www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
www.thuvienhoclieu.com
MÔN TOÁN
ĐỀ 61
Thời gian: 90 phút
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm
x ln x x 1 dx
x
1
2
x ln x C
A. 2
C.
x
B.
x2 1 1
2
ln x C
2 x 2
x2 1
2
ln x C
2 x
x ln x
D.
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình
x
log 1 x log 1
2
2
2
C
x 1
x 1 là:
2 1;1
1;1 2
0; 2 1
0;1 2
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Giả sử số phức z là một căn bậc hai của 7 + 24i và k là tổng của phần thực và phần ảo của z . Khi
đó
k
bằng:
A. 1
B. 5
C. 1
D. 7
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m không vượt quá 2020 để phương trình sau có nghiệm thực:
3.4 x 4 m 2 x 1 3 0
A. 2013
B. 2016
C. 2014
D. 2015
Câu 5. Cho z là số phức thỏa mãn 3 z 2 z 1 15i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng
A. - 14
B. 2
C. 4
D. 16
2
Câu 6. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4 và đồ thị
hàm số y = 3 x + 2 quay quanh trục Ox bằng
2
A.
2
x 2 3x 6 x 1 2 x dx
1
2
3x 2 x
B1
2
2
2
C.
x 3x 2 dx
D.
1
1
A.
M 2;3;4
1
C. 3
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách từ điểm
x 1 y 1 z
:
2
2
1 bằng
57
3
2
đến mặt phẳng
bằng:
B. 1
A. 1
2
4 dx
x 2 3x 2 dx
Câu 7. Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách từ điểm
P : 2 x 2 y z 3 0
2
57
B. 9
D. 3
M 0;1; 2
65
C. 9
www.thuvienhoclieu.com
đến đường thẳng
65
D. 9
Trang 1
www.thuvienhoclieu.com
S
.
ABCD
Câu 9. Cho hình chóp
có đáy hình vuông cạnh a , SA 2a vuông góc với đáy. Cô sin của góc
giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( SAB ) bằng:
A.
1
5
Câu 10. Đạo hàm của hàm số
2
5
B.
y 1 2 x log x 2 x
2
C. 5
A.
2
2 log x x
2
B.
2
2 x 1 2 log x 2
x x 1 ln10
C.
2 x 1 2 log x 2
x 1 x ln10
x
2
2 x 1 2 log x 2
x 1 x ln10
D.
x
Câu 11. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng
Q : 2x
D.
1
5
là:
2
2 x 1
x x 1
z 0
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
x 1 y 2 z
1
1
A. 2
C. x y 2 z 1 0
P
và
P : x y
z 1 0
x
và mặt phẳng
Q
có phương trình là:
x y 1 z
1
2
B. 1
D. x y 2 z 1 0
20
2 3
2x
x là:
Câu 12. Số hạng không chứa x trong khai triển
16 16
16 16
4
16 4
A. 16C20 .3
B. 16C20 .3
C. 16C20 .2 .3
Câu 13. Cho
sin x
A. 32
1
3 . Giá trị của biểu thức A 8tan 2 x 3cot 2 x bằng
97
B. 33
C. 3
4
16 4
D. 16C20 .2 .3
D. 25
AB ' C ' tạo với
Câu 14. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh 2a, mặt phẳng
mặt phẳng
A.
A ' B 'C
0
một góc 60 . Thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng:
3a 3
Câu 15 Cho hàm số
với trục hoành là:
A. x 3 y 1 0
3
B. 3 3a
y
3a 3 3
C. 8
a3 3
D. 8
x 1
2 x 1 . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số
B. 3 x y 1 0
C. x 3 y 1 0
D. 3 x y 1 0
Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng:
a 21
A. 6
a 3
B. 3
a 7
C. 4
A. m < 6
B. m ≤ 7
C. m ≤ 6
D. a
1
m
y x3 1 x 2 4 x 1
3
2
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
đồng biến trên
khoảng ( 1;3 ) .
www.thuvienhoclieu.com
D. m < 7
Trang 2
Câu
18.
Trong
không
gian
www.thuvienhoclieu.com
với hệ trục tọa độ
A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3 , D 1;2;3 .
,
cho
các
điểm
Bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:
7
B. 2
3
A.
Oxyz
7
D. 2
C. 14
1
y x3 x 2 3x m
3
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có hai điểm cực
trị cách đều đường thẳng x 3 y 1 0 .
A. m = 3
C. m 3
B. m = ± 3
D. Không có m
x 2 2 x 3 2m 1
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình
có đúng 4
nghiệm thực phân biệt.
1
1
5
m 5
m
2
A. 2
B. 0 < m < 4
C. 0 ≤ m ≤ 4
D. 2
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 ,a tam giác SAB vuông tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy, AB 2 AS . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
A. 4a
4 3
a
B. 3
3
C. 2 3a
2 3
a
3
D.
3
Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị các hàm số y = x và y x 6 bằng
3
A. 0
0
0
x 6 x dx x 6dx
3
x
B.
6
x 6 x dx
6
3
x 6 dx
x
x 6 dx
C.
D.
Câu 23 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau không vượt quá 2020?
A. 1008
B. 1020
C. 504
D. 511
2
2
y log x 5 x 2 x 2 2
Câu 24. Tìm tập xác định của hàm số
1
1
1
;1 1; 2
;
;2
2
2
A.
B.
C. 2
Câu 25. Cho cấp số cộng
cộng đã cho.
A. 92
un
thỏa mãn
u2 4; u9 5.
B. 45
C. 29
D. 54
2 z i 2 z 1 i
là đường thẳng
D. 8 x 4 y 7 0
x 1 y 2 z
:
1
2
1 và
Câu 27. Trong không gian với hệ trục Oxyz , gọi α là góc giữa đường thẳng
mặt phẳng
P : 2x
cos
A.
3
84
B. 8 x 12 y 7 0
0; 2
Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số
Câu 26. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
A. 8 x 12 y 7 0
D.
y 3 z 1 0
. Khẳng định nào sau đây đúng?
sin
B.
C. 8 x 4 y 7 0
3
84
sin
C.
www.thuvienhoclieu.com
3
84
cos
D.
3
84
Trang 3
www.thuvienhoclieu.com
Câu 28. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng
d:
P : x 2 z 1
và đường thẳng
x 1 y 2 z
2
3
1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A 1; 2;0 song song với đường thẳng d và vuông
góc với
P
là:
x 1 y 2 z
1
1
A. 2
B. 2 x y 7 z 0
C. 2 x y z 4 0 D. 2 x y z 0
y x 4 2 m 1 x 2 m.
Câu 29. Cho hàm số
Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông là:
A. 2
B. 0
C. 3
D. 1
3 x
y
3 x tại hai điểm phân biệt A và B. Khoảng cách
Câu 30. Đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số
AB là:
A.
2
B. 2
C. 1
D. 3
Câu 31: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh ,a hình chiếu của A ' lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm của BC, mặt phẳng
cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng:
a 3
A. 4
0
tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 . Khoảng
a 3
D. 2
3a
C. 4
B. a
1 x e
Câu 32: Tìm họ nguyên hàm
1 2 x e2 x C
BCC '
3
2x
dx
2 x e2 x
C
4
3 2 x e2 x C
3 2 x e2 x C
D.
2
z ,z
z 2 z1 2 z2 z1 z2i
Câu 33: Giả sử 1 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 z 3 0 và
. Khi
A.
đó
z
4
B.
C.
2
bằng:
A. 10
B. 25
C. 10
D. 5
z
Câu 34: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 1 là số thuần ảo
là:
1
1
I ;0
A. Đường tròn tâm 2 bán kính 4
1
I ;0
A 1;0
B. Đường tròn tâm 2 bán kính 12 trừ điểm
.
1
1
I ;0
C. Đường tròn tâm 2 bán kính 2 .
1
1
I ;0
D. Đường tròn tâm 2 bán kính 2 trừ điểm A ( 1; 0 ) .
Câu 35: Tìm họ nguyên hàm
A.
I
1 2x
20
5
I x 1 2 xdx
1 2x
16
3
C
B.
I
3x 1 1 2 x
www.thuvienhoclieu.com
15
3
C
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
C.
I
1 2x
5
10
1 2x
3
6
D.
I
5 1 2x
5
8
3 1 2x
3
8
C
x
2
Câu 36: Đạo hàm của hàm số y 4 cos x là:
22 x 1 cos x cos x sin x
A.
C.
2 x 1
2
x
B. 2 cos x 4 sin 2 x
4 x cos 2 x.ln 2 sin 2 x
D.
22 x 1 cos x cos x.ln 2 sin x
Câu 37: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 ,a cạnh bên SA = a vuông góc với đáy, M là
trung điểm của CD . Tính tan của góc giữa SM và mặt phẳng ( ABCD ).
1
A. 5
1
B. 3
C.
1
D. 2
5
Câu 38: Có ba người thợ săn cùng bắn một con nai. Xác suất bắn trúng của mỗi người lân lượt là 0,6; 0,8;
0,9. Tính xác suất để có ít nhất hai người bắn trúng.
A. 0,876
B. 0,444
C. 0,689
D. 0,432
Câu 39: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho
tiếp tam giác ABC là:
13
A. 2
A 2;3 , B 2;5 , C 1;3
B. 13
C.
. Bán kính đường tròn ngoại
13
2
D. 13
2 x 1
x
2 x 1
0 là khoảng a; b . Tổng a b bằng:
Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình 3 7.6 2
log 3 6
log 2 6
2
A.
B. 1
C. 3
D. 1
Câu 41: Giả sử m là số thực để giá trị lớn nhất của hàm số
nhất và
m
y 2 x 2 3 x 4m 5
trên đoạn
1; 2
là nhỏ
a
b với a, b là các số nguyên tố cùng nhau và b > 0. Khi đó a b bằng:
A. 47
Câu 42:
Cho
khối
B. 9
chóp .S
ABC
có
C. – 47
đáy ABC
là
tam
D. 9
giác cân
tại
A
,
AB 2a, BAC 1200 , SBA SCA 900 . Biết góc giữa SB và đáy bằng 600 . Tính thể tích V của
khối chóp S . ABC.
3
A. 6 3a
3
3
3
B. 6a
C. 2a
D. 2 3a
Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a , đáy là hình chữ nhật ABCD
2
BE a
5 . Tính khoảng cách giữa hai
có AB 2a, AD a . Gọi E là điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho
đường thẳng AD và SE .
2 135a
135a
2 165a
165a
A. 15
B. 15
C. 15
D. 15
Câu 44: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không
vượt quá 6?
A. 420
B. 342
C. 360
D. 348
Câu 45: Với số phức
z1 , z2
thỏa mãn
z1 1 i z1 3 i
và
z2 1 2i 1
www.thuvienhoclieu.com
thì giá trị nhỏ nhất của
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
z1 z2
là:
6
1
5
2
2
6
1
1
1
5
5
5
A.
B.
C.
D.
SA
BC
x
,
SB
AC
y, SC AB z thỏa
S
.
ABC
Câu 46: Cho hình chóp
có độ dài các cạnh
2
2
2
mãn x y z 36 . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABC là:
A. 6
B. 2 6
C. 3
D. 6
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
10 m 7
5 2 x 2 2 2 x m 11 x 1 .
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
1
3
f x f 1 x 1
;2
2 x x2 .
Câu 48: Cho f ( x ) là một hàm số liên tục trên 2 và thỏa mãn
1
Tính tích phân
A.
ln 2
I f x dx
0
1
2
B.
ln 2
1
2
C.
ln 2
1
2
ln 2
1
2
D.
A 1;3 , B 2; 1 , C 3; 2 , M 3; 4
Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho bốn điểm
P thay đổi thỏa mãn PA.PB PB.PC PC.PA 2 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của MP .
A. 2
B. 3
C. 5
D. 1
1
f 1 , f x 1
2
Câu 50: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0;+∞ ) và thỏa mãn
trị nguyên của x . Tính tổng
và điểm
f ' x
2 x 1 với mọi giá
f 1 f 2 ... f 2020
2020
A. 2021
20202
C. 2021
-----------HẾT----------
B. 2020
20192
D. 2020
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
1-A
2-B
3-B
4-C
5-C
6-A
7-A
8-D
9-C
10-D
11-B
12-B
13-D
14-B
15-C
16-A
17-A
18-D
19-A
20-D
21-D
22-A
23-D
24-A
25-B
26-C
27-B
28-C
29-D
30-A
31-C
32-B
33-D
34-D
35-C
36-C
37-A
38-A
39-C
40-D
41-C
42-D
43-D
44-A
45-A
46-B
47-
48-A
49-B
50-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (TH) - Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
Cách giải:
Ta có:
x lnx x 1
x
x 2 x ln x x ln x
dx
dx
x
ln x
x2
ln x
x ln x 1
dx ln xdx x dx
x
2
x
Xét
Đặt
I ln xdx
u ln x
dv dx
1
du dx
x
v x
I x ln x dx x ln x x C1
ln x
ln 2 x
J dx ln xd ln x
C2
x
2
Xét
x ln x x 1 dx x 2 x ln x x C x ln 2 x C x 2 x ln x ln 2 x C
1
2
x
2
2
2
2
Vậy
1 2
1
2
x 2 x ln x ln 2 x C x ln x C
2
2
Chọn A.
Câu 2 (TH) - Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Phương pháp:
log a f x log a g x f x g x khi 0 a 1
Sử dụng so sánh
Cách giải:
x 1
log 1 x log 1
1
x
1
2
2
ĐK:
x 0
x 1
0
x 1
1
x
x 0
x 1 x 1
x 1
x 1
x 2 x x 1 do x 1
x 1
x2 2x 1 0 1
2 x 1 2
Kết hợp x > 1 ta được 1 x 1 2
1;1 2 .
Vậy tập nghiệm của bpt là
Chọn B.
Câu 3 (TH) - Cộng, trừ và nhân số phức
Phương pháp:
Đặt z a bi , tìm a b suy ra kết quả.
Cách giải:
Đặt z a bi (a, b )
2
Ta có:
z 2 a bi a 2 b 2 2abi
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
12
12
b
2
2
b
a
b
7
a
a
z 2 7 24i
4
2
2ab 24
a 2 144 7
a 7a 144 0
2
a
Mà
k 7
k 7
k 7
Chọn D.
Câu 4 (TH) - Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Phương pháp:
Đặt t = 2x , đặt điều kiện cho t và đưa phương trình về bậc hai ẩn t .
Tìm điều kiện để phương trình ẩn t có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.
Cách giải:
12
b a
a 2 16 TM
a 4
2
a 9 loai
b 3
x
3t 2 2 4 m t 3 0 *
Đặt t 2 0 , phương trình trở thành
Phương trình đã cho có nghiệm thực ⇔ (*) có ít nhất một nghiệm dương.
m 1
2
' 0 4 m 9 0 m 2 8m 7 0
m 7
TH1:
Với m = 1 thì
3t 2 6t 3 0 t 1 loai
Với m = 7 thì
3t 2 6t 3 0 t 1 TM
m 7
m 4 m 2 8m 7
' 0
t
m 1 , khi đó phương trình có nghiệm 1,2
3
TH2:
m 4 m2 8m 7
0 m 4 m 2 8m 7 0
3
Phương trình (*) có nghiệm dương
m 2 8m 7 4 m (**)
Nếu m > 7 thì 4 m 0 nên (**) luôn đúng.
4 m 0 ** m 2 8m 7 m 2 8m 16 7 16
Nếu m < 1 thì
(vô lí)
Do đó với m 7 thì pt có nghiệm thực.
m 7;8;...; 2020
Mà m , m 2020 nên
⇒ có 2014 giá trị.
Chọn C.
Câu 5 (TH) - Cộng, trừ và nhân số phức
Phương pháp:
Đặt z a bi (a, b ) , thay vào phương trình đã cho tìm a, b.
Cách giải:
Đặt z a bi (a, b ) ta có
3 a bi 2 a bi 1 15i a 5bi 1 15i
a 1
b 3
z 1 3i Tổng phần thực và phần ảo của z là 1 + 3 = 4 .
Chọn C.
Câu 6 (TH) - Ứng dụng của tích phân trong hình học
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
Phương pháp:
b
Sử dụng công thức
Cách giải:
V f 2 x g 2 x dx
a
x 1
x 2 4 3x 2 x 2 3x 2 0
x 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm
2
2
Trong khoảng ( 1;2 ) thì x 4 3 x 2 nên ta có:
2
2
2
V 3 x 2 x 2 4 dx
1
2
3x 2 x 4 3 x 2 x 4 dx x 2 3x 6 2 x x 1 dx
2
2
1
1
Chọn A.
Chú ý: Một số em sẽ chọn nhầm B vì quên nhân thêm π là sai.
Câu 7 (TH) - Phương trình mặt phẳng
Phương pháp:
ax by0 cz0 d
d M , P 0
a 2 b2 c2
Sử dụng công thức tính khoảng các
Cách giải:
Ta có:
M 2;3; 4
d M , P
và
P : 2 x 2 y z 3 0
2. 2 2.3 4 3
22 22 12
=1
Chọn A.
Câu 8 (TH) - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
MM 0 , u
d M ,
u
Sử dụng công thức
Cách giải:
x 1 y 1 z
:
M
1;
1;0
VTCPu
0
2; 2; 1
2
2
1 đi qua điểm
Đường thẳng
và có
MM 0 1; 2; 2 MM 0 , u 2;5; 6
d M ,
2
2
52 6 2
2
2
2
2 2 1
65
3
Chọn D.
Câu 9 (TH) - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Toán 11)
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng
Cách giải:
P và Q
bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
www.thuvienhoclieu.com
AB SAB
CD SCD SAB SCD Sx / / AB / /CD
AB / / CD
Ta có:
Dễ thấy SA AB SA Sx
CD AD
Lại có CD SA ⇒ CD ⊥ SD , mà CD / / Sx SD Sx
0
Do đó góc giữa ( SAB ) và ( SCD ) bằng góc giữa SA và SD và là góc ASD vì ASD 90
SA
SA
2a
2
cosASD
2
2
2
2
SD
5
SA AD
4a a
Có
Chọn C.
Câu 10 (TH) - Hàm số Lôgarit
Phương pháp:
Đạo hàm của một tích
uv ' u ' v uv '
loga u '
u'
u ln a
Sử dụng công thức đạo hàm
Cách giải:
y ' 1 2 x log x 2 x ' 1 2 x 'log x 2 x 1 2 x log x 2 x '
Ta có:
2
2
2 x 1 2 log x 2 x 2 x 1 2 log x 2 x
2x 1
2 log x x 1 2 x . 2
x 1 x ln10
x x ln10 x x 2 ln10
2
Chọn D.
Câu 11 (TH) - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
- Chọn một điểm thuộc cả hai mặt phẳng.
u n P , u n Q , u n P , n p
- VTPT của giao tuyến
Cách giải:
x y 1 x 0
z 0
2 x 0
y 1 A 0; 1;0 P Q
Cho
n P 1;1; 1 , n Q 2;0; 1 n P , n Q 1; 1; 2
www.thuvienhoclieu.com
Trang 10
ud
ud
P và Q
Giao tuyến d của
có
x y 1 z
d:
1
1
2
Vậy
www.thuvienhoclieu.com
n Q
ud 1;1; 2
n Q
Chọn B.
Câu 12 (TH) - Nhị thức Niu-tơn (Toán 11)
Phương pháp:
k n k k
Sử dụng công thức số hạng tổng quát Tk 1 Cn a b
Cách giải
Số hạng tổng quát
Tk 1 C
k
20
2 20 k
2x
Số hạng không chứa x ứng với
40
k
k
5k
40 2 k
40
3
k
k
20 k
k
20 k
2
2
.
C
.2
.
x
C
.2
.
3
.
x
20
20
x
5k
0 k 16
2
16
16 16
C16 .24. 3 16C20
.3
Vậy số hạng không chứa x là 20
.
Chọn B.
Câu 13 (TH) – Giá trị lượng giác của một cung(Toán 10)
Phương pháp:
1
1
1 tan 2 x, 2 1 cot 2 x
2
2
sin x
Tính cos x và sử dụng các công thức cos x
Cách giải:
1
1 8
sinx cos 2 x 1 sin 2 x 1
3
9 9
Ta có:
1
1
1
1
1 tan 2 x tan 2 x 2 1 1
2
8
cos x
cos x
8
9
1
1
1
1 cot 2 x cot 2 x 2 1 1 8
2
1
sin x
sin x
9
1
A 8 tan 2 x 3cot 2 x 8. 3.8 25
8
Chọn D.
Câu 14 (TH) - Hai mặt phẳng vuông góc (Toán 11)
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
www.thuvienhoclieu.com
A
'
M
B 'C ' .
Gọi M là trung điểm B ' C ' ta có
Mà AB ' AC ' A ' M B ' C '
Ta có:
AB ' C ' A ' B ' C ' B ' C '
AM B ' C '
A' M B 'C '
AB ' C '
và A ' B ' C '
bằng góc giữa AMvà A ' M hay là
0
góc AMA ' vì AMA ' 90 AMA ' 60
Nên góc giữa
0
Tam giác A ' B ' C ' đều cạnh 2a nên
A ' M
2a 3
a 3
2
0
0
Tam giác AA ' M vuông tại 'A có A ' M a 3, AMA ' 60 AA ' A ' Mtan60 a 3. 3 3a
VABC . A ' B 'C ' S A ' B 'C '
2a
. AA '
2
3
.3a 3 3a 3
4
Thể tích
Chọn B.
Câu 15 (TH) - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương pháp:
- Tìm giao điểm của đths với trục hoành.
y f ' x0 x x0 y0
- Phương trình tiếp tuyến
Cách giải:
x 1
0 x 1
1;0 .
Ta có: 2 x 1
⇒ giao điểm của đths với trục hoành là điểm
1. 1 1.2
3
y'
2
2
2 x 1
2 x 1
y ' 1
3
2. 1 1
2
y
1
3
1
x 1 0 x 3 y 1 0 .
3
Phương trình tiếp tuyến:
Chọn C.
Câu 16 (VD) - Mặt cầu
Phương pháp
Xác định trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Giao hai trục là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD
Từ đó tính bán kính dựa vào định lý Pytago
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
Gọi H là trung điểm đoạn AB và E là giao điểm hai đường chéo.
Vì SAB đều nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) )
EH AB
EH SAB
Ta có EH SH
Gọi I là trọng tâm tam giác SAB, qua I kẻ Ix / / HE
Qua E kẻ Ey / / SH , và Ey giao với Ix tại K .
Khi đó KS = KA = KB = KC = KD . Hay K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD
2
2 a 3 a 3
BC a
IS SH .
; HE
3
3 2
3
2
2
Ta có ∆ IKS vuông tại I có
2
a 3 a 2 a 21
KS SI IK
3 2
6
Nên
Chọn A.
Câu 17 (VD) - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp
Hàm đa thức y = f ( x ) đồng biến trên ( ;a b ) nếu f ' ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ( a ; b ) (dấu = chỉ xảy ra tại
hữu hạn điểm)
Cách giải:
2
Ta có:
2
y ' x 2 2 m x 4
Hàm số đồng biến trên ( 1;3 ) ⇔ y ' ≥ 0 với mọi
Hay
x 1;3
x 2 2 m x 4 0,1 x 3 x 2 2 x 4 mx
m
x 1;3
x2 2 x 4
x 1;3
x
với mọi
Xét hàm số
g x
g x 1
Ta có:
với mọi
x2 2x 4
4
x 2
x
x trên ( 1;3 )
4
0
x2
Ta có BBT của g ( x ) trên
x 2 1;3
x 2 1;3
1;3
Từ BBT suy ra m≤ 6.
Chọn A
Câu 18 (VD) - Mặt cầu
Phương pháp
www.thuvienhoclieu.com
Trang 13
www.thuvienhoclieu.com
Gọi I là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện khi đó R = IA = IB = IC = ID
Cách giải:
Gọi I ( x ; y ; z ) là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện khi đó R = IA = IB = IC = ID Ta có hệ:
x 1 2 y 2 z 2 x 2 y 2 2 z 2
IA2 IB 2
2
2
2
2
2
2
2
2
IA
IC
x 1 y z x y z 3
IA2 ID 2
2
2
2
2
2
2
x 1 y z x 1 y 2 z 3
1
x 2
2 x 4 y 3 0
1 3
2 x 6 z 8 0 y 1 I ;1;
2 2
4 y 6 z 13 0
3
z
2
2
2
7
1
3
R IA 12
2
2
2
Bán kính hình cầu là:
Chọn D.
Câu 19 (VD) - Cực trị của hàm số
Phương pháp
- Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A B.
- Trung điểm I của đoạn AB thuộc đường thẳng x + 3 y + 1 = 0
Cách giải:
5
x 1 y m
2
y ' x 2 x 3 0
3
x 3 y 9 m
Ta có:
5
A 1; m , B 3; 9 m
3
Tọa độ hai điểm cực trị là
11
I 1; m
3
Trung điểm của đoạn AB là
I d : x 3 y 1 0
Từ yêu cầu đề bài suy ra :
1 11 3m 1 0 m 3
Chọn A.
Câu 20 (VD) - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
- Vẽ đồ thị hàm số
y x2 2 x 3
- Số nghiệm của phương trình
Cách giải:
f x g x
là số giao điểm của hai đồ thị hàm số
www.thuvienhoclieu.com
y f x
và
y g x
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
Vẽ đồ thị hàm số
y x2 2x 3
2
I 1; 4
0; 3 , 1;0 , 3;0
+ Vẽ đồ thị hàm số y x 2 x 3 là parabol có đỉnh
và đi qua
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox , rồi bỏ đi
y x2 2x 3
phần đồ thị phía dưới Ox ta được đồ thị hàm số
Từ đồ thị hàm số ta có đường thẳng y 2m 1 cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi :
0 2m 1 4
1
5
m
2
2
Chọn D.
Câu 21 (TH) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
1
V h.S
3
Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là
Cách giải:
Kẻ SH ⊥ AB trong ( SAB ).
Ta có :
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH AB
2
2
Lại có AB 2 AS AS a SB AB SA a 3
www.thuvienhoclieu.com
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
SA.SB a.a 3 a 3
SA.SB SH . AB SH
AB
2a
2
Xét tam giác vuông SAB ta có
1
1a 3
2a 3 3
2
V SH .S ABCD
.4a
3
3 2
3
Thể tích khối chóp
Chọn D
Câu 22 (VD) - Ứng dụng của tích phân trong hình học
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = g ( x ) , đồ thị hàm số
y f x vàx a; x b
b
S f x g x dx
a
Cách giải:
x 2 ktm
x x 6 x 0 x 2 x 6 0
x 3 tm
Xét phương trình
Phương trình
x 6 0 x 6
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các đồ thị hàm số y = x và y x 6 là :
0
3
S x 6dx x 6 x dx
6
0
Chọn A
Câu 23 (VD) - Quy tắc đếm (Toán 11)
Phương pháp:
Sử dụng hai qui tắc đếm cơ bản
Cách giải:
Gọi số cần tìm là abcd (a 0, 0 a, b, c, d 9, a, b, c, d N )
Theo bài ra ta có abcd 2020
+) TH1 : a = 1
b có 9 cách chọn
c có 8 cách chọn
d có 7 cách chọn
Nên có 9.8.7 = 504 số
+)TH2 : a = 2 suy ra b = 0 , c = 1 và d có 7 cách chọn
Nên có 7 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả 504 + 7 = 511 số.
Chọn D.
Câu 24 (TH) - Hàm số Lôgarit
Phương pháp:
0 f x 1
y log f x g x
g x 0
Hàm số
xác định khi
Cách giải:
0 x 1
1
0 x 1
x2
1
2
2
5 x 2 x 2 0
2 x 2 x 1
ĐK :
www.thuvienhoclieu.com
Trang 16
là
www.thuvienhoclieu.com
1
D ;1 1; 2
2
TXĐ :
Chọn A
Câu 25 (TH) - Cấp số cộng (Toán 11)
Phương pháp:
Cấp số cộng có số hạng đầu u 1và công sai d thì có tổng n số hạng đầu là :
Số hạng thứ
Cách giải:
S n u1n
n n 1 d
2
n.un u1 n 1 d
27
u1
u2 4
u d 4
7
1
u1 8d 5 d 1
u9 5
7
Ta có
1
10 10 1 .
27
7 45
S10 .10
7
2
Khi đó :
Chọn B
Câu 26 (VD) - Bài toán quỹ tích số phức
Phương pháp:
Gọi z x yi ( x; y R ) . Khi đó
Cách giải:
Gọi z x yi ( x; y R )
z x yi; z x 2 y 2
Ta có:
2 z i 2 z 1 i
2 x yi i 2 x yi 1 i
2 x 2 y 1 i 2 x 1 1 y i
2
2
4 x 2 2 y 1 4 x 1 4 1 y
2
4 y 1 8 x 4 8 y 4
8 x 4 y 7 0
Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng: 8 x - 4 y + 7 = 0
Chọn C
Câu 27 (TH) - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
P
np
ud
Cho đường thẳng d có 1 VTCP là
và mặt phẳng
có VTPT là
Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
Cách giải:
u 1; 2; 1
Đường thẳng ∆ có 1 VTCP là
n 2; 1;3
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
P
ud , n p
sin cos ud , n p
ud . n p
là α thỏa mãn:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 17
www.thuvienhoclieu.com
P là α
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng
u.n
2 2 3
3
sin cos u, n
2
2
84
u.n
12 22 1 22 1 32
Khi đó:
Chọn B
Câu 28 (VD) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Mặt phẳng ( )P đi qua M song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )Q thì có 1 VTPT là
n ud ; nQ
Từ đó viết phương trình mặt phẳng
Cách giải:
P
u 2;3; 1
Ta có: 1 VTCP của đường thẳng d là:
P
nP 1; 0; 2
1 VTPT của mặt phẳng
là
n u, n p do n u , n n p
Mặt phẳng cần tìm có 1 VTPT là
n 6;3; 3
Nên
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
Chọn C
6 x 1 3 y 2 3 z 0 2 x y z 4 0
Câu 29 (TH) - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
ab 0
3
4
2
b 8a
y
ax
bx
c
Hàm trùng phương
có ba cực trị tạo thành 1 tam giác vuông khi:
Cách giải:
y x 4 2 m 1 x 2 m
Đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông khi:
2 m 1 0
m 1
m 2
3
m 1 1
2 m 1 8
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
Câu 30 (VD) - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Từ đó tìm được hoành độ giao điểm, suy ra tọa độ A, B
- Từ đó tính
Cách giải:
AB
xB
x A yB y A
2
3 x
x 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 x
ĐK: x ≠ 3
www.thuvienhoclieu.com
Trang 18
www.thuvienhoclieu.com
3 x x 1 3 x
x 3 x 2 2 x 3
x 2 x 0
x 0
tm
x 1
Với
x 0 y 1 A 0;1
Với
x 1 y 2 B 1; 2
2
2
Khi đó AB 1 1 2
Chọn A.
Câu 31 (VD) - Khoảng cách (lớp 11)
Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng
vuông góc với giao tuyến.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách giải:
Gọi ,H K lần lượt là trung điểm của BC và B ' C '.
BC AH
BC AHKA '
BC A ' H
Khi đó ta có: BC HK
BCC ' B ' ABC BC
BCC ' B ' HK BC
ABC AH BC
Ta có:
BCC ' B '; ABC AH ; HK .
0
0
Mà AHK AHA ' 90 nên AHK 120 .
A ' AH 600 (hai góc trong cùng phía bù nhau).
BC AHKA ' BC HI .
Trong ( AHKA )' kẻ HI AA '( I AA ') ta có:
⇒ HI là đoạn vuông góc chung của AA ' và BC .
Suy ra ( AA '; BC ) = HI .
Tam giác ABC đều cạnh a nên
AH
a 3
.
2
www.thuvienhoclieu.com
Trang 19
www.thuvienhoclieu.com
a 3 3 3a
HI AH .sin 600
.
2
2
4
Xét tam giác vuông AHI có:
.
3a
d AA '; BC
4
Vậy
Chọn C.
Câu 32 (VD) – Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để làm bài.
Cách giải:
Ta có:
Đặt
I 1 x e 2 x dx
du dx
1 2x
v 2 e
u 1 x
2x
dv e dx
1 x e2 x
I
2
1 x e2 x 1 2 x
3 2 x e2 x
1 2x
2e dx 2 4 e C 4 C
Chọn B.
Câu 33 (VD) - Phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp:
b
z1 z2 a
z z c
1 2
a
Áp dụng định lý Vi-et:
Cho số phức z a bi (a, b ) z a bi
z x yi : z x 2 y 2
Modun của số phức
Cách giải:
2
z ,z
Ta có: 1 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 z 3 0
z1 z2 2
z z 3
⇒ Áp dụng định lý Vi-et ta có: 1 2
z 2 z1 2 z2 z1 z2i 2 z1 z2 z1 z2i
2.2 3i 4 3i
z 4 3i
2
z 42 3 5
Chọn D.
Câu 34 (VD) - Bài toán quỹ tích số phức
Phương pháp:
Cho số phức
Cách giải:
z x yi ( x, y ) M x, y
là điểm biểu diễn số phức .z
Gọi số phức z x yi ( x, y ) .
z
x yi
x yi
z 1 x yi 1 x 1 yi
www.thuvienhoclieu.com
Trang 20
- Xem thêm -
.DOCX 
236 
1 
63 
