Mô tả:
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
2
Câu 1.
x2
I =ò
2
1 x - 7 x + 12
dx
2
2
æ
16
9 ö
· I = ò ç1 +
÷dx = ( x + 16 ln x - 4 - 9 ln x - 3 ) 1 = 1 + 25ln 2 - 16 ln 3 .
x -4 x -3ø
è
1
2
Câu 2.
dx
I =ò
x5 + x3
1
1
· Ta có:
=-
x 3 ( x 2 + 1)
1 1
x
+
+
x x3 x2 + 1
é
ù2
1
1
3
1
3
Þ I = ê - ln x + ln( x 2 + 1)ú = - ln 2 + ln 5 +
2
2
2
2
8
2x
ë
û1
5
Câu 3.
3x 2 + 1
I =ò
3
2
x - 2 x - 5x + 6
4
dx
2
3
· I = - ln
4 13 7 14
+ ln + ln 2
3 15 6 5
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 4.
I =ò
( x - 1)2
(2 x + 1)4
Câu 5.
dx
( 7 x - 1)99
1
I =ò
101
0 ( 2 x + 1)
1
æ 7x - 1 ö
· I = òç
÷
è 2x + 1 ø
0
99
1 æ x -1 ö
· Ta có: f ( x ) = . ç
÷
3 è 2x + 1 ø
0 (x
4
Câu 7.
5x
I =ò
I=
3
ò
1
Câu 8.
I=
3
ò
1
2
2
+ 4)
99
æ 7x - 1 ö
1 1 æ 7x - 1 ö
= òç
dç
÷
÷
( 2 x + 1)2 9 0 è 2 x + 1 ø è 2 x + 1 ø
dx
100
Câu 6.
3
æ x - 1 ö¢
1 æ x -1 ö
.ç
÷ ÞI = ç
÷ +C
9 è 2x + 1 ø
è 2x + 1 ø
dx
1 1 æ 7x - 1 ö
= ×
ç
÷
9 100 è 2 x + 1 ø
1
2
dx
1
dx
x ( x 4 + 1)
1 é 100 ù
1
=
ë2 - 1û
0 900
· Đặt t = x 2 + 4 Þ I =
· Đặt t = x 2 Þ I =
dx
x 6 (1 + x 2 )
Trang 1
1
2
3
1
8
æ1
t
ö
1
3
ò ç t - t 2 + 1 ÷dt = 4 ln 2
1
è
ø
Bài tập Tích phân
· Đặt : x =
Trần Sĩ Tùng
1
Þ I =t
3
3
ò
1
t6
dt =
t2 + 1
1
æ 4 2
117 - 41 3 p
1 ö
+
çt - t +1- 2
÷ dt =
135
12
t
+
1
è
ø
3
ò
3
2
Câu 9.
I =ò
1
x7
Câu 10. I = ò
0 (1 +
2
Câu 11. I = ò
1
x 2 )5
1 - x7
x (1 + x 7 )
2
1 (1 +
2
x 4 .dx
5
dx
· Đặt t = 1 + x 2 Þ dt = 2 xdx Þ I =
dx
· I =ò
x 2001
Câu 12. I = ò
1
1 32
dt
· I =ò
. Đặt t = x Þ I = ò
5
10
2
2
5 1 t (t + 1)2
1 x .( x + 1)
x.( x10 + 1)2
1
· I =ò
2
dx
x 2 )1002
2
1 128 1 - t
dx . Đặt t = x 7 Þ I = ò
dt
7
7
7
t
(1
+
t
)
x
.(1
+
x
)
1
1
x 3 (1 + x 2 )1002
Cách 2: Ta có: I =
(1 - x 7 ).x 6
.dx
2
x 2004
1 2 (t - 1)3
1 1
dt = .
ò
5
21 t
4 25
1
1
2
.dx . Đặt t =
+
1
Þ
dt
=
dx .
1002
2
3
x
x
æ
ö
1 3 1
x ç 2 + 1÷
èx
ø
.dx = ò
11
x 2000 .2 xdx
. Đặt t = 1 + x 2 Þ dt = 2 xdx
ò
2
2000
2
2
2 0 (1 + x )
(1 + x )
1000
1 2 (t - 1)1000
1 2æ 1ö
Þ I= ò
dt = ò ç 1 - ÷
2 1 t1000t 2
2 1è t ø
æ 1ö
1
d ç1 - ÷ =
è t ø 2002.21001
1
Câu 13. I = ò x 5 (1 - x 3 )6 dx
0
· Đặt t = 1 - x 3 Þ dt = -3x 2dx Þ dx =
Câu 14. I = ò
-dt
3x 2
ÞI =
11 6
1 æ t 7 t8 ö
1
t
(1
t
)
dt
=
ç - ÷=
ò
30
3 è 7 8 ø 168
xdx
1
0
( x + 1)3
x
x + 1-1
1
1
· Ta có:
=
= ( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 Þ I = ò éë( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ùûdx =
3
3
0
8
( x + 1)
( x + 1)
2
Câu 15. I = ò
1 + x2
11+
· Ta có:
3
2
Þ I=ò
1
x4
1+ x
2
1+ x4
dt
t2 - 2
dx
1+
=
=
1
x 2 . Đặt t = x - 1 Þ dt = æ 1 + 1 ö dx
ç
÷
1
x
x2 ø
è
x2 + 2
x
1
2
3
2æ
1
òç
2 t1è
2
-
æ 2 -1ö
ö
1
t - 2 3/ 2
1
.ln
=
ln ç
÷
÷ dt =
2 2
t+ 2 1
2 2 çè 2 + 1 ÷ø
t+ 2ø
1
Trang 2
Trần Sĩ Tùng
2
Bài tập Tích phân
1 - x2
Câu 16. I = ò
11+
x4
1- x
dx
1
2
5
2
-1
æ
dt
1
1 ö
. Đặt t = x + Þ dt = ç 1 - ÷ dx Þ I = - ò
= x
.
2
2
1
x
2
1+ x
x
t
+
2
è
ø
2
x +
x2
du
5
5
Đặt t = 2 tan u Þ dt = 2
; tan u = 2 Þ u1 = arctan 2; tan u = Þ u2 = arctan
2
2
2
cos u
· Ta có:
2
4
u2
2
Þ I=
2
1
u1
x4 + 1
Câu 17. I = ò
dx
6
0 x +1
x4 + 1
· Ta có:
x6 + 1
1
1
Þ I =ò
x2 + 1
0
2
Câu 18. I = ò
=
1- x 2
1
0
Câu 20. I =
4
ò
2
x 4 - x2 + 1
3
3
ò
0
· I=
3
3
ò
0
+1
x4 - 1
x
x6 + 1
=
1
x2 + 1
1+
=
1 1 dt
11
=
2 0ò t 2 + t + 1 2 0ò
+
x2
x6 + 1
dt
2
æ 1ö æ 3ö
÷
çt + ÷ + ç
è 2ø è 2 ø
dx
x2 +
1
x2
1
x2
. Đặt t = x -1
. Đặt t = tan u Þ dt =
x2
x2
1
· Đặt t = x 2 Þ I =
.
x2 + 1
x4 - x2 + 1
0t
I=
dx
2
dt
( x 2 + 1)( x 4 - x 2 + 1)
+
-1
2
1
4
x
· Ta có: I = ò
dx . Đặt t = x + Þ I = ln
1
x
5
1
+x
x
x +1
1
x4 - x2 + 1
2
2
· Ta có:
=
1 1 d (x3 )
p 1p p
dx = +
=
ò
3 0 ( x 3 )2 + 1
4 34 3
x + x +1
1
Câu 21.
x6 + 1
xdx
1+ 5
2
Þ I =ò
( x 4 - x 2 + 1) + x 2
dx +
3
1x+x
Câu 19. I = ò
ö
2
2æ
5
(u2 - u1 ) =
ç arctan - arctan 2 ÷
2
2 è
2
ø
ò du =
æ
1
1 ö
Þ dt = ç 1 + ÷ dx
x
x2 ø
è
p
4
du
cos2 u
Þ I = ò du =
0
p
4
dx
2
( x 2 - 1)( x 2 + 1)
dx =
1
2
3
3 æ
ò
0
1
1 ö
1
p
+
dx = ln(2 - 3) +
ç 2
÷
4
12
è x - 1 x2 + 1 ø
Trang 3
2
=
p
6 3
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
x
I =ò
Câu 1.
dx
2
3x + 9 x - 1
x
· I =ò
dx = ò x (3x - 9 x 2 - 1)dx = ò 3x 2dx - ò x 9 x 2 - 1dx
2
3x + 9 x - 1
2
3
+ I1 = ò 3x dx = x + C1
3
1
1
+ I 2 = ò x 9 x - 1dx = ò 9 x 2 - 1 d (9 x 2 - 1) = (9 x 2 - 1) 2 + C2
18
27
2
3
Þ I=
x2 + x
I =ò
Câu 2.
·
1
(9 x 2 - 1) 2 + x 3 + C
27
ò
x2 + x
1+ x x
x2
dx = ò
x2
+ I1 = ò
Þ
1+ x x
dx
1+ x x
1+ x x
x
1+ x x
Vậy: I =
4
9
(
4
dx =
1+ x x
2x + 1
Câu 3.
I =ò
Câu 4.
I =ò
Câu 5.
I = ò x 3 1 - x 2 dx
01+
2x + 1
6
)
3
dx
+ 1 + 4x + 1
0
Câu 6.
I =ò
1+ x
01+
x
(
1+ x x
)
3
-
4
1 + x x + C1
3
+C
1
1
dx .
2 d (1 + x x )
4
=
1 + x x + C2
ò
3
3
1+ x x
dx
2 2x
1+ x x
dx . Đặt t= 1 + x x Û t 2 - 1 = x x Û x 3 = (t 2 - 1)2 Û x 2dx =
4 2
4 3 4
4
ò 3 (t - 1)dt = 9 t - 3 t + C = 9
+ I2 = ò
x
dx + ò
· Đặt t = 2 x + 1 . I =
3
t2
ò 1 + t dt =2 + ln 2 .
1
3 1
· Đặt t = 4 x + 1 . I = ln 2 12
1
· Đặt: t = 1 - x 2 Þ I = ò ( t 2 - t 4 ) dt =
0
2
.
15
dx
1 3
1
æ
t +t
2 ö
11
· Đặt t = x Þ dx = 2t.dt . I = 2ò
dt = 2ò ç t 2 - t + 2 - 4 ln 2 .
÷dt =
t +1
1+ t ø
3
è
0
0
3
Câu 7.
I =ò
x -3
dx
3
x
+
1
+
x
+
3
0
Trang 4
4 2
t(t - 1)dt
3
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
2
2t 3 - 8t
1t
2
· Đặt t = x + 1 Þ 2tdu = dx Þ I = ò
Câu 8.
0
I=
òx
3
+ 3t + 2
2
2
1
3
dt = -3 + 6 ln
t +1
2
1
dt = ò (2t - 6)dt + 6 ò
1
x + 1dx
-1
1
1
æ t7 t4 ö
9
· Đặt t = x + 1 Þ t = x + 1 Þ dx = 3t dt Þ I = ò 3(t - 1)dt = 3 ç - ÷ = 28
è 7 4 ø0
0
3
3
Câu 9.
5
x2 + 1
1
x 3x + 1
I =ò
2
3
dx
2
æ t2 - 1 ö
ç
÷ +1
4ç 3 ÷
2tdt
2tdt
ø
· Đặt t = 3x + 1 Þ dx =
Þ I =òè
.
3
3
t2 - 1
2
.t
3
4
4
2æ1 3 ö
t -1
100
9
= ç t - t ÷ + ln
=
+ ln .
9è3
t + 1 2 27
5
ø2
3
Câu 10. I = ò
2x2 + x - 1
x +1
0
=
4
24 2
dt
(
1)
2
t
dt
+
ò
ò
2
92
2 t -1
dx
x + 1 = t Û x = t 2 - 1 Þ dx = 2tdt
· Đặt
2
2(t 2 - 1)2 + (t 2 - 1) - 1
Þ I =ò
2tdt
t
1
1
2
2
æ 4t 5
ö
54
= 2ò (2t 4 - 3t 2 )dt = ç
- 2t 3 ÷ =
è 5
ø1 5
1
x 2dx
Câu 11. I = 2 ò
0 ( x + 1)
x +1
· Đặt t = x + 1 Þ t 2 = x + 1 Þ 2tdt = dx
ÞI =
2
ò
(t 2 - 1)2
t3
1
4
Câu 12. I = ò
0
2
.2tdt =2 ò
1
x +1
(1 +
1 + 2x )
2
2
2
æ t3
æ 1ö
1ö
16 - 11 2
t
dt
=
2
ç - 2t - ÷ =
ç
÷
t ø1
3
è tø
è3
dx
t 2 - 2t
· Đặt t = 1 + 1 + 2 x Þ dt =
Þ dx = (t - 1)dt và x =
2
1 + 2x
dx
Ta có: I =
1 4 (t 2 - 2t + 2)(t - 1)
1 4 t 3 - 3t 2 + 4t - 2
1 4æ
4 2ö
dt
=
dt
=
t - 3 + - ÷dt
ç
ò
ò
ò
22
22
2 2è
t t2 ø
t2
t2
=
Câu 13. I =
8
ò
3
1 æ t2
2ö
1
ç - 3t + 4 ln t + ÷ = 2 ln 2 2 çè 2
t ÷ø
4
x -1
2
x +1
dx
Trang 5
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
(
8
)
æ
x
1 ö
é
ù
· I= òç
dx = ë x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 û
÷
ç 2
÷
x2 + 1 ø
3 è x +1
8
3
= 1 + ln
(
3 + 2 ) - ln ( 8 + 3)
1
Câu 14. I = ò ( x - 1)3 2 x - x 2 dx
0
1
3
· I = ò ( x - 1)
0
2
Câu 15. I = ò
2 x - x dx = ò ( x 2 - 2 x + 1) 2 x - x 2 ( x - 1)dx . Đặt t = 2 x - x 2 Þ I = 0
2 x3 - 3x 2 + x
x2 - x + 1
0
1
2
2
.
15
dx
2
3
( x 2 - x )(2 x - 1)
4
dx . Đặt t = x 2 - x + 1 Þ I = 2 ò (t 2 - 1)dt = .
3
0
x2 - x + 1
1
· I =ò
2
Câu 16. I = ò
0
x 3dx
3
4 + x2
3
· Đặt t = 4 + x 2 Þ x 2 = t 3 - 4 Þ 2 xdx = 3t 2dt Þ I =
ö
3 2 4
3æ8
(t - 4t )dt = - ç + 4 3 2 ÷
ò
23
2è5
ø
4
Câu 17. I =
1
dx
ò
x + 1 + x2
-1 1 +
1
1 1æ1 ö
1 + x2
1 + x - 1 + x2
· Ta có: I = ò
dx = ò
dx = ò ç + 1÷ dx - ò
dx
2
2
2 -1 è x ø
2x
2x
-1
-1 (1 + x ) - (1 + x )
-1
1
+ I1 =
+ I2 =
1
1 + x - 1 + x2
1 1æ1 ö
1
1
ç + 1 ÷ dx = éë ln x + x ùû |-1 = 1
ò
2 -1 è x ø
2
1
ò
-1
1 + x2
dx . Đặt t = 1 + x 2 Þ t 2 = 1 + x 2 Þ 2tdt = 2 xdx Þ I2=
2x
Vậy: I = 1 .
2
ò
t 2dt
2
2 2(t - 1)
=0
Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 .
Câu 18. I =
1
ò
1
3
2
Câu 19. I = ò
1
1
3 3
-x
(x )
x4
4 - x2
1
ò
3
dx
4 - x2
dx
x
· Ta có: I = ò
ÞI=
1
æ 1
ö3 1
1
· Ta có: I = ò ç - 1÷ . dx . Đặt t =
-1 Þ I = 6 .
2
3
2
x
x
x
è
ø
1
3
2
0
1
t(-tdt )
4 - t2
x
2
0
xdx . Đặt t =
t2
0
4 - x 2 Þ t 2 = 4 - x 2 Þ tdt = - xdx
æ
t-2 ö
= ò
dt = ò (1 +
)dt = ç t + ln
÷
2
2
t+2 ø
t
4
t
4
è
3
3
4
Trang 6
0
æ
2- 3 ö
÷
= - ç 3 + ln
ç
÷
2
+
3
3
è
ø
Trần Sĩ Tùng
Câu 20. I =
Câu 21. I =
Bài tập Tích phân
2 5
x
2
( x 2 + 1) x 2 + 5
ò
27
x -2
ò
3
x+ x
1
3
1
x2 + x + 1
0
dx
· Đặt t = x + x + x + 1 Þ I =
1+ 3
1+
2dt
= ln(2t + 1)
1
2t + 1
ò
1
3
x2
1 + x )2 (2 + 1 + x )2
0 (1 +
-4
3
= ln
3+ 2 3
3
dx
4
æ
42 36 ö
4
· Đặt 2 + 1 + x = t Þ I = ò ç 2t - 16 +
- ÷ dt = -12 + 42 ln
3
t
t2 ø
3è
3
x2
Câu 24. I = ò
0 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1
2
2t (t 2 - 1)2 dt
· Đặt t = x + 1 Þ I = ò
t(t + 1)2
1
Câu 25. I =
3
2 2
ò
x - x 3 + 2011x
x4
1
· Ta có: I =
3
2 2
ò
1
M=
3
2 2
ò
1
N=
2 2
2
x
x3
2011
ò
x3
1
Þ I=
1
1
x2
x3
dx +
2 2
ò
dx =
ò
1
2
2
2
= 2 ò (t - 1)2 dt = (t - 1)3 =
1
3
3
1
3
2011
x3
1
-1
2 2
2
dx
-1
dx . Đặt t =
dx
1
x2
dx = M + N
-1 Þ M = -
3
2
-
7
2
ò
t 3dt = -
0
2 2
é 2011 ù
2011x dx = ê ú
ë 2 x2 û 1
-3
3
=
14077
16
3
14077 21 7
.
16
128
1
dx
Câu 26. I = ò
0 (1 +
3
x 3 ). 1 + x 3
3
3
3
=
1 15
ln .
4 7
3
æ
é 2
2 ö 5p
2t
1 ù
dt = 5 ò ê1 - +
dt = 5 ç 3 - 1 + ln ÷ ú
3 ø 12
t t2 + 1 t2 + 1û
è
t(t 2 + 1)
1 ë
2
Câu 23. I = ò
2
t3 - 2
1
Câu 22. I = ò
3t
dt
dx
2
· Đặt t = 6 x Þ I = 5 ò
1
5
· Đặt t = x 2 + 5 Þ I = ò
dx
· Đặt t = 1 + x Þ I =
2
ò
t2
2
1 4 3
t .(t - 1) 3
3
dt =
2
ò
1
dt
2
t .(t
Trang 7
3
2
- 1) 3
213 7
128
Bài tập Tích phân
3
=
2
3
dt
ò
1
Trần Sĩ Tùng
ò
=
2
öù 3
1
é æ
1
t 2 . êt 3 ç 1 - ÷ ú
3
ë è t øû
Đặt u = 1 -
Câu 27. I =
2 2
ò
3
1
t3
2
Þ du =
3dt
t4
3
dt
=
2
ö3
Þ I=ò
2
u 3
0
ò
1
æ
1
t 4 ç1 - ÷
è t3 ø
1
2
2
3
æ
1ö
ç1 - 3 ÷
è t ø
t4
du =
-
2
3
dt
1
2 -2
u 3 du
1
3 ò0
æ 1
1 ç u3
1
ö2
÷
= ç ÷
3ç 1 ÷
ç ÷
è 3 ø0
1
1 2
= u3
=
0
1
3
2
x4
dx
æ
1ö 2
ç x - x ÷ x +1
è
ø
· Đặt t = x 2 + 1
3
Þ I =ò
2
(t 2 - 1)2
t2 - 2
dt =
3 4
ò
t - 2t 2 + 1
t2 - 2
2
3
3
2
2t
dt = ò t 2 dt + ò
1
2
-2
dt =
19
2 æ4+ 2 ö
ln ç
+
÷
3
4 çè 4 - 2 ÷ø
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
1æ
ö
2
x
ln
1
+
x
( ) ÷÷ dx
ç 1+ x
ø
0è
Câu 28. I = ò ç
1- x
1
1- x
· Tính H = ò
1+ x
0
dx . Đặt
é pù
p
x = cos t; t Î ê 0; ú Þ H = 2 2
ë 2û
1
ìu = ln(1 + x )
1
· Tính K = ò 2 x ln(1 + x )dx . Đặt í
Þ K=
2
î dv = 2 xdx
0
Câu 29. I =
2
5
ò (x
+ x 2 ) 4 - x 2 dx
-2
·I=
2
ò (x
5
2
+ x ) 4 - x dx =
-2
òx
5
2
4 - x dx +
2
òx
2
4 - x 2 dx = A + B.
-2
òx
5
4 - x 2 dx . Đặt t = - x . Tính được: A = 0.
òx
2
4 - x 2 dx . Đặt x = 2sin t . Tính được: B = 2p .
-2
2
+ Tính B =
2
-2
2
+ Tính A =
2
-2
Vậy: I = 2p .
Trang 8
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
(3 -
2
Câu 30. I = ò
)
4 - x 2 dx
2x4
1
2
· Ta có: I = ò
2
3
4
1 2x
2
3
+ Tính I1 = ò
1 2x
2
+ Tính I 2 = ò
1
Þ I2 =
p
12
8ò
p
6
Vậy: I =
4
4 - x2
2x 4
2
cos tdt
4
sin t
0
4 - x6
Câu 31. I = ò
dx .
3 2 -4
7
x dx = .
ò
21
16
dx . Đặt x = 2sin t Þ dx = 2 cos tdt .
=
p
12
cot
8ò
1(
7 - 2 3) .
16
x 2dx
2x4
1
dx =
1
4 - x2
dx - ò
p
6
2
p
12
æ 1 ö
3
tç
dt = - ò cot 2 t.d (cot t ) =
2 ÷
8p
8
è sin t ø
6
· Đặt t = x 3 Þ dt = 3 x 2 dx Þ I =
1 1 dt
.
3 ò0 4 - t 2
p
6
é pù
1
p
Đặt t = 2sin u, u Î ê 0; ú Þ dt = 2 cos udu Þ I = ò dt = .
ë 2û
30
18
2
Câu 32. I = ò
2- x
dx
x+2
1
x 2dx
0
Câu 33. I = ò
0
· Ta có: I = ò
0
Þ I =-
ò
2p
3
1
2
Câu 34.
ò
0
t
· Đặt x = 2 cos t Þ dx = -2sin tdt Þ I = 4 ò sin2 dt = p - 2 .
2
0
3 + 2x - x2
1
p
2
p
2
x 2dx
22 - ( x - 1)2
2
. Đặt x - 1 = 2 cos t .
(1 + 2 cos t ) 2sin t
4 - (2 cos t )2
1 - 2 x 1 - x 2 dx
dt =
2p
3
ò ( 3 + 4 cos t + 2 cos2t ) dt =
p
2
p
6
p 3 3
+
-4
2
2
· Đặt x = sin t Þ I = ò (cos t - sin t )cos tdt =
0
Trang 9
p
3 1
+
12 8 8
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 35. I =
3
ò
x 2 - 1dx
2
ì
x
ìïu = x 2 - 1 ïdu =
dx
· Đặt í
Þí
2
x
1
ïîdv = dx
ïv = x
î
Þ I = x x2 - 1
=5 2-
3
ò
2
Þ I=
3
2
-
3
ò
x.
2
x 2 - 1dx -
x
x2 - 1
3
ò
2
dx = 5 2 -
dx
x2 - 1
é 2
ê x -1 +
ë
2ê
3
ò
ù
ú dx
2
x - 1 úû
1
= 5 2 - I - ln x + x 2 - 1
5 2
1
- ln ( 2 + 1) + ln 2
2
4
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x =
3
2
1
vì éë 2;3ùû Ï [ -1;1]
cos t
Trang 10
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 1.
I =ò
8cos2 x - sin 2 x - 3
dx
sin x - cos x
(sin x - cos x )2 + 4 cos 2 x
dx = ò éë( sin x - cos x - 4(sin x + cos x ) ùûdx
sin x - cos x
= 3cos x - 5sin x + C .
cot x - tan x - 2 tan 2 x
Câu 2. I = ò
dx
sin 4 x
2 cot 2 x - 2 tan 2 x
2 cot 4 x
cos 4 x
1
· Ta có: I = ò
dx = ò
dx = 2 ò 2
dx = +C
sin 4 x
sin 4 x
2sin 4 x
sin 4 x
æ
pö
cos2 ç x + ÷
8ø
è
Câu 3. I = ò
dx
sin 2 x + cos 2 x + 2
æ
pö
1 + cos ç 2 x + ÷
1
4 ø dx
è
· Ta có: I =
ò
2 2 1 + sin æ 2 x + p ö
ç
÷
4ø
è
æ
ö
ç cos æ 2 x + p ö
÷
ç
÷
1 ç
dx
÷
4
è
ø
=
dx + ò
çò
÷
2
2 2 ç 1 + sin æ 2 x + p ö
é æ
æ
pö
p öù ÷
ç
÷
êsin ç x + ÷ + cos ç x + ÷ ú ÷
4ø
è
ç
8ø
8 øû ø
è
ë è
è
· I =ò
æ
ö
æ
pö
cos ç 2 x + ÷
ç
÷
1 ç
dx
4 ø dx + 1
è
÷
=
ò
2ò 2æ
3p ö ÷
2 2 ç 1 + sin æ 2 x + p ö
sin ç x +
ç
÷
÷÷
ç
4ø
8 øø
è
è
è
æ
æ
1 æ
pö
3p ö ö
=
ç ln 1 + sin ç 2 x + ÷ - cot ç x +
÷÷ + C
è
4ø
8 ø ÷ø
è
4 2 çè
Câu 4.
I=
· I=
Câu 5.
p
ò 2+
p
3
p
dx
3 sin x - cos x
1
dx
1p
dx
= I= ò
=
.
æ
4p
pö
4
3
2æ x p ö
1 - cos ç x + ÷
2sin ç + ÷
3ø
3
3
è
è2 6ø
1
2 pò
I=
p
6
1
ò 2sin x 0
1
· Ta có: I =
2
p
6
ò
0
3
dx
1
p
sin x - sin
3
dx =
p
6
ò
0
1
2
p
sin x - sin
3
dx
Trang 11
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
ææ x p ö æ x p öö
cos ç ç + ÷ - ç - ÷ ÷
è è 2 6 ø è 2 6 ø ø dx
=ò
dx = ò
p
æ
ö
æ
ö
0 sin x - sin
0 2 cos x + p .sin x - p
ç
÷
ç
÷
3
è2 6ø
è2 6ø
p
6
=
1
2
cos
p
6
p
3
æx pö
æx pö
p
cos ç - ÷
sin ç + ÷
6
è 2 6 ødx + 1
è 2 6 ø dx = ln sin æ x - p ö
ç
÷
ò
20
æx pö
æx pö
è2 6ø
sin ç - ÷
cos ç + ÷
è2 6ø
è2 6ø
p
6
ò
0
p
6
0
æx pö
- ln cos ç + ÷
è2 6ø
p
6
0
p
2
Câu 6.
I = ò (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx .
0
· Ta có: (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x ) =
33 7
3
33
+ cos 4 x + cos8 x Þ I =
p.
64 16
64
128
p
2
Câu 7.
I = ò cos2 x (sin 4 x + cos4 x )dx
0
p
2
p
1 2æ
æ 1
ö
ö
1
· I = ò cos2 x ç 1 - sin2 2 x ÷ dx = ò ç 1 - sin2 2 x ÷ d (sin 2 x ) = 0
2 0è 2
è 2
ø
ø
0
p
2
Câu 8.
I = ò (cos3 x - 1) cos2 x.dx
0
·A =
B=
p
2
p
2
0
0
5
ò cos xdx =
p
2
ò cos
2
x.dx =
0
Vậy I =
2
2 )
(
1
sin
x
d (sin x )
ò
p
12
(1 + cos 2 x ).dx
2ò
0
=
=
8
15
p
4
8
p
– .
15 4
p
2
Câu 9.
I = ò cos 2 x cos 2 xdx
0
p
2
p
12
0
0
· I = ò cos2 x cos2 xdx =
1
p
2
(1 + cos 2 x ) cos2 xdx = ò (1 + 2 cos2 x + cos 4 x )dx
2ò
4
0
p
2
1
1
p
= ( x + sin 2 x + sin 4 x ) =
4
4
8
0
p
3
2 4sin x dx
0 1 + cos x
Câu 10. I = ò
Trang 12
= .....
Trần Sĩ Tùng
·
Bài tập Tích phân
4 sin3 x 4sin3 x(1 - cos x )
=
= 4sin x - 4sin x cos x = 4sin x - 2sin 2 x
1 + cos x
sin2 x
p
2 (4sin x - 2sin 2 x )dx
0
2p
ÞI =ò
Câu 11. I =
ò
=2
1 + sin xdx
0
· I=
2
2p
2p
2p
æ
æx pö
x
xö
x
x
ç sin + cos ÷ dx = ò sin + cos dx = 2 ò sin ç + ÷ dx
è
2
2ø
2
2
è2 4ø
0
0
ò
0
é 3p
ù
2p
ê2
æx pö
æx pö ú
= 2 ê ò sin ç + ÷dx - ò sin ç + ÷ dx ú = 4 2
è2 4ø
è2 4ø ú
ê0
3p
êë
úû
2
Câu 12. I =
p
4
ò
0
dx
6
cos x
p
4
· Ta có: I = ò (1 + 2 tan2 x + tan 4 x )d (tan x ) =
0
28
.
15
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
sin 2 xdx
3 + 4sin x - cos2 x
2sin x cos x
1
. Đặt t = sin x Þ I = ln sin x + 1 +
· Ta có: I = ò
+C
dx
sin x + 1
2sin 2 x + 4sin x + 2
dx
Câu 14. I = ò
3
sin x.cos5 x
dx
dx
· I =ò 3
= 8ò 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
æ
ö
3
1
3
1
Đặt t = tan x . I = ò ç t 3 + 3t + + t -3 ÷ dt = tan 4 x + tan 2 x + 3ln tan x +C
t
4
2
è
ø
2 tan 2 x
2t
Chú ý: sin 2 x =
.
1 + t2
dx
Câu 15. I = ò
sin x.cos3 x
dx
dx
dx
2t
· I =ò
. Đặt t = tan x Þ dt =
= 2ò
; sin 2 x =
2
2
2
sin x.cos x.cos x
sin 2 x.cos x
cos x
1 + t2
dt
t2 + 1
1
t2
tan 2 x
Þ I = 2ò
=ò
dt = ò (t + )dt = + ln t + C =
+ ln tan x + C
2t
t
t
2
2
Câu 13. I = ò
1 + t2
Trang 13
Bài tập Tích phân
Câu 16. I = ò
2011
Trần Sĩ Tùng
sin2011 x - sin2009 x
sin5 x
cot xdx
1
2011 1 -
sin2 x cot xdx =
ò
sin 4 x
· Ta có: I = ò
Đặt t = cot x Þ I = ò
2
2011
t
(1 + t 2 )tdt
4024
2011
- cot 2 x
sin 4 x
cot xdx
4024
8046
2011 2011 2011 2011
=
t
+
t
+C
4024
8046
8046
2011
2011
=
cot 2011 x +
cot 2011 x + C
4024
8046
Câu 17. I =
p
2
sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0
ò
p
2
2
sin x.cos2 x
(t - 1)2
dx . Đặt t = 1 + cos x Þ I = 2 ò
dt = 2 ln 2 - 1
1 + cos x
t
0
1
· Ta có: I = 2 ò
Câu 18. I =
p
3
ò sin
2
x tan xdx
0
p
3
· Ta có: I = ò sin2 x.
0
sin x
dx =
cos x
p
3
(1 - cos2 x )sin x
dx . Đặt t = cos x
ò
cos x
0
1
2
1 - u2
3
du = ln 2 u
8
1
Þ I = -ò
Câu 19. I =
p
ò sin
2
x (2 - 1 + cos2 x )dx
p
2
p
p
p
2
p
2
· Ta có: I = ò 2sin2 xdx - ò sin2 x 1 + cos2 xdx = H + K
p
2
p
+ H = ò 2sin xdx = ò (1 - cos 2 x )dx = p p
2
p
p
2
p p
=
2 2
p
p
p
2
p
2
+ K = ò sin2 x 2 cos2 x = - 2 ò sin2 x cos xdx = - 2 ò sin 2 xd (sin x ) =
p
2
ÞI =
p
2
2
3
Trang 14
2
3
Trần Sĩ Tùng
Câu 20. I =
Bài tập Tích phân
p
3
dx
ò sin2 x.cos4 x
p
4
p
3
· I = 4. ò
p
4
I=
3
ò
dx
2
2
sin 2 x.cos x
(1 + t 2 )2 dt
t2
1
Câu 21. I =
p
2
3
ò
=
1
. Đặt t = tan x Þ dt =
dx
cos2 x
.
3
æ 1
æ1
t3 ö
8 3-4
2ö
ç 2 + 2 + t ÷ dt = ç - + 2t + ÷ =
3 ø1
3
è t
èt
ø
sin 2 x
ò ( 2 + sin x ) dx
2
0
· Ta có: I =
p
2
p
2
sin 2 x
0
3
Þ I = 2ò
2
Câu 22. I =
p
6
sin x cos x
ò (2 + sin x )2 dx = 2 ò (2 + sin x )2 dx . Đặt t = 2 + sin x .
t-2
t2
0
3
3
æ1 2 ö
æ
2ö
3 2
dt = 2 ò ç - ÷ dt = 2 ç ln t + ÷ = 2 ln t t2 ø
t ø2
2 3
è
2è
sin x
ò cos 2 x dx
0
· I=
p
6
p
6
sin x
sin x
ò cos 2 x dx = ò 2 cos2 x - 1 dx . Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx
0
0
Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x =
Ta được I = -
3
2
ò
1
Câu 23. I =
p
2
1
2
2t - 1
p
3
Þt=
6
2
dt =
1
2 2
2
sin x
3
ò e .sin x.cos x. dx
ln
2t - 2
2t + 2
1
3
2
=
1
2 2
ln
3-2 2
5-2 6
· Đặt t = sin2 x Þ I =
0
p
2
1
Câu 24. I = ò sin x × sin2 x + dx
2
p
6
Câu 25. I =
p
4
ò
0
sin 4 x
sin6 x + cos6 x
· Đặt t = cos x . I =
dx
Trang 15
11 t
1
e (1 - t )dt = e - 1 .
ò
20
2
3
(p + 2)
16
Bài tập Tích phân
· I=
p
4
Trần Sĩ Tùng
sin 4 x
ò
3
1 - sin2 2 x
4
0
Câu 26. I =
p
2
( sin x +
0
4
2 1 ö
ò ç - 3 t ÷dt = 3 t
ø
1è
3
dx . Đặt t = 1 - sin 2 2 x Þ I =
4
sin x
ò
1
4æ
3 cos x
)
3
1
1
4
=
2
.
3
dx
æ
pö
· Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos ç x - ÷ ;
6ø
è
ææ
æ
pö pö
3 æ
pö 1
pö
sin x = sin ç ç x - ÷ + ÷ =
sin ç x - ÷ + cos ç x - ÷
6ø 6ø
2
6ø 2
6ø
è
è
èè
æ
p
pö
sin ç x - ÷ dx
6ø
3
3
1 2
dx
è
=
ÞI=
+
ò
ò
16 0
æ
æ
6
p ö 16 0
pö
cos3 ç x - ÷
cos2 ç x - ÷
6ø
6ø
è
è
p
2
Câu 27. I =
p
4
ò
-
ò
-
= -
p
3
0
sin x
cos2 x
2
sin x
ò
-
cos2 x
p
3
p
4
· I=
sin x 1 - cos2 x
p
3
cos2 x
Câu 28. I =
p
6
0
p
4
1 - cos2 x .dx =
ò
-
p
4
dx + ò
ò sin x +
dx
0
sin2 x
cos2 x
1
3 cos x
dx =
p
3
sin x
cos2 x
0
sin x dx =
ò
-
p
3
sin x
cos2 x
sin x dx +
p
4
dx
æ
pö
sin ç x + ÷
1
1
1
3 ø dx .
è
· I=ò
dx = ò
dx = ò
20
æ
20
æ
pö
pö
0 sin x + 3 cos x
sin ç x + ÷
1 - cos2 ç x + ÷
3ø
3ø
è
è
p
6
1
2
æ
æ
pö
pö
1
1
1
Đặt t = cos ç x + ÷ Þ dt = - sin ç x + ÷ dx Þ I = ò
dt = ln 3
2
3ø
3ø
2 0 1- t
4
è
è
Câu 29. I =
p
2
ò
1 - 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx
0
Trang 16
sin x
2
-0 cos x
7p
- 3 -1.
12
p
16
p
6
ò
sin x dx
Trần Sĩ Tùng
· I=
Bài tập Tích phân
p
2
ò sin x -
3 cos x dx = I =
Câu 30. I =
ò sin x -
3 cos x dx +
0
0
p
2
p
3
p
2
ò sin x -
3 cos x dx = 3 - 3
p
3
sin xdx
ò (sin x + cos x )3
0
· Đặt x =
Þ 2I =
p
- t Þ dx = -dt Þ I =
2
p
2
cos tdt
0
cos xdx
0
p
4
1
p
1
= - cot( x + ) = 1 Þ I =
p
2
4 0
2
0 sin 2 ( x + )
4
dx
dx
ò (sin x + cos x )2 = 2 ò
p
2
p
2
ò (sin t + cos t )3 = ò (sin x + cos x )3
p
12
0
Câu 31. I =
p
2
7sin x - 5cos x
ò (sin x + cos x )3 dx
0
· Xét: I1 =
Đặt x =
p
2
ò
0
sin xdx
( sin x + cos x )
I2 =
ò
0
cos xdx
3
( sin x + cos x )
.
p
- t . Ta chứng minh được I1 = I2
2
Tính I1 + I2 =
p
2
ò
0
Þ I1 = I 2 =
Câu 32. I =
3
;
p
2
p
2
dx
( sin x + cos x )
2
=
p
2
ò
0
dx
p
2 cos2 ( x - )
4
=
p p
1
tan( x - ) 2 = 1
2
4 0
1
Þ I = 7I1 – 5I 2 = 1 .
2
3sin x - 2 cos x
ò (sin x + cos x )3 dx
0
· Đặt x =
p
- t Þ dx = -dt Þ I =
2
Þ 2I = I + I =
p
2
3sin x - 2 cos x
Câu 33. I =
p
2
3cos t - 2sin t
3cos x - 2sin x
ò (cos t + sin t )3 dt = ò (cos x + sin x )3 dx
0
0
p
2
3cos x - 2sin x
p
2
1
ò (sin x + cos x )3 dx + ò (cos x + sin x )3 dx = ò (sin x + cos x )2 dx = 1 Þ
0
p
p
2
0
0
x sin x
ò 1 + cos2 x dx
0
p
· Đặt x = p - t Þ dx = -dt Þ I = ò
0
(p - t )sin t
2
1 + cos t
p
dt = p ò
Trang 17
sin t
2
0 1 + cos t
dt - I
I=
1
.
2
Bài tập Tích phân
p
Trần Sĩ Tùng
p
æp p ö
p2
Þ 2I = p ò
=p ç + ÷Þ I =
dt = -p ò
2
2
è4 4ø
8
0 1 + cos t
0 1 + cos t
Câu 34. I =
p
2
sin t
d (cos t )
cos4 x sin x
ò cos3 x + sin3 x dx
0
0
4
sin t cos t
p
· Đặt x = - t Þ dx = -dt Þ I = - ò
dt =
3
3
2
p cos t + sin t
p
2
sin 4 x cos x
ò cos3 x + sin3 x dx
0
2
Þ 2I =
p
2
ò
4
cos x sin x + sin x cos x
3
3
sin x + cos x
0
Þ I=
4
dx =
p
2
ò
3
3
sin x cos x (sin x + cos x )
0
3
3
sin x + cos x
dx =
p
12
1
sin 2 xdx =
2ò
2
0
1
.
4
p
2
é
ù
1
2
x
tan
(cos
)
ê
ú dx
ò cos2 (sin x )
ê
ûú
0ë
p
· Đặt x = - t Þ dx = -dt
2
Câu 35. I =
p
2
p
2é
é
ù
ù
1
1
Þ I=òê
- tan2 (sin t )ú dt = ò ê
- tan2 (sin x )ú dx
2
ê cos2 (cos t )
ûú
ë cos (cos x )
ûú
0ë
0ê
p
2
p
2
é
ù
1
1
Do đó: 2I = ò ê
+
- tan2 (cos x ) - tan2 (sin x )ú dx = 2 ò dt = p
ê cos2 (sin x ) cos2 (cos x )
ûú
0
0ë
p
Þ I= .
2
Câu 36. I =
p
4
ò
0
cos x - sin x
3 - sin 2 x
dx
· Đặt u = sin x + cos x Þ I =
2
ò
1
Câu 37. I =
p
3
ò
0
sin x
cos x 3 + sin2 x
· Đặt t = 3 + sin2 x =
I=
p
3
ò
0
sin x
cos x 3 + sin2 x
du
4 - u2
. Đặt u = 2sin t Þ I =
p
4
p
4
2 cos tdt
ò
4 - 4sin2 t
p
6
= ò dt =
p
6
p
.
12
dx
4 - cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 - t 2 và dt =
.dx =
p
3
ò
0
sin x.cos x
cos2 x 3 + sin2 x
dx =
Trang 18
15
2
ò
3
dt
4 - t2
=
1
4
sin x cos x
2
3 + sin x
15
2 æ
ò
3
dx .
1
1 ö
ç
÷dt
èt+2 t-2ø
Trần Sĩ Tùng
Bài tập Tích phân
15
2
1 t+2
= ln
4 t-2
3
2p
3
p
3
sin3 x + sin2 x
x
· I =ò
p
2p
dx
= 3
1 + sin x òp
3
+4-2 3.
3
sin 2 x
cos2 x + 4sin2 x
ò
Câu 40. I =
ò
2
æ
pö
tan ç x - ÷
4 ødx
è
cos2 x
p
6
ò
0
0
dx
2sin x cos x
0
· I=
2p
dx
dx
= òp3
=4 - 2 3
æp
ö
xö
2æp
1 + cos ç - x ÷
3 2 cos ç - ÷
è2
ø
è 4 2ø
2
udu
22
2
dx . Đặt u = 3sin2 x + 1 Þ I = ò 3
= ò du =
u
31
3
3sin2 x + 1
1
p
2
p
6
dx
.
1 + sin x
x
p
2
· I=
dx
ìu = x
p
ï
ìdu = dx
dx Þ í
Þ I1 =
dx . Đặt í
2
dv =
îv = - cot x
3
sin x
ïî
sin 2 x
+ Tính I 2 =ò
0
)
2p
3
p
3
2p
3
p
3
I=ò
(
dx + ò
+ Tính I1 = ò
Câu 39.
2p
3
p
3
3+2 ö
1 (
÷ =
ln 15 + 4 ) - ln ( 3 + 2 ) .
2
3 - 2 ÷ø
2
sin x
Vậy: I =
1æ
15 + 4
ç ln
- ln
4ç
15
4
è
x + ( x + sin x )sin x
Câu 38. I = ò
2p
3
p
3
=
p
æ
pö
tan ç x - ÷
2
6
è
4 ødx = - tan x + 1 dx . Đặt t = tan x Þ dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx
ò (tan x + 1)2
cos 2 x
cos2 x
0
1
Þ I =-
Câu 41. I =
3
ò
0
p
3
1
dt
2
(t + 1)
=
1 3 1- 3
=
.
t +1 0
2
cot x
dx
æ
ö
p
p sin x.sin x +
ç
÷
è
4ø
6
ò
p
3
· I = 2ò
p
6
Þ I= 2
cot x
2
sin x (1 + cot x )
3 +1
ò
3 +1
dx . Đặt 1 + cot x = t Þ
t -1
dt = 2 ( t - ln t )
t
3 +1
3 +1
3
1
sin2 x
dx = - dt
æ 2
ö
= 2ç
- ln 3 ÷
è 3
ø
3
Trang 19
Bài tập Tích phân
Câu 42. I =
p
3
Trần Sĩ Tùng
dx
ò sin2 x.cos4 x
p
4
p
3
· Ta có: I = 4. ò
p
4
dx
2
2
sin 2 x.cos x
. Đặt t = tan x Þ dx =
dt
1 + t2
3 (1 + t 2 )2 dt
3 1
1
t3
= ò ( + 2 + t 2 )dt = (- + 2t + )
Þ I= ò
2
t
3
t2
1
1 t
1
Câu 43. I =
p
4
3
=
8 3-4
3
sin x
ò 5sin x.cos2 x + 2 cos x dx
0
p
4
tan x
1
ò 5tan x + 2(1 + tan2 x ). cos2 x dx . Đặt t = tan x ,
· Ta có: I =
0
1
1 1æ 2
1 ö
1
2
dt = ò ç
Þ I =ò
÷ dt = ln 3 - ln 2
2
3 0 è t + 2 2t + 1 ø
2
3
0 2t + 5t + 2
t
p
sin 2 xdx
4
Câu 44. I =
ò
-
p
cos4 x (tan 2 x - 2 tan x + 5)
4
· Đặt t = tan x Þ dx =
1
ò
Tính I1 =
Câu 45. I =
-1 t
p
2
ò
p
6
· I=
dt
2
- 2t + 5
dt
1 + t2
. Đặt
Þ I=
t -1
2
t 2 dt
1
ò
-1 t
2
- 2t + 5
= tan u Þ I1 =
1
2
= 2 + ln
0
ò
-
du =
p
2
3
1
-3ò
dt
-1 t
2
- 2t + 5
p
2 3p
.
. Vậy I = 2 + ln 8
3 8
4
sin2 x
dx .
sin 3 x
p
2
p
2
2
sin x
sin x
ò 3sin x - 4sin3 x dx = ò 4 cos2 x - 1 dx
p
6
p
6
Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I = -
0
ò
3
2
p
2
p
4
Câu 46. I = ò
sin x - cos x
1 + sin 2 x
dt
2
4t - 1
=
dx
Trang 20
1
4
3
2
ò
0
dt
t2 -
1
4
=
1
ln(2 - 3)
4
- Xem thêm -
.PDF 
44 
138 
92 
