 2   NCD   K,C, D, E thaúng haøng.Vaäy K thuoäc ñöôøng thaúng CD  NCE D M C ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 33 Cho  ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O) coù AB < AC. M vaø N laø hai ñieåm chaïy treân AB vaø AC sao cho BM = CN. Chöùng minh trung tröïc cuûa MN luoân ñi qua ñieåm coá ñònh ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi D Goïi D laø ñieåm chính giöõa cung lôùn BC A   BMD =  CND  MD = ND M   MDN caân taïi D N  Ñöôøng trung tröïc cuû a MN ñi qua ñieåm D coá ñònh --------------------------------------------------------------B C Baøi 14 Cho ñöôøng troøn (O;R) coù hai ñöôøng kính AB vaø CD vuoâng goùc. Keû daây CE ñi qua trung ñieåm I cuûa OB . Keû ñöôøng cao AH cuûa  ACE. 1. Chöùng minh caùc tam giaùc COI , EOC vaø AHI ñoàng daïng 2. Tính CE , AH vaø S  ACE theo R 3. Chöùng minh AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  AEI ------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------21 LVC 22 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc  Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh caùc tam giaùc COI , EOC vaø AHI C ñoàng daïng Baïn ñoïc töï chöùng minh 2. Tính CE , AH vaø S  ACE theo R H CI = R 5 ( ñònh lyù Pitago )  OCI ~  ECD O I B OC CI 2R 5    EC = EC CD 5 K E AH AI  AHI ~  COI   CO CI D 3R 5 1 3R 2  AH =  SACE  AH.CE  10 2 10 A 3 . Chöùng minh AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  AEI   CEA   450 vaø C  chung   CAI ~  CEA  CAI vaø  CEA coù : CAI 2 AC = CI.CE  AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  AEI ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 34 Cho  ABC vuoâng taïi A , döïng hai ñöôøng troøn (I ) vaø (J ) ñöôøng kính AB vaø AC , chuùng caét nhau taïi H 1. Chöùng minh H thuoäc ñöôøng thaúng BC 2. Qua A veõ ñöôøng thaúng d caét hai ñöôøng troøn taïi M vaø N ( M  (I) ) Tìm quyõ tích trung ñieåm E cuûa MN 3. Tìm vò trí cuûa ñöôøng thaúng d ñeå chu vi töù giaùc BCNM lôùn nhaát ------------------------------------------------------------------------------------------------ M I A E J B K H 23  Höôùng daãn giaûi Chöùng minh H thuoäc ñöôøng thaúng BC   AHB   900  H  B Chöùng minh AHC 2. Quyõ tích ñieåm I BMNC laø hình thang . Veõ IK  MN  K laø trung ñieåm BC. ( coá ñònh ).   AIK vuoâng taïi I  I thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính AK 3. Tìm vò trí ñöôøng thaúng d ñeå chu vi töù giaùc BCNM lôùn nhaát Chu vi BCNM = BC + BM + MA + NA + NC. Tröôùc heát ta tìm vò trí M ñeå MA + MB lôùn nhaát . Ta coù : (MA + MB)2 = MA2 + MB2 + 2MA.MB Suy ra MA + MB lôùn nhaát  MA.MB lôùn nhaát  MH.AB lôùn nhaát  MH lôùn nhaát  M laø ñieåm chính giöõa cung AB  thì N laø ñieåm chính giöõa Ta chöùng minh khi M laø ñieåm chính giöõa AB  . Thaät vaäy : M laø ñieåm chính giöõa AB   MAB   450 AC   450  N laø ñieåm chính giöõa AC .  NAC Vaäy chu vi töù giaùc BCNM lôùn nhaát khi ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm chính giöõa  vaø AC . AB ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 35 Cho ñöôøng troøn (O :R) vaø ñöôøng thaúng xy tieáp xuùc vôùi (O) taïi A. Töø ñieåm tuøy yù treân (O) veõ BH  xy taïi H.  1. Chöùng minh BA laø phaân giaùc cuûa OBH  ñi qua ñieåm coá ñònh 2. Chöùng minh phaân giaùc ngoaøi cuûa OBH  caét BH taïi M. Tìm quyõ tích M khi B di ñoäng treân 3. Phaân giaùc AOB (O;R) ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi  1. Chöùng minh BA laø phaân giaùc cuûa OBH B M H  2. Chöùng minh phaân giaùc ngoaøi cuûa OBH ñi qua ñieåm coá ñònh AB  AC  AC laø ñöôøng kính cuûa (O)  C coá ñònh 3. Tìm quyõ tích M Chöùng minh AOMB laø hình thoi  AM = R  M  (A; R) N I 1. C LVC 24 C O A LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 36 Cho ñöôøng troøn (O;R) vaø ñieåm A coá ñònh vôùi OA = R. BC laø ñöôøng kính quay quanh O (A  BC ). Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC caét ñöôøng thaúng AO taïi I. 1. Tính OI theo R. Suy ra I coá ñònh 2. Tröôøng hôïp AB , AC caét (O) taïi D vaø E . DE caét OA taïi K. a. Chöùng minh töù giaùc KECI noäi tieáp . b. Tính AK theo R c. Chöùng toû taâm ñöôøng troøn (AED) thuoäc moät ñöôøng troøn coá ñònh. 4. Tìm vò trí BC ñeå dieän tích  ABC lôùn nhaát 5. Tìm vò trí BC ñeå baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC nhoû nhaát ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Tính OI theo R. Suy ra I coá ñònh B R2 R OI.OA = OB.OC  OI =  2R 2 D  I coá ñònh ( do O coá ñònh ) AN.AO = AD.AB = AK.AI. Do A, O , K , I coá ñònh  N coá ñònh M thuoäc ñöôøng trung tröïc cuû a NA coá ñònh 3. Tìm vò trí BC ñeå dieän tích  ABC lôùn nhaát 1 SABC  BC.AH  R.AH . Do ñoù S  ABC lôùn nhaát  AH lôùn nhaát 2  AH  AO  BC  OA 4. Tìm vò trí BC ñeå baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC nhoû nhaát Baùn kính ñöôøng troøn (ABC) laø O’A. Veõ O’O”  OA , ta coù O’A  O”A Maø O” coá ñònh ( O” laø trung ñieåm IA ). Neân O’A nhoû nhaát  O’A = O”A  O’  O”. Maø O”B = O”C  BC  O”A hay BC  OA IA 5R Khi ñoù : O’A =  2 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 37 Cho hình vuoâng ABCD coá ñònh caïnh laø a. E laø ñieåm di ñoäng treân CD ( E  D ). Ñöôøng thaúng AE caét ñöôøng thaúng BC taïi F. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AE taïi A caét ñöôøng thaúng CD taïi K.  . AFK  1. Tính sñ AFK I O N K 2. H a. Chöùng minh töù giaùc HECI noäi tieáp .   DEA  E BDEC noäi tieáp (O)  DBC BICA noäi tieáp (O’) ngoaïi tieáp  ABC C      DBC  AIC . Suy ra : AIC  DEA Suy ra : AKCI noäi tieáp b. Tính AK theo R ECIK noäi tieáp  AK.AI = AE.AC A M  BDEC noäi tieáp  AE.AC = AD.AB = OA2 – R2 2 2 2  AK.AI = OA – R = 3R R 5R 6R Maø AI = AO + OI = 2R  =  AK = 2 2 5 c. Chöùng toû taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  AED thuoäc moät ñöôøng troøn coá ñònh. Goïi M laø taâm ñöôøng troøn (ADE), goïi N laø giao ñieåm cuûa (M) vaø OA.   DEA  ( chaén DA ) Ta coù DNA   DBO  ( cmt )  DNA   DBO   BDNO noäi tieáp Maø : DEA 25 LVC   2. Goïi I laø trung ñieåm FK. Chöùng minh I thuoäc ñöôøng thaúng coá ñònh khi E di chuyeån treân caïnh CD   AIB  3. Chöùng minh : AFB 4. Goïi N laø giao ñieåm AF vaø BD. Chöùng minh INCF noäi tieáp . 5. Tính ñoä daøi caùc caïnh  AEK theo a vaø x , vôùi x = DE (0 < x  a ) 6. Tìm vò trí cuûa K ñeå EK ngaén nhaát . ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi  1. Tính sñ AFK  = 450  ADK =  ABF  AK = AF   KAF vuoâng caân  AFK 2. Chöùng minh I thuoäc ñöôøng thaúng coá ñònh   KAI   450 Töù giaùc ADIK noäi tieáp  KDI   450  IDB   1800 Maø ADB Suy ra : I , D , B thaúng haøng  I thuoäc ñöôøng thaúng BD coá ñònh.   AIB  : Chöùng minh ABFI noäi tieáp 3. Chöùng minh : AFB 4. Chöùng minh töù giaùc INCF noäi tieáp 26 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Ta coù IC = IA vaø NC = NA   INA =  ICA ( c- c-c )   ICN   IAN  Höôùng daãn giaûi M   IBF   450  ICN   IFA   450 Maø IABF noäi tieáp  IAN Suy ra töù giaùc INCF noäi tieáp . 5. Tính ñoä daøi caùc caïnh cuûa  AEK theo a vaø x EC FC a  x FC a(a  x) CF //AD      FC  ED AD x a x 2 a(a  x) a  BF = BC + CF = a +  BF = x x 2 a a2 a2  x 2 Ta coù DK = BF =  KE = KD + DE = + x2 = x x x AE = 1. Chöùng minh H , A , D thaúng haøng   DAC   450  H , A , D thaúng haøng K HAB 2. Chöùng minh  FBC vuoâng caân   450  FC   FB   FB  FC FAC A H O C 3. Chöùng minh K , B ,C , E , M cuøng thuoäc ñöôøng troøn   BKC   450  BKMC noäi tieáp BMC 2 B N a E C   BEC   450  BKEC noäi tieáp BKC  K , B , C , E , M cuøng thuoäc ñöôøng troøn taâm F laø trung ñieåm BM 4. Chöùng minh MC2 = MB.MF   900  MC laøtieáp tuyeán cuûa (O)  MC2 = MB.MF MCB   300 .Tính dieän tích töù giaùc HBCD theo BC. 5. Bieát ACB   300   ABC laø nöûa tam giaùc ñeàu Ñaët BC = 2a , ta coù ACB AB = a vaø AC = a 3 SBHDC = SABH + SABC + SACD 1 1 1 = AB.BH  AB.AC  AC.CD 2 2 2 1 2 1 1 1 = R  R.R 3  (R 3)2 = R 2 (4  3) 2 2 2 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 39 Cho  ABC vuoâng taïi A. Laáy D thuoäc caïnh AC (DC < DA). Veõ ñöôøng troøn (D) tieáp xuùc vôùi BC taïi E. Veõ tieáp tuyeán BF vôùi ñöôøng troøn (D) caét AD taïi I , BD caét AE taïi K. 1. Chöùng minh A , B , E , D , F thuoäc moät ñöôøng troøn. Xaùc ñònh taâm. 2. Chöùng minh IF.BK = IK.BF 3. Trung tuyeán AM cuûa  ABC caét BF taïi N. Chöùng minh NA = NF. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh A , B , E , D , F cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn  x F ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 38 Cho  ABC vuoâng taïi A (AB < AC).Döng ngoaøi tam giaùc hai hình vuoâng ABHK vaø ACDE . 1. Chöùng minh H , A , D thaúng haøng 2. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC caét AD taïi F. Ch/ minh  FBC vuoâng caân 3. BF caét ED taïi M. Chöùng minh K , B , C , E , M cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn 4. Chöùng minh MC2 = MB.MF  = 30 0 .Tính dieän tích töù giaùc HBCD theo BC. 5. Bieát ACB -------------------------------------------------------------------------------------------27 D F B AD 2  DE2  a2  x2  a2  x 2  a2 (a2  x2 ) 2 2 AK2 = KE2 – AE2 =    (a  x )  x2  x  A a 2 Suy ra AK = a  x2 x 6. Tìm vò trí ñieåm E ñeå KE ngaén nhaát a2  x 2 2ax EK =   2a x x K D  EK min= 2a . Daáu = xaûy ra khi a = x I  E  C. Khi ñoù KD = a. E LVC 28 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc   BFD   BED   90 BAD 2. Chöùng minh IF.BK = IK.BF   FBD   DBE   DAF  AFD   AD laø phaân giaùc FAE 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 0 A F I N D K  AB laø phaân giaùc ngoaøi cuûa FAE IK BK    IK.BF  IF.BK IF BF 3. Chöùng minh NA = NF  B C M E AF  Oy taïi F   MEA =  NFA  AM = AN  A thuoäc trung tröïc cuûa MN , maø A coá ñònh. Ñpcm 3. Chöùng minh ñöôøng troøn (OMN) ñi qua ñieåm coá ñònh khaùc O   IMA  (chaén cung AI) Töù giaùc MEAI noäi tieáp  AEI    MCA  (MC = MA) AM laø trung tuyeán cuûa  ABC vuoâng  MAC   MAC   FAC  vaø AFB   AEB   ACE   CAE  Maø FAM   CAE  (cmt) Do FAC   ANF caân taïi N  NA = NF. ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 40  = a ( khoâng ñoåi ). Ñieåm O coá ñònh . M  Ox , N  Oy sao cho Cho xOy OM + ON = 2a ( khoâng ñoåi ). 1. Chöùng minh trung ñieåm I cuûa MN thuoäc moät ñoaïn thaúng coá ñònh. 2. Chöùng minh ñöôøng trung tröïc cuûa MN ñi qua moät ñieåm coá ñònh 3. Chöùng minh ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  OMN ñi qua ñieåm coá ñònh khaùc ñieåm O 4. Xaùc ñònh vò trí MN ñeå MN ngaén nhaát -----------------------------------------------------------------------------------------------x  Höôùng daãn giaûi E M O B A I E K F N 1. Chöùng minh trung ñieåm I cuûa MN thuoäc moät ñoaïn thaúng coá ñònh Laáy E  Ox , F  Oy sao cho OE = OF = a. 29 Do MO + NO = 2a  ME = NF. Veõ MK // EF (K  Oy)  KF = ME  FK = FN Suy ra I laø trung ñieåm MN ( ñöôøng trung bình ) Vaäy I  EF coá ñònh. 2. Chöùng minh ñöôøng trung tröïc cuûa MN ñi qua moät ñieåm coá ñònh  . Veõ Et  Ox caét Oz taïi A ( coá ñònh) Veõ phaân giaùc Oz cuûa xOy LVC   EOA  goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc ) Maø AEI  )  MOAN noäi tieáp   AOF   AOF   AMN  ( AMI  AEI Vaäy ñöôøng troøn (MON) ñi qua ñieåm coá ñònh A 4. Xaùc ñònh vò trí MN ñeå MN ngaén nhaát   ANM   AON    ( khoâng ñoåi ) Xeùt  MAN caân taïi A coù : AMN 2 Maø AI  MN . Vaäy MN  AI nhoû nhaát . Do tgAIB vuoâng taïi B neân : AI nhoû nhaát  I  B  MN  OA  MN  EF. ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 41 Cho BC laø daây cung coá ñònh cuûa ñöôøng troøn (O;R). A  cung lôùn Bcsao cho O naèm trong  ABC .Veõ ñöôøng cao AD , BE , CF caét nhau taïi H. 1. Chöùng minh  AEF ~  ACB 1 2. M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh OM = AH 2 3. N laø trung ñieåm EF .Chöùng minh R.AN = AM.ON 4. Chöùng minh : 2S  ABC = (EF + FD +DE).R 5. Tìm vò trí ñieåm A treân (O;R) deå chu vi  DEF lôùn nhaát ? ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 3. Chöùng minh R.AN = AM.ON AN AE AEF ~  ACB ( tæ soá k )   k AM AB ( AN , AM laø trung tuyeán töông öùng ) Maët khaùc :  BAE ~  BMO ( g- g) 30 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc A AE OM OM   AB OB R E AN OM F K    R.AN = AM.OM H AM R O 4. Chöùng minh : 2S  ABC = (EF + FD +DE).R EF AN AE OM Ta coù :    B D M C BC AM AB OB  EF.R = OM.BC = 2S  BOC Töông töï ta chöùng minh : FD.R = 2S  AOC vaø DE.R = 2S  BOA Suy ra : R(EF + FD + DE) = 2(S  BOC + S  COA + S  AOB) = 2S  ABC 5. Tìm vò trí ñieåm A treân (O;R) deå chu vi  DEF lôùn nhaát ? Theo caâu 4 thì chu vi  DEF lôùn nhaát  S  ABC lôùn nhaát  AD lôùn nhaát  A laø ñieåm chính giöõa cung lôùn BC. ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 42 Cho  ABC vuoâng taïi A , AI laø trung tuyeán . D  BC ( D  B , C ) E , F laø taâm ñöôøng troøn (ABD) vaø (ADC). Chöùng minh A, E , I , D , F cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn . ------------------------------------------------------------------------------------------------ Suy ra : A , F , D , I cuøng thuoäc ñöôøng troøn (1)   1 AED  ( goùc noäi tieáp vaø goùc ôû taâm E ) Ta coù : ABD 2   1 AED  ( EF laø trung tröïc cuûa AD)  FED   ABD  Maø FED 2   FED   900 ( EF  AD ) Maø ADE   ABD   900 (  ABC vuoâng ) ACD   ADE   A, F , D , E cuøng thuoäc ñöôøng troøn (2) AFE Töø (1) vaø (2) ta coù A , E , D , I , F cung thuoäc moät ñöôøng troøn ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 43 Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng 1 ñôn vò. Treân caïnh AB , CD laáy hai ñieåm P vaø Q sao cho chu vi  APQ = 2 ( ñôn vò ) 1. Chöùng minh PB + QD = PQ   450 2. Chöùng minh PCQ  ------------------------------------------------------------------------------------------------P B A I Q A F D E C I B C  Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh PB + QD = PQ Ta coù : PB + QD = AB – AP +AD +AQ = AB + AD – ( AP + AQ ) = 2 – ( AP + AQ ) = ( AB + AP + PQ ) – ( AP + AQ ) = PQ   450 2. Chöùng minh PCQ D  Höôùng daãn giaûi   2ACD  ( goùc ôû taâm F vaø goùc noäi tieáp ) Ta coù : AFD   2ACD  (AI laø trung tuyeán tam giaùc vuoâng) AIB   AFD   AIB 31 LVC 32 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Veõ ñöôøng troøn taâm C baùn kính 1 ñv  AB , AD laø hai tieáp tuyeán cuûa (C ) . Töø ñieåm P’ tuøy yù thuoäc AB veõ tieáp tuyeán vôùi (C) taïi I caét AB taïi Q’. Ta coù : P’B + Q’D = P’Q’  P’ vaø Q’ thoõa maõn giaû thieát caâu 1. , töùc laø chu vi  AP’Q’ = 2 (ñv). Ta laïi coù CI  P’Q’  CI laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (P’; P’B) vaø (Q’ ; Q’D) . 1  C  2 vaø C 3  C 4 Suy ra : C 1  C 2  C 3  C  4  900  C 2  C  3  450 hay P C 'CQ'  450   450 . Vaäy neáu hai ñieåm P vaø Q thoõa maõn chu vi  APQ = 2(ñv) thì PCQ   Chuù yù 1. 2. a. b. Coù theå thay ñoåi giaû thieát laø hình vuoâng caïnh a , chu vi  APQ = 2a Caâu 2 coù theå hoûi : Chöùng toû ñöôøng thaúng PQ luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng troøn coá ñònh Chöùng toû chaân ñöôøng cao CI cuûa  CPQ thuoäc ñöôøng troøn coá ñònh. ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 44 Cho hình vuoâng ABCD caïnh laø a .Treân caïnh AD , CD laân löôït laáy 2 ñieåm   450 . BM , BN caét AC taïi E , F. M , N sao cho MBN 1. Chöùng minh MEFN noäi tieáp 2. MF , NE caét nhau taïi H. BH caét MN taïi I. Tính BI theo a. Suy ra AM + NC = MN ( Hoaêïc chöùng toû MN luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng troøn coá ñònh) ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh MEFN noäi tieáp   ECN   450  BENC noäi tieáp EBN   BCE   450 MBF   MAF   450 ENF   BAF   450  ABFM noäi tieáp  BMF   ENF   450 Suy ra : EMF   A B M H F MEFN noäi tieáp D C N 2. Tính BI theo a. Suy ra AM + NC = MN   ENB   450 ( cmt)   EBN vuoâng caân  NE  BM EBN Töông töï : MF  NB . Suy ra : BH  MN taïi I 33    ABM  ( ABFM noäi tieáp ) EFM   MBI   ABM Suy ra :  ABM =  IBM ( caïnh huyeàn – goùc nhoïn )  BI = AB = a Suy ra : AM = MI Töông töï : NC =NI  MN = AM + NC  MN  BI taïi I  MN luoân tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (B; a) coá ñònh. ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 45 Cho  ABC caân taïi A noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Treân BC laáy ñieåm M. Veõ MD // AB vaø ME // AC ( D  AC ; E  AB ). Chöùng minh ñieåm doái xöùng vôùi M qua DE thuoäc ñöôøng troøn (O). ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi A   EMD  I M ñoái xöùng vôùi I qua ED  EID   EAD  AEMD laø hình bình haønh  EMD   EID   EAID noäi tieáp  EAD E   AEI  (1) ADI Ta coù DM =DI ( ñoái xöùng ) DM = DC (  DMC caân )   2ACI  (2)  DI = DC   DIC caân  ADI  D   2ABI  (3) Töông töï : AEI   ABI  Töø (1) , (2) vaø (3)  ACI  ABCI noäi tieáp  I  (O) ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 46 Cho hình vuoâng ABCD taâm O.Veõ ñöôøng thaúng d qua O caét AD , BC taïi E vaø F. Töø E , F veõ caùc ñöôøng thaúng song song vôùi BD vaø AC caét nhau taïi I. 1. Tìm quyõ tích I khi E chaïy treân AD 2. Veõ ñöôøng cao IH cuûa  IEF. Tìm quyõ tích cuûa H 3. Chöùng minh ñöôøng thaúng HI ñi qua ñieåm coá ñònh ----------------------------------------------------------------------------------------B C M E I   MNE  (goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc) Suy ra : MBI   Maø : MNE  MFE ( MEFN noäi tieáp ) LVC 34 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Veõ tieáp tuyeán xAy cuûa (O) , chöùng minh xy // DE  DE  OA ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 48 Treân ñöôøng thaúng d laáy 3 ñieåm A, B , C coá ñònh. Bieát AB = a, BC = b. Ñöôøng troøn (O) di ñoäng ñi qua B vaø C. Veõ tieáp tuyeán AT cuûa (O) (T  (O) ) 1. Tìm quyõ tích cuûa T 2. Veõ ñöôøng kính BE cuûa (O). AE caét (O) taïi D. Chöùng minh : AD.AE = OA2 – OC2 3. Tìm quyõ tích D vaø E . ---------------------------------------------------------------------------------------------- Höôùng daãn giaûi Höôùng daãn giaûi  1. Tìm quyõ tích I khi E chaïy treân AD K A I B E H N   450 . BHO Do B vaø O coá ñònh neân H di chuyeån treân cung chöùa goùc 450 döïng treân ñoaïn BO ( coù giôùi haïn ) 3. IH ñieåm qua ñieåm coá ñònh  O F D OE = OF ( tính chaát ñoái xöùng ) Maø EI // OM  MI = MF Do FI  BD  I ñoái xöùng vôùi F qua BD  I  AB 2. Quyõ tích cuûa H   BIF   450 IHFB noäi tieáp  BHF C T   IFB   450 ( HIBF noäi tieáp ) Veõ Ox  AB caét IH taïi K. Ta coù : KHB   KOB   450  KHOB noäi tieáp  BKO   BHF   450 (= BIF  )  KHB   OKB vuoâng caân taïi B  OK = a  K coá ñònh ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 47  lôùn . Cho ñöôøng troøn (O) daây BC coá ñònh . A  BC 1. Tìm vò trí cuûa A ñeå  ABC coù ba goùc nhoïn. 2. Tìm quyõ tích tröïc taâm H cuûa  ABC khi A chaïy treân (O) thoõa maõn ñieàu kieän caâu 1 3. Chöùng minh ED  OA ------------------------------------------------------------------------------------------------y  Höôùng daãn giaûi A 1. Tìm vò trí cuûa A ñeå  ABC coù ba goùc nhoïn. Ta coù AÂ < 900 , ñeå  ABC coù ba goùc nhoïn x A1 D A2  < 900 vaø C  < 900  A  A  thì B A 1 2 2. Tìm quyõ tích tröïc taâm H   1800  A  ( khoâng ñoåi ) Ta coù BHC  döïng treân B H  cung chöùa goùc   1800  A ñoaïn BC coá ñònh 3. Chöùng minh ED  OA  35 E H C LVC 1. Quyõ tích cuûa T Chöùng minh : AT2 = AB. AC = ab  AT = ab  T  (A; ab ) E D O B C 2. Chöùng minh AD.AE = OA2 – OC2 A 2 2 2 Chöùng minh AD.AE = AT = OA – OC 3. Tìm quyõ tích D vaø E .  ADB vuoâng taïi D  D  ñöôøng kính AB  ACE vuoâng taïi C  CE  AC  E  ñöôøng thaúng d  AC taïi C ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 49 Cho ñöôøng troøn (O;R) coù hai daây cung AC vaø BD vuoâng goùc taïi I naèm trong ñöôøng troøn ( I  O ). 1. Chöùng minh IA.IC = IB.ID 2. Veõ ñöôøng kính CE cuûa (O) .Chöùng minh : a. AB2 + CD2 = 4R2 b. AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = 8R2 3. Töø A vaø B haï ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD laàn löôït caét BD taïi F , caét AC taïi K. Chöùng minh ABKF laø hình thoi 4. Goïi M laø trung ñieåm CD. Chöùng minh AB = 2MO 5. Goïi P laø trung ñieåm OI, IH laø ñöôøng cao cuûa  ICD. Chöùng minh OI2 6. MO2 + MI2 – 2MP2 = 2 36 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh IA.IC = IB.ID Chöùng minh  IAB ~  IDC 2a. Chöùng minh AB2 + CD2 = 4R2 F D H N A M I C K P O E   EB   ADB   EBD  AE // DB  AD  ADBE laø hình thang caân  AB = DE 2 2 2 2 2 2  AB + CD = DE + CD = CE = 4R 2 2 2 2 2 2b. C/m AB + BC + CD + AD = 8R BC 2 + AD2 = BC2 + EB2 (AD = BE) = EC2 = 4R2 2 2 2 2 2  AB + CD + BC + AD = 8R 3. Chöùng minh ABKF laø hình thoi   DBK  (goùc töông öùng  ) DCA   ABD  ( cuøng chaén AD ) B ACD    DBK  ABD   ABK caân taïi B  AI = IK (1)   BFA  (so le trong ) Ta coù : FBK 2 2 2 HI IM Chöùng minh AH = AK  , AF laø phaân giaùc AÂ , BE laø phaân giaùc B  CD laø phaân giaùc C Suy ra C , I , D thaúng haøng ) D  AI ñi qua ñieåm coá ñònh F (ñieåm chính giuõa BC 3. Chöùng minh 2 HK AH A E M I khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm A B C 2  (ch/ minh coâng thöùc)  IMO coù : IO2 = IM2 + OM2 – 2IM.OM.cos IMO  = IM2 + OM2 – 2IM.OM.cos HIM 2 2 2. Chöùng minh C, D , I thaúng haøng O laø ñöôøng trung bình cuûa  DCE  DE = 2OM , maø DE = AB  AB = 2OM = IM + OM – 2IM.OM. 2   AKH  (goùc coù ñænh trong ñöôøng troøn )  AH = AK Chöùng minh AHK 4. Chöùng minh AB = 2MO OI = IM + OM + OM + HI2 – 4(PM2 + NM2) = IM2 + OM2 + OM2 + HI2 – 4PM2 – 4NM2 HM 2 = IM2 + 2OM2 – 4PM2 + 4  HI2 4 = IM2 + 2OM2 – 4PM2 + IM2 = 2IM2 + 2OM2 – 4PM2 OI2 Vaäy : = MO2 + MI2 – 2MP2 (ñpcm) 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 50 Cho  ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O). B vaø C coá ñònh , D vaø  , AC  . DE caét AB , AC taïi H vaø K. E laø ñieåm chính giöõa AB 1. Chöùng minh AH = AK 2. Veõ tia Ax  HK taïi M caét BE taïi I. Chöùng minh C , I , D thaúng haøng vaø tia AI luoân ñi qua ñieåm coá ñònh HK 3. Chöùng minh tæ soá khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm A. AH ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1.   ABD  (cmt) DBK   ABF    FAB caân taïi A  IF = IB (2)  AFB Töø (1) vaø (2)  ABKF laø hình bình haønh Maø AK  BF  ABKF laø hình thoi Maø 5. Chöùng minh : MO2 + MI2 – 2MP 2 = 2 = (cos HIM  HK HM 1   1 sin A khoâng ñoåi ( do B , C coá ñònh)   sin HAM AH 2AH 2 2 2 HI ) IM F ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 51 = IM + OM – 2OM.HI = IM2 + OM2 – [(OM + HI)2 – OM2 – HI2 ] = IM2 + OM2 – ( 4PN2 – OM2 – HI2 ) 37 LVC 38 LVC 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc 100 Baøi toaùn Hinh hoïc Lôùp 9 Choïn loïc Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB .Treân AB laáy hai ñieåm I vaø K ñoái xöùng nhau qua O. M laø ñieåm  (O) ( M  A vaø B). MI , MO , MK caét (O) taïi C , E , D. Qua D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB caét ME taïi L, caét MC taïi N. 1. Chöùng minh LN = LD 2. Veõ OH  CD taïi H . Chöùng minh LHDE noäi tieáp 3. CD caét AB taïi F. Chöùng minh FE laø tieáp tuyeán cuûa (O).] ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Chöùng minh K laø trung ñieåm MN . Suy ra K thuoäc ñöôøng thaúng coá ñònh khi M di ñoäng treân AB 3. Chöùng minh E , K , F thaúng haøng 4. Tìm vò trí M , N , R ñeå chu vi  MNR nhoû nhaát ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi 1. Chöùng minh K , F , N , O cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn   OFN   90 0 OKN M 2. Chöùng minh K laø trung ñieåm MN  Höôùng daãn giaûi Chöùng minh  MNR ñeàu , chöùng minh  AMO =  CNO (c-g-c)  OM = ON  K laø trung ñieåm MN F A I O C 1. Chöùng minh LN = LD IO OM  LN ML ( do IO // NL ) OK OM ( do OK // DL )  LD ML B H N  K L D E  IO OK   LN = LD ( do OI = OK ) NL LD 2. Chöùng minh LHDE noäi tieáp H laø trung ñieåm CD , L laø trung ñieåm DN  HL // MN   MCD  (slt) maø MCD   MED  (chaén MD  )  CHL   LED   CHL  HLED noäi tieáp ( goùc ngoaøi baèng goù c trong ñoái dieän ) 3. Chöùng minh FE laø tieáp tuyeán cuûa (O)   HEL  (töù giaùc HLED noäi tieáp ) HDL   BFD  (slt)  OFH   OEH   OFEH noäi tieáp Maø HDL   FHO   900  EF  OE  FE laø tieáp tuyeán cuûa (O)  FEO ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 52 Cho  ABC ñeàu .Treân caùc caïnh AB , BC , AC laáy caùc ñieåm M , N , R sao cho AM = CN = BR .Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp  ABC. E , F , K l;aàn löôït laø hình chieáu cuûa O leân AB , AC , MN. 1. Chöùng minh K , F , N , O cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn 39 LVC 3. Chöùng minh K , E , F thaúng haøng   FON   OEM =  OFN ( OM = ON , OE = OF )  EOM   MOE  vaø FKN   FON  ( töù giaùc noäi tieáp ) Maø MKE   FKN   MKE Do M , K , N thaúng haøng  E , K , F thaúng haøng 4 Tìm vò trí M , N , R deå chu vi  MNR nhoû nhaát Chu vi  MNR min  KN min   OK  KN = OK . Maø tg KNC KN tg300 Do ñoù KN min  OK min Maø K  EF coá ñònh , neân OK min  OK  EF  MN = EF . Vaäy chu vi  MNR nhoû nhaát khi M , N , R laø caùc trung ñieåm cuûa AB , BC , AC A M E K O F N B R C ------------------------------------------------------------------------------------------------Baøi 53  Cho  ABC caân taïi B , noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Treân cung AC khoâng chöùa B laáy 2 ñieåm K vaø M ( K , M  A , C ). BK caét AM taïi E , KC caét BM taïi D. Chöùng minh ED // AC ------------------------------------------------------------------------------------------------ Höôùng daãn giaûi   BMA ) Töù giaùc KEDM noäi tieáp ( BKC 40 LVC