Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG
CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lời mở đầu.
Căn cứ vào chủ trƣơng đƣờng lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà
nƣớc. Căn cứ vào phƣơng hƣớng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của
trƣờng THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2012 – 2013.
Trong quá trình giảng dạy, tôi đƣợc nhà trƣờng tin tƣởng giao cho dạy các
lớp mũi nhọn, đối tƣợng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi. Chính vì vậy
ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dƣỡng các
em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi
dƣỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một.
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai trò quan
trọng hàng đầu. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập
phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm số, trong đề tài của mình
tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm số là một số bài toán khoảng cách
liên quan đến đồ thị hàm số.
Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dƣỡng học sinh ôn thi đại
học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai
thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng
cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số
phƣơng pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán
khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình trạng khi các em gặp
phải các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số thƣờng làm phức
tạp vấn đề hay không giải đƣợc. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các
bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp
các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng vấn đề
Hiện nay khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, một
số học sinh chƣa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thƣờng làm
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
1
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài toán, các em chƣa biết lựa chọn
kiến thức hình học phù hợp với các bài toán.
2. Hệ quả của thực trạng trên
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu nhƣ học sinh mất rất nhiều thời
gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tƣ duy hạn chế chƣa
biết cách phối hợp giữa hình học và các bài toán đồ thị hàm số. Chính vì vậy
ngƣời dạy phải hƣớng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết
thúc bài toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện.
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng
kiến thức hình học nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phƣơng pháp
giải phù hợp.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán khoảng cách liên
quan đến đồ thị hàm số, trƣớc hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các
kiến thức hình học về khoảng cách và kiến thức của hàm số. Sau đó giáo viên
chọn một số bài toán điển hình cho các hàm số để học sinh vận dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đƣa ra một số bài toán tƣơng đối đầy đủ về các bài
toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
1. Kiến thức toán có liên quan
- Khoảng cách giữa hai điểm.
- Công thức khoảng cách từ một điểm đến đƣòng thẳng.
- Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức
bậc 2: bậc 1.
- Sử dụng bảng biến thiên của hàm số.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
1
3
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số y f ( x) x3 mx 2 x m 1 có
khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bƣớc
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đƣa ra toạ độ các điểm
cực trị
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng hàm số
hoặc các bất đẳng thức cơ bản đƣa ra giá trị nhỏ nhất của khoảng cách đó từ
đó tìm ra m.
Bài giải:
Ta có: f '( x) x 2 2mx 1 có m2 1 0, m f '( x) có hai nghiệm phân
biệt x1; x2 và hàm số đạt cực trị tại x1; x2 khi đó gọi các các điểm cực trị của đồ
thị hàm số là
A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ).
x1 x2 2m
.
x1 x2 1
Theo Viét ta có:
Thực hiện phép chia f ( x) cho f '( x) ta có:
1
2
2
f ( x) ( x m). f '( x) (m2 1) x ( m 1).
3
3
3
2 2
2
y1 f ( x1 ) 3 (m 1) x1 ( 3 m 1)
f '( x1 ) 0
Do
nên
.
2
2
2
f '( x2 ) 0
y f (x )
(m 1) x2 ( m 1)
2
2
3
3
Ta có:
4
AB 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( x2 x1 ) 2 ( m2 1)( x2 x1 ) 2
9
4
[( x2 x1 ) 2 4 x1 x2 ][1 ( m 2 1) 2 ]
9
4
4
(m2 1)[1 (m2 1)2 ] 4(1 )
9
9
2 13
AB
3
Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
2 13
.
3
THPT Hoàng Lệ Kha
3
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x) x3 3x 2 3(m 2 1) x 3m 2 1 . Tìm m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O.
Phân tích bài toán: Bài toán này ta làm theo hai bƣớc sau:
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay đƣợc cực trị.
Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta đƣợc giá trị m cần tìm.
Bài giải:
Ta có: f '( x) 3x 2 6 x 3(m2 1).
Hàm số đạt cực đại cự tiểu khi phƣơng trình f '( x) 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: f '( x) 0 3x 2 6 x 3(m2 1) 0.
Ta cần có ' 1 m2 1 m2 0 m 0.
Với điều kiện đó hàm số có cực trị là x1 1 m; x2 1 m .
Gọi hai điểm cực trị là: A(1 m; 2 2m3 ); B(1 m; 2 2m3 ).
Khi đó:
OA OB (1 m)2 (2 2m3 )2 (1 m) 2 (2 2m3 ) 2
16m3 4m 0
m 0
.
m 1
2
1
2
Đối chiếu điều kiện m .
Ví dụ 3: Cho hàm số y f ( x)
x 2 mx m
. Chứng minh với mọi m
x 1
khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là không đổi.
Phân tích bài toán: Bài toán này rất đơn giản ta làm theo hai bƣớc
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay đƣợc 2 cực trị.
Bước 2: Tính khoảng cách và đƣa ra điều phải chứng minh.
Bài giải:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
4
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
x2 2 x
Ta có: f '( x)
.
( x 1) 2
x 0
f '( x) 0
hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-m), B(2;4-m).
x
2
Khoảng cách hai điểm cực trị là: d (2 0)2 [(4 m) (m)]2 2 5.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Cho hàm số y f ( x)
x 2 2mx 2
. Tìm m để đồ thị hàm số có
x 1
điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đƣờng thẳng (d):
x y 2 0 là bằng nhau.
Phân tích bài toán: Bài toán này ta giải theo các bƣớc sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cƣc tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đƣ ra toạ độ hai điểm
cực trị.
Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng
ta suy ra m.
Bài giải:
Ta có: f '( x)
x 2 2 x 2m 2
. Đặt: g ( x) x 2 2 x 2m 2; ' 3 2m.
( x 1) 2
Hàm số có cực đại và cực tiểu f '( x) 0 có hai nghiệm phân biệt
g ( x) 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' 0
3 2m 0
3
m (*) .
2
g (1) 0 3 2m 0
1
Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có: A( x1; 2 x1 2m), B( x2 ; 2 x2 2m).
x1 x2 2
.
x1 x2 2m 2
Với x1; x2 là hai nghiệm g ( x) 0 , áp dụng viét ta có
Ta có: d ( A;(d ))
x1 2 x1 2m 2
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
2
3 x1 2m 2
2
;
THPT Hoàng Lệ Kha
5
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
d ( B;( d ))
Khi đó:
x2 2 x2 2m 2
2
Năm học 2012 - 2013
3 x2 2 m 2
d ( A;(d )) d ( B;( d ))
2
.
3 x1 2m 2
2
3 x2 2m 2
2
3x1 2m 2 3x2 2m 2
(3x1 2m 2) 2 (3x2 2m 2) 2
(3x1 3x2 )(3x1 3x2 4m 4) 0
1
3x1 3x2 4m 4 0 m .
2
1
2
Đối chiếu (*) m thoả mãn.
Ngoài cách làm trên ta còn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ sở hai
điểm A, B cách đều (d) khi AB song song với d hoặc trung điểm của AB
thuộc (d).
Ví dụ 5: Cho hàm số y f ( x)
x 2 mx
. Tìm m để hàm số có cực trị
1 x
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10.
Phân tích bài toán: Bài toán này làm theo ba bƣớc:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của điểm cực
đại, điểm cực tiểu.
Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.
Bài giải:
Ta có: f '( x)
x2 2x m
.
(1 x) 2
Đặt: g ( x) x 2 2 x m; ' 1 m .
Hàm số có cực đại, cực tiểu g ( x) 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
' 0
m 1 0
m 1(*).
g (1) 0 1 m 0
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
6
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Khi đó sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là:
A( x1 ; 2 x1 m); B( x2 ; 2 x2 m). Với x1 ; x2 là 2 nghiệm của phƣơng trình
g ( x) 0 .
x1 x2 2
.
x1 x2 m
Theo viét:
Ta có:
AB 10 AB 2 100 ( x2 x1 ) 2 4( x2 x1 ) 2 100
( x2 x1 ) 2 20 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 20
4 4m 20 m 0.
Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn.
Ví dụ 6: Cho hàm số y f ( x)
3x 5
có đồ thị (H). Tìm trên (H) điểm
x2
M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang.
Bước 2: Tính tổng các khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức côsi tìm giá
trị nhỏ nhất. Từ đó tìm đƣợc điểm M.
Bài giải:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 3 , tiệm cận đứng x 2 .
Gọi toạ độ M (a; a
1
) ( H ) . Khi đó tổng khoảng cách từ M đến hai đƣờng
a2
tiệm cận là: d (M ) xm 2 yM 3 m 2
Dấu bằng xẩy ra khi: m 2
1
1
2 m2 .
2
m2
m2
m 1
1
(m 2)2 1
m2
m 3
Từ đó ta có M(1;2) và M(3;4).
Ví dụ 7: Cho hàm số y f ( x)
x 2 3x 3
có đồ thị (C). Tìm M thuộc
x2
(C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
7
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M đến hai
tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có giá trị nhỏ nhất từ đó tìm
đƣợc M.
Bài giải:
Ta dễ tìm đƣợc tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: x 2 0 ; Tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số là x y 1 0 .
a 2 3a 3
Gọi M( a;
) thuộc (C). Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm cận là :
a2
d ( M ) x0 2
x0 y0 1
2
x0 2
1
2 x0 2
Theo bất đẳng thức côsi ta có:
d ( M ) 2 x0 2
1
48
2 x0 2
Tức là giá trị nhỏ nhất của d(M) là 4 8 khi
x0 2
1
1
2
x0 2
( x0 2)
2 x0 2
2
x0 2
1
2
Vậy toạ độ M( 2 4 ; 1 4 2
1
2
1
4
2
4
1
1
1
) hay M( 2 4 ; 1 4 2 4 ).
2
2
2
4
Ví dụ 8: Cho hàm số y f ( x)
x 2 5 x 15
có đồ thị (C). Tìm M thuộc
x3
(C) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M
đến trục tung.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d1, khoảng cách từ M
đến trục tung d2. Ta có phƣơng trình d1=2d2 từ đó tìm đƣợc M.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
8
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Bài giải:
a 2 5a 15
Gọi toạ độ M( a;
)
a3
Khoảng cách từ M đến trục hoành là: d1
a 2 5a 15
.
a3
Khoảng cách từ M đến trục tung là: d2 a .
Ta có: d1 2d2
a 2 5a 15
a
a3
Xét hai trƣờng hợp:
1 61
a
a 5a 15
2
+ Trường hợp 1:
a a 2 a 15 0
a3
1 61
a
2
2
Khi đó toạ độ M là: (
1 61
1 61
; 1 61);(
; 1 61) .
2
2
a 2 5a 15
a 3a 2 11a 15 0 phƣơng trình này vô
+ Trường hợp 2:
a3
nghiệm.
Vậy toạ độ M là: (
1 61
1 61
; 1 61);(
; 1 61) .
2
2
Ví dụ 9: Cho hàm số y f ( x)
x 1
có đồ thị (H). Tìm M thuộc (H)
x 1
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M đến hai
trục toạ độ.
Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để thuận lợi cho
việc tìm giá trị nhỏ nhất.
Bài làm:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
9
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Gọi toạ độ M( a;
Năm học 2012 - 2013
a 1
) thuộc (H).
a 1
Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là:
d (M ) a
a 1
.
a 1
Để ý rằng với M(1;0) thì d(M)=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta
a 1
1 a 1
0 a 1.
chỉ cần xét khi: a 1
1
a
1
a
1
a 1
Với 0 a 1 thì d ( M ) a
a 1
a 1
1
a
(a 1)
2
a 1
a 1
a 1
Áp dụng côsi ta có: d (M ) 2 (a 1)
2
2 2 2 2
(a 1)
2
a 1
Khi đó giá trị d(M) nhỏ nhất khi:
a 1 a 2 1
0 a 1
Vậy toạ độ M( 2 1;1 2 ).
Ví dụ 10: Cho hàm số y f ( x)
x2 x 6
có đồ thị là (C). Tìm điểm M
x 3
thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ M( a;
a2 a 6
6
) hay M( a; a 4
).
a 3
a 3
Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới hạn miền
lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
x2 x 6
6
Gọi toạ độ M( x;
) hay M( x; x 4
).
x3
x 3
Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
10
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
d (M ) x x 4
Năm học 2012 - 2013
6
.
x 3
Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét với x 2 ,
xét hai khả năng:
*) Nếu 2 x 0 thì d (M ) g ( x) 4
g '( x)
6
x 3
6
0 suy ra giá trị nhỏ nhất trên [-2;0] là g(0)=2.
( x 3) 2
*) Nếu 0 x 2 thì d (M ) p( x) 2 x 4
p '( x) 2
6
x 3
x 3 3
6
0
2
( x 3)
x 3 3
Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d(M) trên [0;2] là p(0)=p(2)=2.
Vậy toạ độ M(2;0) và M(0;2).
Ví dụ 11: Cho hàm số y f ( x)
4x 9
có đồ thị (H). Tìm trên mỗi
x 3
nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn
hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A( 3; 4
3
); B( 3 ; 4
3
)
với , là hai số dƣơng.
Bước 2: Tính khoảng cách AB theo , sử dụng linh hoạt bất đẳng
thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
Gọi toạ độ của A( 3; 4
3
); B( 3 ; 4
3
) với , là hai số dƣơng.
3
3
Ta có: AB 2 ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( )2 ( )2 áp dụng côsi.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
11
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
9( ) 2
9
9
AB ( )
( ) 2 [1
] 4 [1
]
2
2
( )
( )
( ) 2
2
2
AB 2 4(
9
) 4.2 .
9
24
0
Dấu bằng xẩy ra khi:
9 3
Vậy toạ độ A( 3 3; 4 3 ); B( 3 3; 4 3 ).
Ví dụ 12: Cho hàm số y f ( x)
x2 2x 5
có đồ thị là (C). Tìm trên
x 1
mỗi nhánh của đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là
nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn
4
4
hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A( 1; ); B(1 ;
)
với , là hai số dƣơng.
Bước 2: Tính khoảng cách AB theo , sử dụng linh hoạt bất đẳng
thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
4
4
Gọi toạ độ của A( 1; ); B( 1 ;
) với , là hai số dƣơng.
Ta có:
4 4
AB 2 ( xB xA )2 ( yB y A ) 2 ( ) 2 [( ) ( )]2
( )2 [1 (1
4
)2 ]
Áp dụng côsi ta có:
AB 2 (2 )2 (2
8
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
16
2
2
) 8(
8
4) 8(2 .
8
4) 32( 2 1)
THPT Hoàng Lệ Kha
12
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
0
Dấu bằng xẩy ra:
8 4 8.
Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A( 1 4 8; 4 8 2 4 2 ); B( 1 4 8; 4 8 2 4 2 ).
Ví dụ 13: Cho hàm số y f ( x)
x2 4 x 5
có đồ thị (C). Tìm M thuộc
x2
(C) để khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng : 3x y 6 0 nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C).
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến : 3x y 6 0 , sau xử lý khéo giá
trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số.
Bài giải:
Gọi điểm M( m;
m 2 4m 5
1
) hay M( m; m 2
) thuộc (C).
m2
m2
Khoảng cách từ M đến : 3x y 6 0 là:
3m (m 2
d ( M ; )
1
)6
m2
1
m2
10
4m 8
32 12
1
4(m 2)
1
1
1
1
2 10
m2
(2 m 2
)
.2 2 m 2 .
m2
m2
5
10
10
10
Khoảng cách từ M đến : 3x y 6 0 nhỏ nhất bằng
2 10
, xẩy ra khi
5
5
m
1
2
4 m2
4( m 2) 2 1
m2
m 3
2
5
2
5
2
3 5
2 2
Vậy toạ độ M là: ( ; );( ; ).
Ví dụ 14: Cho hàm số y f ( x)
3x 2 cos 4 x sin 7
có đồ thị (C).
x 1
Tìm để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
13
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Phân tích bài toán:
Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất đẳng
thức Buanhiacopski để đƣ ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm đƣợc .
Bài giải:
Ta có:
y
3x 2 cos 4 x sin 7
4sin 3cos 7
3x cos 4sin 3cos
x 1
x 1
Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là:
y (3cos ) x 4sin 3cos (3cos ) x y 4sin 3cos 0 .
Khoảng cách từ O(0;0) đến tiệm cân xiên là:
d (O; )
4sin 3cos
9cos2 1
4.sin
3
. 10 cos
10
sin 2 10cos 2
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có:
(42
d (O; )
9
)(sin 2 10cos2 )
13 10
10
2
2
10
sin 10cos
Khoảng cách lớn nhất từ O(0;0) đến tiệm cân xiên là
Khi
13 10
10
sin
4
40
40
tan
arctan( ) k , (k )
3
3
3
10.cos
10
Vậy arctan(
40
) k , ( k ) .
3
Ví dụ 15: Giả sử là tiếp tuyến tại M(0;1) của đồ thị hàm số
y f ( x)
2x 1
(C). Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà
1 x
khoảng cách từ điểm đó đến là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
14
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
Bước 1: Tìm phƣơng trình tiếp tuyến .
Bước 2: Dùng phƣơng pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách nhỏ nhất
trên miền (1; ) .
Bài giải:
Ta có: y '
3
.
(1 x) 2
Phƣơng trình tiếp tuyến là: y 3x 1 .
Gọi N ( x0 ; y0 ) (C )( x0 1) có khoảng cách tới nhỏ nhất.
Thế thì x0 là nghiệm của phƣơng trình:
y '( x0 ) 3
x0 2
3
3
x0 2
2
(1 x0 )
x0 0
Vậy toạ độ điểm cần tìm là N(2;-5).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số y f ( x) 2 x3 mx 2 12 x 13 . Tìm để đồ thị hàm số có điểm
cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy.
Bài 2: Cho hàm số y f ( x)
2x 1
có đồ thị (C). Tìm toạ độ M trên (C) sao
x 3
cho tổng khoảng cách từ M đến hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hàm số y f ( x)
4 x 7
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng
2x 1
khoảng cách từ M đến các đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hàm số y f ( x)
5x 8
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho tổng
3x 2
khoảng cách giữa hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hàm số y f ( x)
2 x 5
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C)
3x 2
các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hàm số y f ( x)
x2
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) cách đều hai
x2
trục toạ độ.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
15
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Bài 7: Cho hàm số y f ( x)
Năm học 2012 - 2013
x 1
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng
x2
khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 8: Cho hàm số y f ( x)
x2
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho
x 3
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận
ngang.
Bài 9: Cho hàm số y f ( x)
x2 2 x 5
có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho
x2
tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hàm số y f ( x)
x2 x 1
có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho
x 1
khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hàm số y f ( x)
x2 2 x 2
có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao
x 1
cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 12: Cho hàm số y f ( x)
x2 x 5
có đồ thị (C). Chứng minh rằng tích
x2
khoảng cách từ M bất kỳ trên (C) đến các tiệm cận là hằng số.
Bài 13: Cho hàm số y f ( x)
x2 x 5
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của
x2
(C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
Bài 14: Cho hàm số y f ( x)
x2
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C)
x 1
các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15: Cho hàm số y f ( x)
x2 x 1
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của
x 1
(C)
Các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 16: Cho hàm số y f ( x)
3 x 2 7 x 1
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh
2x 1
của đồ thị (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chung nhỏ nhất.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
16
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
2 x 2 3x 5
Bài 17: Cho hàm số y f ( x)
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để
x 1
khoảng cách từ M đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ M đến trục tung.
4 x 2 7 x 18
Bài 18: Cho hàm số y f ( x)
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao
2x 5
cho tổng khoảng cách từ M đến hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất.
x 2 3x 5
Bài 19: Cho hàm số y f ( x)
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng
2x 2
khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất.
2 x 2 sin 3 x cos 6
Bài 20: Cho hàm số y f ( x)
có đồ thị (C). Tìm để
x 1
khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên là lớn nhất.
4 x 2 sin 5 x cos 11
Bài 21: Cho hàm số y f ( x)
. Tìm để khoảng cách từ
x2
A(-1;0) đến tiệm cận xiên là lớn nhất.
C. KẾT QUẢ
I. Kết quả nghiên cứu
Thông qua hệ thống các bài toán về khoảng cách liên quan đến đồ thị
hàm số ở trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ
vận dụng, không quá phức tạp với học sinh.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đƣa ra hệ thống
bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác
nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các
bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tƣơng đối cao, bài giải trở nên
sáng sủa, ngắn gọn. Hầu hết các em vận dụng tốt.
II. Kiến nghị
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết
thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo, nhất là
các sáng kiến đổi mới phƣơng pháp giảng dạy cần đƣợc tập hợp trong một kỷ
yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và
phụ huynh đƣợc tham khảo.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
17
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Năm học 2012 - 2013
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ......................................................................Trang 1.
I. Lời mở đầu............................................................................Trang 1.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu...........................................Trang 1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.......................................................Trang 2.
I. Các giải pháp thực hiện........................................................Trang 2.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện...............................................Trang 2.
1. Kiến thức chuẩn bị................................................................Trang 2.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.............Trang 2.
C. KẾT QUẢ.............................................................................Trang 17.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 10 Nâng cao.
2. Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
3. Sách bài tập Đại số - Giait tích 12 Nâng cao.
4. Hàm số tập 1. Tác giả: Phan Huy Khải.
5. Hàm số tập 1. Tác giả Trần Phƣơng.
6. Báo toán học và tuổi trẻ.
7. Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2012.
8. Nguồn khác: Internet.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05
năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của ngƣời khác.
Mai Văn Ngọc
Giáo viên: Mai Văn Ngọc
THPT Hoàng Lệ Kha
18
- Xem thêm -
.PDF 
18 
191 
82 
