10 cách giải hệ phương trình

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10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com Heä phöông trình giaûi ñöôïc baèng 10 caùch   x9  7 y 4 (1)   y9  7x 4 (2) Baøi toaùn. Giaûi heä phöông trình  . Giaûi 9  x  7 Ñieàu kieän :  9  y  7 . Caùch 1: Töø heä phöông trình ñaõ cho, ta suy ra x9  7x   Xeùt haøm soá f t  f ' t   Suy ra haøm soá f t Töø (*) ta coù y9  7 y x9  7 y  y9  7x (*) t  9  7  t  9  t  7 ; 1 2 t9  1 2 7t  0, t   9;7  . ñoàng bieán treân  9;7 . f  x   f  y   x  y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0 x  7  y  7   x2  2x  63  0   .  x  9  y  9  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 1 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com Caùch 2: Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình sau          x9  7 y 4  y9  7x 4    7  x x9  7 y y9  2 2   x  9  7  y  2 x  9. 7  y  16   x  9  7  y  2 y  9. 7  x  16    16  16   x  y  2 x  9. 7  y  0    x  y  2 y  9. 7  x  0 2 x  9. 7  y  2 y  9. 7  x  7x  xy  63  9 y  7 y  xy  63  9x  16x  16 y  x  y . Theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0 x  7  y  7 .   x2  2x  63  0    x  9  y  9  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  Caùch 3: Giaûi heä phöông trình ñaõ cho chuùng ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau : TH1: Neáu x  y thì ta coù x9  7 y  x9  y  9 vaø 7  y  7  x suy ra   x9  7 y 4 y  9  7  x maø  neân 4  4 (voâ lí). y  9  7  x  4   TH2: Neáu x  y thì ta coù TranTuanAnh858@gmail.com x9  y  9 vaø 7  y  7  x suy ra www.DeThiThuDaiHoc.com Page 2 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com x9  7 y  TH3: Neáu   x9  7 y 4 y  9  7  x maø  neân 4  4 (voâ lí). y  9  7  x  4   xy , theá vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0 x  7  y  7   x2  2x  63  0   .  x  9  y  9  x  9  x  7 . ; y   9 y  7   Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  Caùch 4: Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù    x9  7x  7 y   y  9  8 (*) Ta coù :  x9  7x   y9  7 y  2 Töø (3) vaø (4) ta coù 2  16  2. x  9. 7  x  16 suy ra x  9  7  x  4 (3);  16  2. y  9. 7  y  16 suy ra y  9  7  y  4 (4). x9  7x  y  9  7  y  8. Vaäy ñeå (*) xaûy ra thì ôû (3) vaø (4) phaûi ñaït daáu baèng.      x  9  x  9. 7  x  0  x  9  7  x   0  x  7   . y  9. 7  y  0  y  9  7  y   0   y  9  y  7  TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 3 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh Thay  x; y  www.MATHVN.com bôûi  9; 9 ;  9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 nghieäm cuûa heä phöông trình laø  Caùch 5: Ñaët u  x9 0;v 7 y 0; z  y  9  0 ; t  7  x  0 . Ta thu ñöôïc heä phöông trình : u  v  4  z  t  4  2 2 u  t  16  z2  v2  16  Töø (1) vaø (2)  u  v  z  t (1) (2) (3) (4) (5) ; Töø (3) vaø (4)  u2  t2  z2  v2  u2  v2  z2  t2   u  v u  v   z  t  z  t  (6) Töø (5) vaø (6) ta ñöôïc  u  v  z  t   u  v u  v   z  t  u  v    u  v u  v   z  t  z  t    u  v  u  v   z  t   0   u  v   z  t   0 (vì u  v  4  0 )  u  z  v  t (7) . Maët khaùc, töø (5)  u  v  z  t  u  z  t  v (8) Töø (7) vaø (8)  u  z  v  t  t  v  v  t vaø u  z . TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 4 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com   x9  y9   x  y. 7  x  7  y   Theá x  y vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình : x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0 x  7  y  7 .   x2  2x  63  0    x  9  y  9  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  Caùch 6: Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù     x9  7x  7 y   y  9  8 (*) t  9  7  t , t   9;7 . Xeùt haøm soá f t  f ' t  1 2 t9  1 2 7t  1 7t  t9 . , t   9;7  ; 2 t  9. 7  t f '  t   0  7  t  t  9  7  t  t  9  t  1   9;7  .       Ta coù f 9  4; f 7  4; f 1  4 2 .  M in f  t   f  9   f 7   4  f  x   f  y   4  4  8 . Do ñoù, (*) xaûy ra khi 9;7   f  x  4   x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9  . f y  4     ta coù         Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 5 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 nghieäm cuûa heä phöông trình laø  Caùch 7: Töø heä phöông trình ñaõ cho ta coù  Xeùt haøm soá f t  f ' t     x9  7x  7 y   y  9  8 (*) t  9  7  t , t   9;7 . 1 2 t9  1 2 7t  1 7t  t9 . , t   9;7  ; 2 t  9. 7  t f '  t   0  7  t  t  9  7  t  t  9  t  1   9;7  . Baûng bieán thieân 9 x 7 1 f '  x 0 + f  x - 4 2 4 4      Töø baûng bieán thieân ta suy ra M in f t  f 9  f 7  4 . 9;7  f  x   f  y   2. M in f  t   2.4  8 . 9;7 Do ñoù, (*) xaûy ra khi ta coù   x  9  7  x  4  f  x  4    x; y    9; 9  ; 7;7  ;  9;7  ; 7; 9  .   f y  4 7  y  y  9  4              Thay x; y bôûi 9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9 vaøo heä phöông trình ñaõ cho ta coù TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 6 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 nghieäm cuûa heä phöông trình laø  Caùch 8:   x9  7 y 4 (1)   y9  7x 4 (2) Xeùt heä phöông trình  Ñaët x  m  y , (ñieàu kieän toàn taïi caên thöùc laø 7  x  m  0; x  m  9  0 ). Ta thu ñöôïc heä phöông trình vôùi aån m vaø x laø :    x9  7xm  4  x  9  7  x  m  2 x  9. 7  x  m  16      xm9  7x  4  x  m  9  7  x  2 x  m  9. 7  x  16  m  2 x  9. 7  x  m  0   m  2 x  m  9. 7  x  0 (3) (4) . Töø (3) suy ra m  0  m  0 vaø töø (4) suy ra m  0 . Vaäy ñeå (3) vaø (4) ñoàng thôøi xaûy ra thì ta phaûi coù m  0 . Vaäy heä (3), (4) trôû thaønh   x  9. 7  x  0     x  9. 7  x  0 x  9  0 x  9. 7  x  0    7  x  0   x  9 .  x  7  Maø x  m  y vôùi m  0 neân x  y .  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø  Caùch 9: TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 7 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com    x9  7 y 4   Ta coù  y  9  7  x  4      x  1  8   y  1  8  8   y  1  4 8   x  1  4 Ñaët x  1  u; y  1  v . Ta thu ñöôïc heä phöông trình vôùi aån u vaø v laø :   u8  8v  4 .    v8  8u  4 9  x  7 8  x  1  8 Do  neân  9  y  7 8  y  1  8 8  u  8 , suy ra  8  v  8 .    . Ta thu ñöôïc heä phöông trình  2 Ta laïi ñaët u  8 cos2a ; v  8 cos2b vôùi a, b  0; vôùi aån a vaø b laø :    8 cos 2a  8  8  8 cos 2b  4  8  cos 2a  1  8 1  cos 2b  4   8 cos 2 b  8  8  8 cos 2 a  4   8  cos 2b  1  8 1  cos 2a   4            8 2 cos2 a  8 2 sin 2 b  4   4 cos a  4 sin b  4    8 2 cos2 b  8 2 sin 2 a  4 4 cos b  4 sin a  4     cos a  sin b  1   cos a  sin b  cos b  sin a  2 . (*) cos b  sin a  1   Do cos a  cos2 a; sin b  sin2 b; cos b  cos2 b; sin a  sin2 a 2 2 2 2 neân cos a  sin b  cos b  sin a  cos a  sin b  cos b  sin a  2 . Vaäy (*) xaûy ra khi ta coù : TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 8 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com  cos a   sin b   cos b   sin a  cos a 2 cos a  cos2 a cos a  cos2 a  0   2 2  sin 2 b   sin b  sin b sin b  sin b  0   ( löu yù a, b  0;  )   2 2 2  cos b  2 cos b  cos b cos b  cos b  0 2 2   sin a  sin a sin a  sin a  0  sin 2 a  cos a  0   cos a  1  sin b  0 cos a  0 cos a  0 cos a  1 cos a  1       sin b  1 sin a  1 sin a  1 sin a  0 sin a  0 .   ; ; ;  cos b  1 cos b  0 cos b  1 cos b  0 cos b  1  cos b  0 sin b  1 sin b  0 sin b  1 sin b  0  sin a  1   sin a  0 Laïi do cos2 a  sin2 a  1; cos2 b  sin2 b  1 neân ta chæ caàn xeùt vôùi cos a  0 cos a  0 cos a  1 cos a  1 ; ; ; .  cos b  0 cos b  1 cos b  0 cos b  1 1  cos 2a 0  cos a  0 cos 2a  1  2   TH1:  cos b  0 cos 2b  1 1  cos 2b  0  2  u  8  x  1  8  x  9 .(thoûa maõn baøi toaùn)    v  8  y  1  8  y  9 1  cos 2a 0  cos a  0 cos 2a  1  2   TH2:  cos b  1 cos 2b  1 1  cos 2b  1  2  u  8   v  8  x  1  8   y  1  8 TranTuanAnh858@gmail.com  x  9 .( khoâng thoûa maõn baøi toaùn)  y  7 www.DeThiThuDaiHoc.com Page 9 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com 1  cos 2a 1  cos a  1  2   TH3:  cos b  0 1  cos 2b  0  2  cos 2a  1  cos 2b  1 u  8 x  1  8 x  7 .( khoâng thoûa maõn baøi toaùn)    v  8  y  1  8  y  9 cos a  1  TH4:  cos b  1  u  8   v  8 1  cos 2a 1   2   1  cos 2 b  1  2  x  1  8   y  1  8 cos 2a  1  cos 2b  1 x  7 .(thoûa maõn baøi toaùn)  y  7  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 Keát luaän: heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm laø  Caùch 10:   x9  7 y 4 (1)   y9  7x 4 (2) Xeùt heä phöông trình  Ñaët x  m  y , ta coù : 7  y  0  7  x  m  0  x  7  m ; y  9  0  x  m  9  0  x  m  9 . Laïi do 9  x  7 neân ñeå toàn taïi caùc caên thöùc baäc hai ta caàn coù 7  m  7  m  9  9 m  0   m  0 . Vôùi m  0 thì x  y . m  0 Theá x  y vaøo (1) ta thu ñöôïc phöông trình : TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 10 10 caùch giaûi cho moät heä phöông trình - Traàn Tuaán Anh www.MATHVN.com x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0 x  7  y  7 .   x2  2x  63  0    x  9  y  9  x  9  x  7 . ;  y  9  y  7 Vaäy heä phöông trình coù nghieäm  Baøi vieát cuûa: Traàn Tuaán Anh – TranTuanAnh858@gmail.com TranTuanAnh858@gmail.com www.DeThiThuDaiHoc.com Page 11
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