ĐỀ 6
Câu 1.
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bạn A, B, C vào 5 chiếc ghế
đó sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là
A. C 53 .
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
D. 15.
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 2 và công sai d 3. Giá trị của u5 bằng
A. 14 .
B. 5 .
C. 11 .
D. 15 .
Phương trình 43 x 2 16 có nghiệm là
3
4
A. x .
B. x 5 .
C. x .
D. x 3 .
4
3
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA ( ABCD) có thể tích bằng
1
1
1
1
A. SA. AB. AD .
B. SA. AC .BD .
C. SA. AB. AD .
D. SA. AC .BD .
3
3
6
6
Hàm số y log 2 2 x 3 có tập xác định là
A. D
Câu 6.
C. A53 .
B. 6.
3
B. D ; .
2
.
C. D
3
\ .
2
3
D. D ; .
2
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x cos x .
1
1
A. cos 2 x C.
B. sin x C .
C. sin x C .
D. cos 2 x C .
2
2
Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3a, 4a và chiều
cao khối lăng trụ là 6a . Thể tích của khối lăng trụ bằng
A. V 27a 3 .
B. V 12a 3 .
C. V 72a 3 .
D. V 36a 3 .
Câu 8. Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là
8 .
A. h 2 .
B. 2 2 .
C. 3 32 .
D. 3 4 .
Câu 9. Thể tích khối cầu có bán kính 6cm bằng
A. 216 .
B. 288 .
C. 432 .
D. 864 .
Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
x
y
y
2
0
2
0
0
2
Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng
A. 2;0 .
B. 2; .
C. 2; 2 .
D. ; 2 .
Câu 11. Với a; b là hai số dương tùy ý thì log a3b2 có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
1
1
A. 3 log a log b . B. 2 log a 3log b .
C. 3log a log b .
D. 3log a 2 log b .
2
2
Câu 12. Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 10 và diện tích xung quanh bằng 60 . Thể tích của
khối nón đã cho bằng
A. 360 .
B. 288 .
C. 120 .
D. 96 .
Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị cực đại của hàm số.
Trang 1
y
4
2
2 O
2
x
2
A. yCD 0 .
C. yCD 4 .
B. yCD 2 .
D. yCD 2 .
Câu 14. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
A. y x 4 2 x 2 3 .
B. y x 4 2 x 2 3 .
C. y x 4 2 x 2 3 .
D. y x 4 2 x 2 3 .
Câu 15. Cho hàm số y f ( x) xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
Câu 16. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 x 1 log 1 2 x 1 .
2
A. S 2; .
B. S 1; 2 .
D. 4 .
2
C. S ; 2 .
1
D. S ; 2 .
2
Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là
A. 2 .
B. 4 .
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên
và có
0
9
A. I .
4
D. 1 .
C. 3 .
2
B. I 36 .
4
4
2
0
f x dx 9; f x dx 4 . Tính I f x dx ?
C. I 13 .
D. I 5 .
Trang 2
Câu 19. Cho số phức z 1 2i . Tìm phần ảo của số phức z .
A. 2.
B. 2 .
C. 1 .
D. 1.
Câu 20. Cho số phức z 1 2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w 2 z z .
A. 3.
B. 5.
C. 1.
D. 2.
Câu 21. Cho số phức z 1 2i . Số phức z được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa
độ?
A. Q 1; 2 .
B. P 1; 2 .
C. N 1; 2 .
D. M 1; 2 .
Câu 22. Trong không gian Oxyz cho điểm A 2;1;3 . Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa
độ là:
A. 0;1;0 .
B. 2;0;0 .
C. 0;0;3 .
D. 0;1;3 .
Câu 23. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 3 có bán kính bằng
2
A.
3.
B. 2 3 .
2
2
C. 9.
D. 3.
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x z 1 0 .Tọa độ một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng P là
A. n 2;0;1 .
B. n 2;0; 1 .
C. n 2; 1;1 .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
D. n 2; 1;0 .
x 3 y 2 z 1
2
1
4
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d .
A. M 1; 1; 5 .
B. M 1; 1;3 .
C. M 3; 2; 1 .
D. M 5; 3;3 .
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB a , cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Tính cosin của góc là góc giữa mặt phẳng
ABC và mặt phẳng SBC .
A. cos
2
.
3
B. cos
1
.
3
C. cos
1
.
5
D. cos
1
.
5
Câu 27. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ( x) x( x 1)2 (2 x 3) . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1 .
Câu 28. Cho hàm số f x liên tục trên 1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên.
ọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên 1;3 . Tính M m .
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 1 .
Câu 29. Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và log a c x, log b c y . Khi đó giá trị của
log c ab là
A. x y .
B.
xy
.
x y
C.
1 1
.
x y
D.
1
.
xy
Câu 30. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 5 x 2 4 với trục hoành là:
Trang 3
A. 1.
B. 2.
2 x 1
Câu 31. Bất phương trình 3
x 1
A.
.
x log 2 3
C. 3.
D. 4.
7.3 2 0 có nghiệm là
x 2
B.
.
C.
x log 2 3
x
x 1
x 2
D.
.
x log 2 .
3
x log 3 2
Câu 32. Trong không gian, cho tam giác đều ABC cạnh bằng a . Tính thể tích khối nón nhận được khi
quay tam giác ABC quanh một đường cao của nó.
a3 3
a3 3
a3
3 a 3
A. V
.
B. V
.
C. V
.
D. V
.
24
72
4
4
2
Câu 33. Cho I 2 x x 2 1dx và u x 2 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
1
3
A. I u du .
B. I
0
2
27 .
3
2
C. I u du .
1
2 3
D. I 32 .
3
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 , trục hoành và hai đường thẳng
x 1, x 2 là
2
A. S x dx
3
1
2
B. S x dx
3
1
2
C. S
x
2
3
dx
D. S
1
x dx
3
1
Câu 35. Cho hai số phức z1 1 i và z2 1 i . Giá trị của biểu thức z1 iz2 bằng
A. 2 2i .
B. 2i .
C. 2 .
D. 2 2i .
2
Câu 36. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6 z 34 0 . Tính z0 2 i ?
A. 17 .
B. 17 .
C. 2 17 .
D.
37 .
Câu 37. Trong không gian Oxyz mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng
x 1 y 1 z
có phương trình là:
2
1
2
A. 2 x y 2 z 0 .
B. 2 x y 2 z 0 .
d:
C. 2 x y 2 z 3 0 . D. 2 x y 2 z 1 0 .
Câu 38. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 3;1; 2 , B 1; 1;0 là
x 1 y 1 z
x 3 y 1 z 2
.
B.
.
2
1 1
2
1
1
x 3 y 1 z 2
x 1 y 1 z
C.
. D.
.
2
1
1
2
1 1
Câu 39. Có 8 học sinh nam, 5 học sinh nữ và 1 thầy giáo được sắp xếp ngẫu nhiên đứng thành một vòng
tròn. Tính xác suất để thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam.
7
14
28
7
A. P .
B. P .
C. P .
D. P .
39
39
39
13
Câu 40. Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC
và CD .
a 3
a 2
A. a 2 .
B. 2a .
C.
.
D.
.
3
3
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 2018 ; 2019 để hàm số
A.
y x3 2 x 2 2m 5 x 5 đồng biến trên khoảng 0 ; + ?
A. 2020 .
B. 2022 .
C. 2021 .
D. 2019 .
Câu 42. Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt
hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ
tăng không đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư
hồ?
A. 10 log 4 .
B. 10 log 4 .
C. 1 10 log 4 .
D. 10 10 log 4 .
Trang 4
Câu 43. Cho hàm số y a 1 x 4 b 2 x 2 c 1 có đồ thị như hình vẽ bên
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a 1 , b 2 , c 1 . B. a 1 , b 2 , c 1 .
C. a 1 , b 2 , c 1 . D. a 1 , b 2 , c 1 .
Câu 44. Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Trên đường tròn O lấy hai
điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng R 2 2 . Thể tích
hình nón đã cho bằng
R 3 14
R 3 14
R 3 14
R 3 14
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
2
6
3
8
a c
1 a c
dx ln với a, b, c, d là các số nguyên dương và , tối giản.
b d
2 b d
3 x x x 1
Giá trị của abc d bằng
A. 6 .
B. 18 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 46. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
Câu 45. Cho I
1
để phương trình f f x m 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 47. Cho hai số thực a , b thỏa mãn a b 1 và log a2 b2 a b 1 . iá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
P 2a 4b 3 là
A. 10 .
B.
10
.
2
C. 2 10 .
D.
1
.
10
Câu 48. Cho hàm số f x x 4 4 x3 4 x 2 a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3; 2 sao cho
M 2m?
A. 7 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA BC 3 ; SB AC 4 ; SC AB 2 5 . Tính thể tích
khối chóp S.ABC .
390
390
390
390
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
4
6
8
Trang 5
Câu 50. Cho 0 x 2021 và log2 (2 x 2) x 3 y 8 y .Có bao nhiêu cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn
các điều kiện trên ?
A. 2021.
B. 2022.
C. 1.
D. 4.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bạn A, B, C vào 5 chiếc ghế
đó sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là
A. C 53 .
B. 6.
C. A53 .
D. 15.
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Mỗi cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán chính là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
nên số cách xếp là A53 .
Cách 2: Có 5 cách xếp bạn A, với mỗi cách xếp bạn A thì có 4 cách xếp bạn B, với mỗi cách
xếp bạn A và B thì có 3 cách xếp bạn
C. Vậy theo qui tắc nhân có 5.4.3 60 .
Câu 2.
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 2 và công sai d 3. Giá trị của u5 bằng
A. 14 .
B. 5 .
C. 11 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn A
Cấp số số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d có công thức số hạng tổng quát là:
un u1 n 1 d . Suy ra u5 u1 4d 2 4.3 14 .
Vậy số giá trị của u5 bằng 14.
Câu 3.
Phương trình 43 x 2 16 có nghiệm là
3
A. x .
B. x 5 .
4
C. x
4
.
3
D. x 3 .
Lời giải
Chọn C
4
.
3
4
Vậy phương trình có nghiệm là: x .
3
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA ( ABCD) có thể tích bằng
1
1
1
1
A. SA. AB. AD .
B. SA. AC .BD .
C. SA. AB. AD .
D. SA. AC .BD .
3
3
6
6
Lời giải
Chọn D
Ta có hình vẽ
Ta có: 43 x 2 16 3x 2 2 x
Câu 4.
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và nhận SA làm đường cao.
1
Diện tích hình thoi ABCD là S AC.BD .
2
Trang 6
1
SA. AC .BD .
6
Hàm số y log 2 2 x 3 có tập xác định là
Thể tích khối chóp là V
Câu 5.
A. D
.
3
B. D ; .
2
3
\ .
2
C. D
3
D. D ; .
2
Lời giải
Chọn D
Hàm số y log 2 2 x 3 xác định 2 x 3 0 x
3
.
2
3
Vậy tập xác định của hàm số là: D ; .
2
Câu 6.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x cos x .
1
A. cos 2 x C.
2
B. sin x C .
C. sin x C .
1
D. cos 2 x C .
2
Lời giải
Chọn B
Ta có: f x dx cos xdx sin x C.
Câu 7.
Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3a, 4a và chiều
cao khối lăng trụ là 6a . Thể tích của khối lăng trụ bằng
A. V 27a 3 .
B. V 12a 3 .
C. V 72a 3 .
D. V 36a 3 .
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lăng trụ V h.B .
Trong đó h 6a .
1
Diện tích đáy B .3a.4a 6a 2 .
2
Vậy V 6a.6a 2 36a 3
Câu 8.
Câu 9.
Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là
8 .
A. h 2 .
B. 2 2 .
C. 3 32 .
D. 3 4 .
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ là V r 2 h h3 8 h3 8 h 2 .
Thể tích khối cầu có bán kính 6cm bằng
A. 216 .
B. 288 .
C. 432 .
D. 864 .
Lời giải
Chọn B
4
4
Ta có thể tích khối cầu : V R 3 63 288
3
3
cm .
3
Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
x
2
0
Trang 7
y
y
0
/
0
2
2
Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng
A. 2;0 .
B. 2; .
C. 2; 2 .
D. ; 2 .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 2;0 .
Câu 11. Với a; b là hai số dương tùy ý thì log a3b2 có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
1
A. 3 log a log b .
2
1
C. 3log a log b .
2
B. 2 log a 3log b .
D. 3log a 2 log b .
Lời giải
Chọn D
Với a; b là hai số dương tùy ý, ta có : log a3b2 log a3 log b2 3log a 2log b .
Câu 12. Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 10 và diện tích xung quanh bằng 60 . Thể tích của
khối nón đã cho bằng
A. 360 .
B. 288 .
C. 120 .
D. 96 .
Lời giải
Chọn D
/
Ta có: l 10
Sxq 60 rl 60 10 r 60 r 6 .
h l 2 r 2 102 62 64 8 ..
1
1
Do đó thể tích khối nón đã cho là: V r 2 h .62.8 96 .
3
3
Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị cực đại của hàm số.
y
4
2
2 O
2
x
2
A. yCD 0 .
C. yCD 4 .
B. yCD 2 .
D. yCD 2 .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy giá trị cực đại của hàm số là yCD 4 tại x 2 .
Câu 14. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
/
A. y x 4 2 x 2 3 .
B. y x 4 2 x 2 3 .
C. y x 4 2 x 2 3 .
D. y x 4 2 x 2 3 .
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra hệ số a 0 .
Mặt khác hàm số có 3 điểm cực trị suy ra các hệ số a, b trái dấu.
Trang 8
Câu 15. Cho hàm số y f ( x) xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
/
B. 2 .
A. 1 .
D. 4 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy:
lim f ( x) 5 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang: y 5 .
x
lim f ( x) 3 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang: y 3 .
x
lim f ( x)
x 1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng: x 1 .
f ( x)
xlim
1
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 16. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 x 1 log 1 2 x 1 .
2
A. S 2; .
B. S 1; 2 .
2
C. S ; 2 .
1
D. S ; 2 .
2
Lời giải
Chọn D
1
x 1 2x 1
x 2.
Ta có log 1 x 1 log 1 2 x 1
2
2 x 1 0
2
2
Câu 17. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
/
Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là
A. 2 .
B. 4 .
D. 1 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn A
3
.
2
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với đường
Phương trình 2 f x 3 0 f x
3
.
2
Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm thực của phương trình 2 f x 3 0 là 2 .
thẳng y
Câu 18. Cho hàm số f x liên tục trên
2
và có
0
9
A. I .
4
B. I 36 .
4
4
2
0
f x dx 9; f x dx 4 . Tính I f x dx ?
C. I 13 .
D. I 5 .
Lời giải
Chọn C
Ta có
4
2
4
0
0
2
f x dx f x dx f x dx 9 4 13 .
Trang 9
Câu 19. Cho số phức z 1 2i . Tìm phần ảo của số phức z .
A. 2.
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
D. 1.
Chọn A
Ta có z 1 2i z 1 2i .
Vậy z có phần ảo b 2 .
Câu 20. Cho số phức z 1 2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w 2 z z .
A. 3.
B. 5.
C. 1.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có z 1 2i z 1 2i , khi đó w 2 z z 2 1 2i 1 2i 3 2i .
Phần thực của số phức w là 3, phần ảo của số phức w là 2.
Tổng phần thực và phần ảo là: 3 2 5 .
Câu 21. Cho số phức z 1 2i . Số phức z được biểu diễn bởi điểm nào dưới đây trên mặt phẳng tọa
độ?
A. Q 1; 2 .
B. P 1; 2 .
C. N 1; 2 .
D. M 1; 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có z 1 2i z 1 2i .
Vậy số phức z được biểu diễn bởi điểm Q 1; 2 .
Câu 22. Trong không gian Oxyz cho điểm A 2;1;3 . Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa
độ là:
A. 0;1;0 .
B. 2;0;0 .
C. 0;0;3 .
D. 0;1;3 .
Lờigiải
Chọn B
Chiếu vuông góc một điểm bất kỳ lên trục Ox khi đó giữ nguyên hoành độ còn tung độ và cao
độ bằng 0 .
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là: 2;0;0 .
Câu 23. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 3 có bán kính bằng
2
A.
3.
B. 2 3 .
2
2
C. 9.
Lời giải
D. 3.
Chọn A
Từ phương trình mặt cầu S : x 5 y 1 z 2 3.
2
2
2
Suy ra, bán kính của mặt cầu đó là R 3 .
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x z 1 0 .Tọa độ một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng P là
A. n 2;0;1 .
B. n 2;0; 1 .
C. n 2; 1;1 .
D. n 2; 1;0 .
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n 2;0 ; 1 .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
x 3 y 2 z 1
2
1
4
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d .
A. M 1; 1; 5 .
B. M 1; 1;3 .
C. M 3; 2; 1 .
D. M 5; 3;3 .
Trang 10
Lời giải
Chọn B
1 3 1 2 5 1
1 . Suy ra M thuộc đường thẳng d .
2
1
4
1 3 1 2 3 1
Thử đáp án B ta được:
. Suy ra M không thuộc đường thẳng d .
2
1
4
3 3 2 2 1 1
0 . Suy ra M thuộc đường thẳng d .
Thử đáp án C ta được:
2
1
4
5 3 3 2 3 1
1 . Suy ra M thuộc đường thẳng d .
Thử đáp án D ta được:
2
1
4
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB a , cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Tính cosin của góc là góc giữa mặt phẳng
ABC và mặt phẳng SBC .
Thử đáp án A ta được:
A. cos
2
.
3
B. cos
1
.
3
C. cos
1
.
5
D. cos
1
.
5
Lời giải
Chọn C
/
BC AB
BC SAB BC SB .
Vì
BC SA
Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng ABC và mặt phẳng SBC là góc SBA .
1
.
5
SA AB
Câu 27. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f ( x) x( x 1)2 (2 x 3) . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm
cực trị?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy: f ( x ) liên tục trên .
Xét tam giác vuông SBA có cos
AB
SB
AB
2
2
x 0
3
f ( x) 0 x 1 . Trong đó có 2 nghiệm đơn là x 0 và x và một nghiệm bội 2 là
2
3
x
2
x 1.
Lập bảng xét dấu f ( x )
/
f x đổi dấu 2 lần nên hàm số f x có hai điểm cực trị.
Câu 28. Cho hàm số f x liên tục trên 1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên.
ọi M , m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên 1;3 . Tính M m .
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 1 .
/
Lời giải
Chọn C
uan sát đồ thị ta thấy hàm số y f x đạt giá trị nhỏ nhất trên 1;3 là 1 tại điểm x 1
và đạt giá trị lớn nhất trên 1;3 là 4 tại điểm x 3 . Do đó M 4, m 1 .
Trang 11
iá trị M m 4 1 5 .
Câu 29. Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và log a c x, log b c y . Khi đó giá trị của
log c ab là
A. x y .
B.
xy
.
x y
C.
1 1
.
x y
D.
1
.
xy
Lời giải
Chọn C
Ta có: log c ab log c a log c b
1
1
1 1
c .
log a c log b
x y
Câu 30. Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 5 x 2 4 với trục hoành là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox là:
x2 1
x 1
4
2
x 5x 4 0 2
.
x 2
x 4
D. 4.
Vậy số điểm chung của đồ thị hàm số y x 4 5 x 2 4 với trục hoành là 4.
Câu 31. Bất phương trình 32 x 1 7.3x 2 0 có nghiệm là
x 1
x 2
A.
.
B.
.
C.
x log 2 3
x log 2 3
x 1
x log 2 .
3
x 2
D.
.
x log 3 2
Lời giải
Chọn C
1
x 1
3
x log3
x 1
Ta có 3 7.3 2 0 3.3 7.3 2 0
.
3
3
x
x log 3 2
x log3 2
3 2
Câu 32. Trong không gian, cho tam giác đều ABC cạnh bằng a . Tính thể tích khối nón nhận được khi
quay tam giác ABC quanh một đường cao của nó.
a3 3
a3 3
a3
3 a 3
A. V
.
B. V
.
C. V
.
D. V
.
24
72
4
4
Lời giải
Chọn A
/
1
Ta có thể tích khối nón V r 2 h .
3
a 3
a
Trong đó h AH
; r HB .
2
2
2 x 1
x
2x
x
1 a a 3
3 a3
Do đó: V
.
3 2 2
24
2
2
Câu 33. Cho I 2 x x 2 1dx và u x 2 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
1
3
A. I u du .
0
B. I
2
27 .
3
2
C. I u du .
1
2 32
D. I 3 .
3
Lời giải
Chọn C
Đặt u x 2 1 du 2 xdx
Đổi cận: Với x 1 thì u 0 ; với x 2 thì u 3 .
Trang 12
2
3
2
2 33 2 3 2
27 do đó mệnh đề I u du sai.
Khi đó I 2 x x 1dx u du u 2 32
3 0 3
3
1
1
0
2
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 , trục hoành và hai đường thẳng
x 1, x 2 là
2
A. S x 3 dx
1
2
2
B. S x 3dx
C. S
1
2
x 3 dx
D. S
1
x dx
3
1
Lời giải
Chọn C
2
Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta có S
x
3
dx
1
Câu 35. Cho hai số phức z1 1 i và z2 1 i . Giá trị của biểu thức z1 iz2 bằng
A. 2 2i .
B. 2i .
C. 2 .
D. 2 2i .
Lời giải
Chọn C
Ta có z1 1 i z1 1 i ; z2 1 i iz2 1 i .
Suy ra z1 iz2 2 .
Câu 36. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 6 z 34 0 . Tính z0 2 i ?
A. 17 .
C. 2 17 .
Lời giải
B. 17 .
D.
37 .
Chọn A
z 3 5i
z 2 6 z 34 0
z 3 5i
Do đó z0 3 5i z0 2 i 1 4i 17 .
Câu 37. Trong không gian Oxyz mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng
x 1 y 1 z
có phương trình là:
2
1
2
A. 2 x y 2 z 0 .
B. 2 x y 2 z 0 .
d:
C. 2 x y 2 z 3 0 . D. 2 x y 2 z 1 0 .
Lời giải
Chọn A
x 1 y 1 z
d:
2
1 2
Vì P d nên chọn nP 2; 1; 2
P
qua gốc tọa độ nên P : 2 x y 2 z 0
Câu 38. Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 3;1; 2 , B 1; 1;0 là
x 1 y 1 z
x3
.
B.
2
1 1
2
x 3 y 1 z 2
x 1
C.
. D.
2
1
1
2
A.
y 1 z 2
.
1
1
y 1 z
.
1 1
Lời giải
Chọn D
Ta có: AB 4; 2; 2 nên phương trình đường thẳng AB nhận vecto n
1
AB 2; 1; 1
2
làm vecto chỉ phương.
Trang 13
x 1 y 1 z
.
2
1 1
Câu 39. Có 8 học sinh nam, 5 học sinh nữ và 1 thầy giáo được sắp xếp ngẫu nhiên đứng thành một vòng
tròn. Tính xác suất để thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam.
7
14
28
7
A. P .
B. P .
C. P .
D. P .
39
39
39
13
Lời giải
Chọn B
Số phần tử của không gian mẫu là: 13!.
Gọi A là biến cố: “Thầy giáo đứng giữa 2 học sinh nam”
Bước 1: Xếp hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo có A82 .
Coi hai học sinh nam đứng cạnh thầy giáo và thầy giáo là một người.
Bước 2: Xếp 12 người quanh một bàn tròn có 11! cách.
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: A82 .11!.
Vì B AB nên ta suy ra phương trình đường thẳng AB là:
A82 .11! 14
.
13!
39
Câu 40. Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC
và CD .
a 3
a 2
A. a 2 .
B. 2a .
C.
.
D.
.
3
3
Lời giải
Chọn C
/
ABCD.ABCD là hình lập phương BC // AD BC // ACD ; CD ACD
Vậy P A
d BC ; CD d BC ; ACD d B ; ACD d D ; ACD h .
.
Tứ diện D.ACD có DA, DC , DD đôi một vuông góc.
1
1
1
1
3
a 3
2 h
.
2
2
2
2
h
DA DC
DD
a
3
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc
đoạn
2018 ; 2019
để
hàm
số
y x 2 x 2m 5 x 5 đồng biến trên khoảng 0 ; + ?
3
2
A. 2020 .
B. 2022 .
C. 2021 .
Lời giải
D. 2019 .
Chọn A
Ta có y 3x 2 4 x 2m 5
Hàm số đồng biến trên khoảng 0;+ y 0, x 0;+
3x 2 4 x 2m 5 0 ,x 0;+ 3x 2 4 x 2m 5 ,x 0;+
Xét hàm số f x 3x 2 4 x trên 0;+ , ta có f x 6 x 4 0 x
2
3
Ta có bảng biến thiên
/
4
11
m .
3
6
Do m nguyên và m 2018 ; 2019 m 2018; 2017; 2016,...., 0,1 .
Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn đề bài.
Câu 42. Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt
hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ
tăng không đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư
hồ?
Từ bảng trên suy ra 3x 2 4 x 2m 5 ,x 0;+ 2m 5
Trang 14
A. 10 log 4 .
C. 1 10 log 4 .
B. 10 log 4 .
D. 10 10 log 4 .
Lời giải
Chọn A
Gọi S 0 là số lượng lá bèo ban đầu được thả xuống hồ.
Sau 1 giờ thì số lượng lá bèo có trong hồ là S1 10S0 ;
Sau 2 giờ thì số lượng lá bèo có trong hồ là S2 102 S0 ;
……….
Sau n giờ thì số lượng lá bèo có trong hồ là Sn 10n S0 .
Sau 10 giờ số lượng lá bèo phủ kín mặt hồ nên ta có S10 1010 S0 .
Giả sử sau k giờ ( 0 k 10 ) thì số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ
1010
1
1
1010
Khi đó: Sk S10 10k S0 .1010 S0 10k
k log
10 log 4 .
4
4
4
4
Câu 43. Cho hàm số y a 1 x 4 b 2 x 2 c 1 có đồ thị như hình vẽ bên
/
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a 1 , b 2 , c 1 . B. a 1 , b 2 , c 1 .
C. a 1 , b 2 , c 1 . D. a 1 , b 2 , c 1 .
Lời giải
Chọn B
Đồ thị đi lên khi x nên a 1 0 a 1.
Đồ thị đi qua điểm 0; c 1 có tung độ nằm phía trên trục hoành nên c 1 0 c 1 .
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên a 1 . b 2 0 mà a 1 nên b 2 0 b 2 .
Câu 44. Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Trên đường tròn O lấy hai
điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng R 2 2 . Thể tích
hình nón đã cho bằng
R 3 14
R 3 14
R 3 14
R 3 14
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
2
6
3
Lời giải
Chọn C
/
Gọi H là trung điểm của đoạn AB.
Nhận thấy:
+) Tam giác OAB vuông cân tại O .
+) OH AB , SH AB nên góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) , (OAB ) bằng SHO .
1
1
Ta có: SOAB SSAB .cos R 2 R 2 2.cos cos
.
2
2 2
R 2
R 2
1
OH
1
SH
.2 2 2 R.
2
Mà cos
2
SH
SH 2 2
2 2
2
R 2
R 14
SO SH OH 4 R
2
2
2
2
2
1
1
R 14 R 3 14
.
Vậy thể tích của khối nón bằng V R 2 .SO R 2 .
3
3
2
6
8
a c
1
1 a c
dx ln với a, b, c, d là các số nguyên dương và , tối giản.
Câu 45. Cho I
b d
2 b d
3 x x x 1
Giá trị của abc d bằng
Trang 15
A. 6 .
B. 18 .
C. 0 .
Lời giải
D. 3 .
Chọn A
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx .
Khi x 3 t 2 ; Khi x 8 t 3 .
Khi
đó
3
3
3
1
2t
2t
.2tdt 2
dt
dt
2
2
2 t 1 t 1 t
2 t 1 t 1
2 t 1 t 1
I
2
3
t 1 t 1
t 1 t 1 dt
d
t
2
2 t 1t 12 t 1t 12
2 t 1 t 1
3
3
1 t 1 t 1
1
1
1
dt .
dt
2
2
t
1
t
1
2
t
1
t
1
t
1
t
1
2
2
3
3
1 1
1
1
1
1
dt ln t 1 ln t 1
2
2
t
1
t
1
t 1 2
2
t
1
2
3
3
1 t 1
1
1 1 1 1 1 1
ln
ln ln
2 t 1 t 1 2 2 2 4 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 3 1
ln ln ln
a 3 , b 2 , c 1 , d 12 .
2 2 2 3 4 3 2 2 12
Vậy abc d 3.2.1 12 6 .
Câu 46. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để phương trình f f x m 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
/
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn A
Đặt f x t * . Khi đó:
/
Nhận xét: +) Với t 3 phương trình * có một nghiệm x 1 .
+) Với t 3 phương trình * có hai nghiệm x x1 và x x2 với x1 1; x2 1.
t m 0
t m
Ta có: f f x m 0
.
t m 2
t 2 m
Vì 2 m m, m nên f f x m 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
m 3
m 3
m 3.
2 m 3
m 5
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 47. Cho hai số thực a , b thỏa mãn a 2 b 2 1 và log a2 b2 a b 1 . iá trị lớn nhất của biểu thức
P 2a 4b 3 là
A. 10 .
B.
10
.
2
C. 2 10 .
D.
1
.
10
Lời giải
Trang 16
Chọn A
Do a 2 b 2 1 nên từ log a2 b2 a b 1 a b a 2 b2 1 .
a 2 b 2 1
2
2
Suy ra:
1
1
1
a b
2
2
2
Khi
đó:
1
1
P 2a 4b 3 2 a 4 b
2
2
2
1
1
1
4 2 . a b 20. 10
2
2
2
2
2
1
1
a 2 b 2
0
1
4
a
2
2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi a 1 b 1 1
b 1
2
2
2
2
a 2 b 2 1
1
1
a 2 10
Vậy Pmax 10 khi
.
b 1 2
2
10
2
1
10
2
10
Câu 48. Cho hàm số f x x 4 4 x3 4 x 2 a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0; 2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3; 2 sao cho
M 2m?
A. 7 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số f x x 4 4 x3 4 x 2 a trên đoạn 0; 2 , có:
f ' x 4 x3 12 x 2 8x .
x 0
f ' x 0 4 x 12 x 8 x 0 x 1 .
x 2
3
2
Vì f 0 a , f 1 1 4 4 a a 1 , f 2 24 4.23 4.22 a a
nên trên đoạn 0; 2 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4 4 x3 4 x 2 a lần
lượt là a 1, a .
Suy ra M max a ; a 1 ; m min a ; a 1 nếu a a 1 0 . m 0 nếu a a 1 0 .
0;2
0;2
1
TH1: a ; 2
2
1
a
M a 1 ; m a . Khi đó M 2 m a 1 2 a 3a 2a 1 0
3 , vì a
a 1
nên chọn a 1; 2
2
1
TH2: a 3;
2
Trang 17
2
a
M a ; m a 1 . Khi đó M 2 m a 2 a 1 3a 8a 4 0
3 , vì a
a 2
nên chọn a 3; 2
Vậy có 4 giá trị a thỏa yêu cầu.
Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA BC 3 ; SB AC 4 ; SC AB 2 5 . Tính thể tích
khối chóp S.ABC .
390
390
390
390
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
4
6
8
Lời giải.
2
Chọn B
/
/
+ Dựng hình chóp S.A ' B ' C ' sao cho A là trung điểm B ' C ' , B là trung điểm A ' C ' , C là
trung điểm A ' B ' .
+
Khi
SB AC BA ' BC ' 4
đó
SA ' SC ' 2.SB 64
2
2
2
nên
SA ' C ' vuông
tại
S
và
(1) .
SA '2 SB '2 80 (2)
+ Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông tại S và 2
.
2
SB ' SC ' 36 (3)
+ Từ 1 ; 2 ; 3 ta suy ra SC ' 10 ; SB ' 26 ; SA ' 54 .
1
390
1
1
+ Ta tính được VS . A ' B ' C ' SC '. .SA '.SB ' 390 và VS . ABC VS . A ' B ' C '
.
4
4
3
2
Câu 50. Cho 0 x 2021 và log2 (2 x 2) x 3 y 8 y .Có bao nhiêu cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa mãn
các điều kiện trên ?
A. 2021.
B. 2022.
C. 1.
D. 4.
Lời giải
Chọn D
Do 0 x 2021 nên log 2 (2 x 2) luôn có nghĩa.
Ta có log2 (2 x 2) x 3 y 8 y
log2 ( x 1) x 1 3 y 23 y
log2 ( x 1) 2log2 ( x1) 3 y 23 y (1)
Xét hàm số f (t ) t 2t .
Tập xác định D và f (t ) 1 2t ln 2 f (t ) 0 t .
Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên . Do đó (1) log 2 ( x 1) 3 y x 1 23 y
y log8 ( x 1) .
Ta có 0 x 2021 nên 1 x 1 2022 suy ra 0 log8 ( x 1) log8 2022 .
Lại có log8 2022 3, 66 nên nếu y thì y 0;1; 2;3 .
Vậy có 4 cặp số ( x ; y ) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0; 0) , (7 ;1) , (63; 2) , (511;3) .
-----------------HẾT-----------------
Trang 18
ĐỀ 7
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?
A. A62 .
B. 36.
C. C62 .
D. 2 6 .
Câu 2: Cho cấp số cộng un với u1 2 , công sai d 3 . Tính u5 .
A. 14.
B. 17.
C. 162.
D. 20.
Câu 3: Nghiệm của phương trình 23 x7 32 là
2
23
A. x .
B. x .
C. x 4.
D. x 4.
3
3
Câu 4: Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a 4, b 5, c 6
A. 15.
B. 40.
C. 120.
D. 60.
Câu 5: Tập xác định của hàm số y log 2 x 2 là
A. 2; .
B. 2; .
D. ; 2 .
C. ; 2 .
Câu 6: Với f (x ), g(x ) là hai hàm số liên tục trên khoảng K và k ¹ 0 thì mệnh đề nào sau đây là
sai?
A. ò f (x )g(x )dx = ò f (x )dx ò g(x )dx .
B. ò éêëf (x ) + g(x )ùúûdx = ò f (x )dx + ò g(x )dx .
C.
ò f ¢(x )dx =
D.
f (x ) + C .
ò kf (x )dx = k ò f (x )dx .
Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA 2a và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
a3
.
3
4 3
2
C. a 3 .
D. 2a 3 .
a .
3
3
Câu 8: Cho khối nón có chiều cao h 5 , bán kính đáy r 3 . Tính thể tích của khối nón đã cho.
45
25
A. 25 .
B.
C. 45 .
D.
.
.
3
3
A.
B.
Câu 9: Tính diện tính mặt cầu bán kính r 2a .
A. a2 .
B. 8 a 2 .
C. 4 a2 .
Câu 10: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau
x
0
2
f '( x )
+
0
0
0
Hàm số đã cho f ( x )
khoảng nào dưới
-4
A. ( ; 0).
(4; )
C.
D. 16 a 2 .
+
đồng biến trên
đây?
(2; 0) .
B.
D. (; 2) .
Câu 11: Với a, b là các số thực dương tùy ý, log2 a2 b3 bằng
A.
2 log2 a 3log2 b .
B.
1
1
log2 a log2 b .
2
3
C.
2 log2 a 3log 2 b .
D.
5 log2 a log2 b .
Câu 12: Tính diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l 5 bán kính đáy r 4 .
A. 40 .
B. 20 .
C. 48 .
D. 16 .
Câu 13: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau
Trang 19
x
f '( x )
2
0
16
+
0
0
-
+
2
0
16
f (x)
Giá trị
0
của hàm
cho bằng
A. 2.
B. 0.
C. 2 .
Câu 14: Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong ở hình dưới?
y
A. y x 4 2 x 2 1 .
B. y x 4 2 x 2 1
C. y x 4 x 2 1 .
-
D. 16.
D. y x 3 3x 2 1
O
B. y 1.
x
x 2021
.
x 1
Câu 15: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
A. x 1.
cực tiểu
số
đã
C. y 1 .
D. x 2021
Câu 16: Giải bất phương trình log3 2 x 5 2 .
A. x 7 .
B. x 7 .
5
x 7.
2
C.
D. x 7 .
Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình
f x 1 0 là:
A. 0 .
Câu 18: Nếu
B. 3 .
C. 2 .
3
3
2
1
2
1
D. 1 .
f ( x )dx 4 và f ( x)dx 3 thì f ( x )dx bằng
A. -7.
B. 7.
Câu 19: Môđun của số phức 6 5i bằng
C. -1.
D. -12.
A. 11.
B. 11 .
C. 61.
D. 61 .
2
Câu 20: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 3z 3 0 . Giá trị của biểu thức
z12 z22 bằng
A.
3
.
18
9
8
B. .
C. 3 .
9
4
D. .
Câu 21: Tìm số phức liên hợp z của số phức z (3 2i)(2 3i).
A. z 5i.
B. z 6 6i.
C. z 12 5i
D. z 6 6i.
Câu 22: Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (2; 2;1) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa
độ là
A. (0; 2;1) .
B. (2; 2;0) .
C. (2;0;0) .
D. (0; 2;0) .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x 2)2 ( y 1)2 (z 5)2 25 . Tìm tọa độ
tâm của mặt cầu ( S ) .
A. (2; 1;5) .
B. (2;1; 5) .
C. (2;1;5) .
D. (2; 1; 5) .
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
150 
1 
79 
