Tài liệu 02. sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán

Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n PhÇn mét: §Æt vÊn ®Ò HiÖn nay ,gi¸o dôc kh«ng ngõng ®-îc c¶i c¸ch vµ ®æi míi .§Ó kÞp víi xu h-ín g nµy ,rÊt nhiÒu yªu cÇu ®-îc ®Æt ra .Mét trong sè ®ã chÝnh lµ lµm sao ®Ó cã ®-îc nh÷ng ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n hay ,nhanh,mµ vÉn cho kÕt qu¶ chÝnh x¸c .Ph-¬ ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè lµ mét ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n nh- vËy. Cã rÊt nhiÒu bµi to¸n tho¹t nh×n t-ëng rÊt khã,nÕu gi¶i ®-îc th× lêi gi¶i sÏ khã hiÓu,r¾c rèi .Nh-ng nÕu ¸p dông ph-¬ng ph¸p nµy ,bµi to¸n sÏ trë thµnh ®¬n gi¶n ,gän h¬n rÊt nhiÒu .§ã chÝnh lµ mét trong nh÷ng øng dông cña ph-¬ng ph¸p nµy ,ngoµi ra ph-¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cßn ph¸t huy sù -u viÖt trong nhiÒu tr-êng hîp kh¸c . Nãi tãm l¹i,Ph-¬ng ph¸p nµy rÊt cÇn thiÕt ®èi víi c¸c em häc sinh ®ang chuÈn bÞ «n thi tèt nghiÖ trung häc phæ th«ng,thi ®¹i häc vµ cao ®¼ng.Nã sÏ gióp c¸c em ph¸t huy tèi ®a tÝnh s¸ng t¹o trong viÖc t×m ra con ®-¬ng gi¶i to¸n nhanh nhÊt ,hay nhÊt vµ chÝnh x¸c nhÊt . Trong qu¸ tr×nh d¹y häc m«n to¸n ë bËc trung häc phæ th«ng, chóng ta gÆp rÊt nhiÒu bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ,gi¶i ph-¬ng tr×nh ,bÊt ph-¬ng tr×nh ,hÖ ph-¬ng tr×nh.§Ó gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng trªn cã bµi ta gi¶i ®-îc b»ng nhiÒu ph-¬ng ph¸p kh¸c nhau , còng cã bµi chØ cã thÓ gi¶i ®-îc b»ng ph-¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña h µm sè.Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n lµ mét ph-¬ng ph¸p hay,th«ng th-êng ®Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n sÏ ®¬n gi¶n,gän nhÑ h¬n so víi ph-¬ng ph¸p kh¸c . Tuy nhiªn ®Ó häc sinh cã kü n¨ng ta cÇn hÖ thèng ho¸ l¹i bµi tËp ,®Ó häc sinh vµ gi¸o viªn bít lóng tóng h¬n. Ph-¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n ,chiÕm mét vÞ trÝ ®Æc biÖt quan träng trong c¸c bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc, gi¶i ph-¬ng tr×nh ,bÊt ph-¬ng tr×nh ,hÖ ph-¬ng tr×nh.Ph-¬ng ph¸p nµy dùa trªn mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn cña mét hµm sè víi ®¹o hµm cña nã . SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 1 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n §Ó sö dông ph-¬ng ph¸p nµy,®iÒu cèt yÕu lµ chóng ta cÇn x©y dùng mét hµm sè thÝch hîp ,råi nghiªn cøu tÝnh ®ång biÕn ,nghÞch biÕn cña nã trªn ®o¹n thÝch hîp. C¸c hµm sè Êy trong nhiÒu tr-êng hîp cã thÓ nhËn tra ngay tõ ®Çu ,cßn trong c¸c tr-êng hîp ®Æc biÖt ta cÇn kh«n khÐo ®Ó ph¸t hiÖn ra chóng . SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 2 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n PhÇn hai: Néi dung ,ph-¬ng ph¸p ,c¸ch thøc thùc hiÖn. A.KiÕn thøc cÇn nhí ! Hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn ®o¹n [a;b] ®-îc gäi lµ ®ång biÕn trªn ®o¹n Êy, nÕu víi mäi x 1 < x2 thuéc ®o¹n [a ;b] ta ®Òu cã f(x 1) < f(x2) . §iÒu kiÖn ®Ó y = f(x) ®ång biÕn trªn [a ;b] lµ y'= f(x)  0 , x  [a ;b] .§ång thêi dÊu ''='' ®¹t ®-îc t¹i mét sè ®iÓm riªng biÖt. §èi víi hµm ®ång biÕn th× y max= y(b) , ymin= y(a) (a < b) ,®ång thêi nÕu ph-¬ng tr×nh f(x) =0 cã nghiÖm th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt. T-¬ng tù, y = f(x) ®-îc gäi lµ nghÞch biÕn trªn [a ;b] lµ y' = f'(x)  0 , x  [a;b]. §ång thêi dÊu ''='' ®¹t ®-îc t¹i mét sè ®iÓm riªng biÖt. §èi víi hµm nghÞch biÕn th× y max= y(a) , ymin= y(b) (a < b) ,®ång thêi nÕu ph-¬ng tr×nh f(x) =0 cã nghiÖm th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt. Hµm sè y = f(x) chØ ®ång biÕn hoÆc chØ nghÞch biÕn trªn ®o¹n [a;b] ®-îc gäi lµ ®¬n ®iÖu trªn ®o¹n Êy. Hµm ®¬n ®iÖu cã tÝnh chÊt quan träng sau ®©y: f(x) = f(y)  x = y. NÕu f(x) ®ång biÕn , g(x) nghÞch biÕn th× : 1) NÕu ph-¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm x = x 0 th× nghiÖm Êy lµ duy nhÊt 2) NghiÖm cña bÊt ph-¬ng tr×nh f(x) > g(x) lµ giao cña x>x 0 vµ miÒn x¸c ®Þnh cña bÊt ph-¬ng tr×nh . 3) NghiÖm cña bÊt ph-¬ng tr×nh f(x) < g(x) lµ giao cña x< x 0 vµ miÒn x¸c ®Þnh cña bÊt ph-¬ng tr×nh . SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 3 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n B.Mét sè vÝ dô : I. VÝ dô 1: Ph-¬ng tr×nh gi¶i ph-¬ng tr×nh: x  1 - 4  x = 1 (1) Gi¶i: ®iÒu kiÖn -1  x  4  (1)  x  1 = 1+ 4  x Cã nghiÖm x = 3, v× 3 1 = 2 = 1 + 4  3 = 2 §óng vµ v× vÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn ( ®¹o hµm d-¬ng) , vÕ ph¶i lµ hµm nghÞch biÕn ( ®¹o hµm ©m), nªn x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (1). NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ®-a ph-¬ng tr×nh v« tû vÒ sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu , tr¸nh ®-îc b×nh ph-¬ng 2 lÇn dÔ dÉn ®Õn mÊt nghiÖm. VÝ dô 2.Gi¶i ph-¬ng tr×nh. x5 +x3 - 1  3x +4 =0 Gi¶i: §iÒu kiÖn x  1/ 3 . §Æt f(x) = x 5 +x3 - 1  3x +4 Ta cã f'(x) = 5x 4 +3x2 + 3 >0 2 1  3x 1  f(x) ®ång biÕn / ( , ] 3 MÆt kh¸c f(-1) = 0 nªn ph-¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm duy nhÊt x = -1. VÝ dô 3. Gi¶i ph-¬ng tr×nh . x2  15  3x  2  x 2  8 Gi¶i.Ph-¬ng tr×nh  f ( x)  3x  2  x 2  8  x 2  15  0 (*) NÕu x  2/ 3 th× f(x) <0  ph-¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm .  1  1 2   0 x> NÕu x >2/3 th× f'(x) = 3 + x   2 3 x 2  15   x 8 2   f(x) ®ång biÕn /  ,   3  Mµ f(1) = 0 nªn (*) cã ®óng mét nghiÖm x = 1. SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 4 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ VÝ dô 4: Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh :  2 3   x GV: Vò Hoµng S¬n 2 3  2 x x (1) Gi¶i: NhËn thÊy x = 2 lµ nghiÖm ,v× khi ®ã ta cã : 2- 3  2  3  4  22 x x 2 3 2 3 V× 2 > 0 nªn (1)       1 4 4     x Do 2 3 2 3  1 4 4 Nªn vÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn ,vµ v× vËy x =2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (1) . NhËn xÐt .C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ph¸t hiÖn ra c¬ sè bÐ h¬n 1 ®Ó sö dông tÝnh nghÞch biÕn. VÝ dô 5:Gi¶i ph-¬ng tr×nh : x + lg(x 2 -x -6) = 4 +lg(x +2). Gi¶i: §iÒu kiÖn x +2>0, x 2 - x -6 >0  x  3. VËy (1)  x + lg(x +2) +lg(x -3) = 4 +lg(x +2)  lg(x -3) = 4 -x (2) Ph-¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x =4 v× khi ®ã ta cã lg1 = 0 ®óng . V× vÕt tr¸i ®ång biÕn (c¬ sè l«garit lín h¬n 1).VÕ ph¶i nghÞch biÕn ( ®¹o hµm ©m) , Nªn (2) cã nghiÖm duy nhÊt x = 4 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 3) VÝ dô 6: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2log3cotgx = log 2cosx Gi¶i: §iÒu kiÖn cosx > 0,sinx > 0 . log2cosx = y  cosx = 2 y  log3cotg2x = log 2cosx = y §Æt cos2 x 4y V× cotg x =  1  cos2 x 1  4 y  cotg2x = 3 y 2 y 3  3 - 12 = 4     3 y  1, cã nghiÖm duy nhÊt y = -1 4 y y y V× vÕ tr¸i c¬ sè 3/4 <1 lµ hµm nghÞch biÕn ,vÕ ph¶i c¬ sè 3>1 lµ hµm ®ång biÕn . VËy cosx = 2 -1 = 1/2  x =  / 3  2k , k  R . KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ,ta ®-îc nghiÖm cña (1) lµ : x=  3  2k , k  z . NhËn xÐt .C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ®-a (1) vÒ d¹ng ph-¬ng tr×nh mò kh«ng chÝnh t¾c ®Ó sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu. SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 5 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n VÝ dô 7: gi¶i ph-¬ng tr×nh 3 x 2 - 2x 3 = log 2 (x 2 + 1) - log 2 x (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn: x > 0. víi ®iÒu kiÖn Êy (1)  x 2 (3-2x) - log 2 (x + Do x > 0 nªn x+ 1 ) x (2) 1  2 vµ do vÕ ph¶i lµ hµm loga cã c¬ sè lín h¬n 1, x nªn lµ hµm ®ång biÕn  log 2 (x + 1 )  log22 = 1. x VËy th× vÕ tr¸i d-¬ng  x2(3-2x) >0  3-2x > 0. Ta cã x2(3-2x) = x.x.(3-2x) lµ tÝch cña 3 sè d-¬ng ,cã tæng kh«ng ®æi b»ng 3 ,nªn nã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 1 ,khi x = 3 -2x = 1. Nh- vËy lµ VT  1 ,®¹t dÊu = khi x = 1 , VP  1 , ®¹t dÊu = khi x = 1  ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ¸p dông linh ho¹t hÖ qu¶ cña bÊt ®¼ng thøc C«si vµ tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm logarit. VÝ dô 8. gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh: 3.4x + (3x-10)2x + 3 - x = 0 Gi¶i. ®Æt y = 2 x > 0, khi ®ã ta cã 3y2 + (3x - 10)y + 3 - x = 0 Tõ ®ã y = 3x  10  (3x  8)  6 NÕu y 1 = 1 = 2x  x = -log23. 3 y1 = 1 hoÆc y 2 = 3-x 3 NÕu y 2 = 3 - x = 2 x , ta cã x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt , v× khi ®ã 3 -1 = 2 ®óng vµ v× vÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn ( cã ®¹o hµm ©m) , vÕ ph¶i lµ hµm ®ång biÕn ( c¬ sè hµm mò lín h¬n 1). NhËn xÐt.C¸ch gi¶i nµy hay ë chæ biÕt chän Èn sè míi thÝch hîp ®Ó ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai vµ sö dông ®-îc tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè. SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 6 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ II. GV: Vò Hoµng S¬n BÊt h-¬ng tr×nh VÝ dô 1. gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh x9 >5 - 2x  4 (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn x  2. do vÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn( ®¹o hµm d-¬ng) vÕ ph¶i la hµm nghÞch biÕn(®¹o hµm ©m) nªn nghiÖm cña (2) lµ giao cña x  2 vµ x > x 0 vãi x 0 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x9 =5 - 2x  4 ; ph-¬ng tr×nh cuèi cã nghiÖm duy nhÊt x =0, v× khi ®ã ta cã 9 =5- 4 ®óng vµ vÕ tr¸i ®ång biÕn, vÕ ph¶i nghÞch biÕn. VËy nghiÖm cña (2) lµ giao cña x  2 va x > 0 x > 0 NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ®-a bÊt ph-¬ng tr×nh v« tû vÒ sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu , tr¸nh ®-îc b×nh ph-¬ng 2 lÇn dÔ dÉn ®Õn mÊt nghiÖm. x  1  3 5 x  7  4 7 x  5  5 13 x  7  8 VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh . Gi¶i . §iÒu kiÖn x  5/7 .XÕt f(x) = Ta cã f'(x) = x  1  3 5 x  7  4 7 x  5  5 13 x  7 1 5 7 13    0 2 x  1 3 3 (5 x  7) 2 4 4 (13x  7)3 5 5 (13 x  7) 4 5   F9x) ®ång biÕn /  ,   .MÆt kh¸c f(3) = 8 nªn bpt f(x) < 8. 7   x  5/ 7 5  f ( x)  f (3)     x  3. 7 x  3 NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ®-a bÊt ph-¬ng tr×nh v« tû vÒ sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu,trong khi ®ã muèn gi¶i b»ng c¸ch kh¸c sÏ rÊt khã kh¨n. VÝ dô 3.Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh . 2x + Gi¶i. §iÒu kiÖn x > 0.§Æt f(x) = 2x + x  x  7  2 x 2  7 x  35 x  x  7  2 x2  7 x 1 2x  7   0 Ta cã f'(x) = 2  2 2 x 2 x7 x  7x 1 SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n   29 2  , f      35   12     7 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n  29 Nªn f(x) ®ång biÕn vµ do ®ã f(x) < 35 = f      12   VÝ dô 4: Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh : Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  0, x + x    1 1  0, x  2  0 2 x x 2  29  0 x  .  12  1 1 2  x 2  2 x x x Do vËy (1)  x3  1  x3  1  2 §Æt 2 (1) x 1 (2) x3  1  u  x3  1  v  0 ,khi ®ã 1  1 u  v  2   (2)   2 2  u  v 2 u  v  2  (u  v)(u  v )  2 u  v  2  u -v  1    v  u  1 VËy : x3  1  §¸p sè : x  3 v 1  0 (thÝch hîp) 2 1 5 5  x3   x  3  1 2 4 4 5 4 HoÆc xÐt VT =f(x)= x3  1  x3  1 lµ hµm ®ång biÕn Suy ra nghiÖm cña (2) lµ giao cña x  1 vµ x > x 0 ,trong ®ã x 0 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh : Suy ra x0 = 3 x3  1  x3  1 = 2. 5 5 ,suy ra bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm x  3 . 4 4 NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i lµ sö dông tÝnh ®ång biÕn vµ sö dông c¸ch ®Æt Èn phô ®Ó ®-a vÒ hÖ bÊt ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh bËc ,tr¸nh ®-îc viÖc b×nh ph-¬ng 2 vÕ (dÔ dÉn ®Õn sai sãt ,thõa nghiÖm)vµ tr¸nh ®-îc viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao. SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 8 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n VÝ dô 5: Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh x  2  x  5  2 x 2  7 x  10  5  2 x (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn x  -2. §Æt x2 u0 x5 v 0 x2  7 x  10  uv. Suy ra Do u vµ v ®ång biÕn khi x  -2 VÕ tr¸i lµ hµm ®ång biÕn , vÕ ph¶i lµ hµm nghÞch biÕn Nªn nghiÖm cña (1) lµ giao cña x  -2 vµ x < x 0 víi x0 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x  2  x  5  2 x 2  7 x  10  5  2 x V× u2 +v2 = 2x +7 ,suy ra 2x = u 2 +v2 -7 Vµ u2 +v2 +2uv +( u +v) -12 =0 §Æt u +v = t >0 ta ®-îc : t2 +t -12 = 0 , t > 0 u  v  3 u  v  3   u 1  2 2 u  v   1 u  v   3   Suy ra t =3 vËy  Tõ ®ã u = x  2  1  x  1 VËy nghiÖm cña (1) lµ 2  x  1 NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ dïng tÝnh ®¬n ®iÖu cña c¸c hµm sè ®Ó ®-a bÊt ph-¬ng tr×nh v« tû vÒ hÖ ph-¬ng tr×nh bËc 1. VÝ dô 6.Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m th× bpt sau cã nghiÖm? x 2 + 2 x  m  m2  m  1  0 Gi¶i: §Æt t = x  m  0  t2 = x2 -2mx +m2 , khi ®ã (1)  y = t2 +2t +2mx +m -1  0 Cã nghiÖm t  0. Ta cã y' = 2t +2  y' = 0  t = -1 Nªn y min = y(0) = 2mx +m -1 = 2m2 +m -1  0  -1  m  1 . 2 NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ sö dông gi¸ trÞ tuyÖt ®èi x  m lµm Èn sè ®Ó ®-a vÒ parabol theo t  0  Kh«ng ph¶i xÐt t-¬ng quan gi÷a x vµ y lµm cho c¸ch gi¶i nhÑ nhµng h¬n. SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 9 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ III. GV: Vò Hoµng S¬n HÖ Ph-¬ng tr×nh cot x - coty  x -y (1) VÝ dô 1: T×m c¸c sè x   0;   ,y   0;   tho¶ m·n hÖ :  (2) 5x + 8 y = 2 Gi¶i : ViÕt ph-¬ng tr×nh (1) d-íi d¹ng : x - cotx = y - coty (3) XÐt hµm sè f(t) = t - cot t , 0 < t <  . Khi ®ã f(t) x¸c ®Þnh t   0;  vµ f'(t) = 1 +  1 > 0 , t   0;  sin 2 t f(t) ®ång biÕn t   0;  . Tõ (3)  f(x) = f(y)  x = y. Thay vµo ph-¬ng tr×nh (2) cña hÖ ,ta ®ùoc x = y = 2 . 13 VÝ dô 2: Gi¶i hÖ :  x  y  tan x  tan y      tan x  tan y  2, x, y   0; 2   Gi¶i : ViÕt ph-¬ng tr×nh (1) d-íi d¹ng x - tan x = y - tan y (3)     1  ,cã f'(t) = 1- 2 < 0 ,do t   0;  cos t  2  2 Vµ xÐt hµm f(t) = t - tant x¸c ®Þnh t   0;  0 < cos t < 1.VËy f( t) nghÞch biÕn . Tõ (3) suy ra f(x) = f(y)  x = y vµ tõ (2)  tan x = tan y = 1  x = y =  4 VÝ dô 3: Chøng tá r»ng víi a  0 hÖ :  2 a2 2 x  y  y   a2  2 2 y  x  x Gi¶i: §iÒu kiÖn : x  0 , y  0 . Do x vµ Cã nghiÖm duy nhÊt. a2 a2 cïng dÊu , Do y vµ cïng dÊu y x  x> 0 , y> 0.Bëi vËy : SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 10 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ (1)  2x2y = y2 + a2 (1)' (2)  2y2x = x2 +a2 GV: Vò Hoµng S¬n (2)' (1)'-(2)' ta ®-îc:2xy (x -y) = (y-x)(y+x)  ( x-y) ( 2xy +x+y) =0,do x > 0,y >0 nªn ( 2xy +x+y) >0. Do ®ã x - y =0 hay x = y.Thay x =y vµo (1)' ta ®-îc : f(x) = 2x 3 -x2 = a2 ; f'(x) = 6x2 -2x . Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x  f’ f - 1 0 3  - - 0// + 3 -1/27 3 CT Tõ ®ã suy ra ph-¬ng tr×nh : 2x 3 -x2 = a2 ( a2 > 0) cã nghiÖm duy nhÊt . NhËn xÐt.C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ tõ hÖ ®èi xøng lo¹i 2. (1) -(2) ,kh«ng trõ trùc tiÕp ngay ,mµ biÕn ®æi tr-íc ®Ó khi trõ (1') cho (2') th× ph-¬ng tr×nh hÖ qu¶ kh«ng chøa tham sè,nªn tr¸nh ®-îc biÖn luËn. 2 x  1  y 3  y 2  y  VÝ dô 4.Gi¶i hÖ : 2 y  1  z 3  z 2  z  3 2 2 z  1  x  x  x Gi¶i.XÐt hµm ®Æc tr-ng f(t) = t3 +t2 +t víi t  Ta cã f'(t) = 3t2 +2t +1 = 2t2 +(t+1)2 >0  f(t) ®ång biÕn . Gi¶ sö : x  y  z  f ( x)  f ( y )  f ( z )  2z +1  2 x  1  2 y  1 zx y yz x  y  z x  y  z  HÖ ®· cho    3 2 2 2 x  1  x  x  x ( x  1)( x  1)  0 x  y  z 1   x  y  z  1 SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 11 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ III. GV: Vò Hoµng S¬n BÊt ®¼ng thøc ex > 1 +x , x  0 VÝ dô 1. Chøng minh r»ng : Gi¶i : §Æt f(x) = ex -x -1 , khi ®ã f'(x) = ex -1 *NÕu x> 0 th× f(x) > 0 nªn f t¨ng trªn [ 0; +  ) Do ®ã f(x) > f(0) =0  ex > x +1. nªn f gi¶m trªn (-  ,0) do ®ã f(x) > f(0) = 0 *NÕu x<0 th× f'(x) < 0  ex > x +1 . VËy ex > x +1 x  0 . VÝ dô 2. Chøng minh r»ng nÕu x > 0, th× ln x < x Gi¶i . XÐt hµm sè f(t) = lnt - t víi t > 0. 1 1 2 t f (t) =   t 2 t 2t Ta cã LËp b¶ng xÐt dÊu sau: t 0 + f'(t) ft) 4 0 - Nh- vËy x  0 ,cã f(x)  f(4)  lnx - x  ln4-2 Do 4 log 20002001. Gi¶i. XÐt hµm sè f(x) = log x(x +1) víi x > 1. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ®· cho cã d¹ng t-¬ng ®-¬ng sau : f( 1999) > f(2000) Ta cã f(x) = log x(x +1) = ln( x  1) ln x SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 12 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n xx ln x ln( x  1) ln  x ln x  ( x  1)ln( x  1) ( x  1) x 1 x  1 x  f(x) =  0  x( x  1)ln 2 x ln 2 x x( x  1)ln 2 x VËy f(x) lµ hµm nghÞch biÕn khi x > 1,do ®ã (2) hiÓn nhiªn ®óng . 1 + ln x nÕu x > 0. x VÝ dô 4. Chøng minh r»ng ln ( 1+ 1  x 2 ) < Gi¶i.XÐt hµm sè f(t) = ln( 1+ 1  t 2 ) - lnt - (®pcm) 1 víi t > 0 t t Ta cã 2 1 t2  t 1 1 1  t f(t) = - + 2 = >0 2 2 2 t t 1 1 t t 1 t Do ®ã f(t) lµ hµm ®ång biÕn khi t > 0, v× x > 0 ,nªn 1  f(x) < f(+  ) = lim f(t) = lim ln(1  1  t 2 )  ln t   t t  t 1 1 t2  f(x) < lim (ln )=0 t  t  ln(1+ 1  x ) < lnx + 1  ®.p.c.m x VÝ dô 5. Chøng minh r»ng : x > ln(x +1) , x > 0. Gi¶i : §Æt f(x) = x - ln(x +1) liªn tôc trªn [ 0 ,+  ) cã f'(x) = 1 - 1 x   0; x  0 x 1 x 1  f t¨ng trªn [ 0 ,+  )  f(x) > f(0) =0 VÝ dô 6. Chøng minh r»ng : lnx > Gi¶i : §Æt f(x) = lnx - 2( x  1) x 1  x > ln(x+1) víi x > 0. víi x>1. 2( x  1) ( x>1) liªn tôc trªn [ 1 ; +  ) x 1 1 4 ( x  1) 2   0, x  1. Ta cã f'(x) =  x ( x  1)2 x( x  1) 2 VËy víi x > 1 ta cã f(x) > f(1) = 0  f t¨ng trªn [ 1 ; +  ) Tõ ®ã suy ra lnx > SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 2( x  1) x 1 víi x>1. 13 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ  2 . Chøng minh r»ng: sin  > 2  VÝ dô 7. cho 0 <  < Gi¶i. xÐt hµm sè : f(x) = Ta cã f'(x) = sin x   víi x  0,  x  2 x cos x  sin x cos x( x  tgx)   = suy ra f'(x) < 0 x   0, 2  x2 x2  f(x) lµ hµm nghÞch biÕn trªn ( 0, V× 0 <  < VÝ dô 8. cho 0 <  < GV: Vò Hoµng S¬n  ) 2   sin  >  f(  ) > f( )  2 2  sin  2  sin  >   ®.p.c.m.  2  2  . Chøng minh r»ng:  sin  + cos > 1 2   Gi¶i.xÐt hµm sè : f(x) = xsinx + cosx - 1 víi x  0,   2    f'(x) = sinx + xcosx -sinx = xcosx  0  x  0,   2 V× f' = 0 chØ khi x = 0 hoÆc x = 0< < V×    f lµ hµm ®ång biÕn trªn 2   0, 2  .   f(0) < f(  )  0 <  sin  + cos - 1 2  sin  + cos  > 1  ®.p.c.m VÝ dô 9.Chøng minh r»ng : sinx < x < tgx víi 0 < x <  Gi¶i . §Æt f(x) = x - sin x , x  (0; ] . 2 Vµ cã ®¹o hµm trªn ( 0 ;  2 Khi ®ã f liªn tôc trªn [ 0 ,  ] 2   )  f t¨ng trªn [ 0 , ] 2 2  Tõ ®ã x > 0  f(x) > f(0)  x > sinx víi x  (0; ) 2   T-¬ng tù ta còng cã x < tgx , x   0;  .  2 SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 14 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ VÝ dô 10. Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < GV: Vò Hoµng S¬n  th× 2sinx + 2tgx  2x+1 2 Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã : 2sinx +2tgx  2 2sin xtgx Ta chøng minh : 2 2sin xtgx  2x+1  2sinx +tgx  22x  2  sinx +tgx  2x ( x  (0; ) ) §Æt f(x) = sinx +tgx -2x víi 0 < x< Ta cã f'(x) = cosx + V× 0 < x <  2 1 2 cos 2 x  nªn cosx > cos2x .Do ®ã : 2 f'(x) > cos2x + 1 2  0. cos 2 x   f t¨ng trªn (0; )  f(x) > f(0) = 0 2    sinx +tgx > 2x , x   0;   2 (®pcm) x3 VÝ dô 11. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : x  sin x víi x > 0. 6 Gi¶i : §Æt f(x) = sinx + x3 -x 6 x2 Ta cã f'(x) = cosx + -1 2 f''(x) = - sin x +x > 0 ( theo vÝ dô ...)  f'' t¨ng trªn ( 0 ; +  )  f'(x) > f'( 0) = 0, víi x > 0.  f t¨ng trªn ( 0 ; +  )  f(x) > f( 0) = 0, víi x > 0.  x- x3  sin x ( ®pcm) . 6 NhËn xÐt : Tõ c¸ch gi¶i vÝ dô 11 ta ®i ®Õn kÕt qu¶ tæng qu¸t sau : Gi¶ sö f cã ®¹o hµm cÊp n trªn ( a,b) tho¶ : f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = f(n-1)(a) = 0 vµ f(n) >0 x   a; b  th× f(x) >0 , x   a; b  SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 15 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n 3 VÝ dô 12.Chøng minh r»ng : sinx < x Gi¶i : ®Æt f(x) = x - 5 x x víi x > 0.  6 120 x3 x5 - sinx , víi x > 0.  6 120 Ta cã : x2 x4 f'(x) = 1    cos x 2 24 x3 f'' (x) = - x  sin x 6 f(4)(x) = x - sinx f(5)(x) = 1-cosx  0 f(0) = f'(0) = f''(0)=f(3)(0) =f(4)(0) =0  f(x) > 0 ;  x > 0. C.Mét sè bµi tËp t-¬ng tù x2 1.Chøng minh r»ng : ln(1+x) > x  2 2.Chøng minh r»ng : ln(1+ 1  x2 ) < x>0 1  ln x , x>0. x 3. Chøng minh r»ng : logx(x+1) > log x+1(x+2) , x  1. 4.Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh : x  9  5  2x  4  y3 x   sin y  6   z3 5.Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh :  y   sin z 6   x3 z   sin x  6  e x  e x  y  y  6.Gi¶i hÖ : e y  e y  z  z  z zx e  e  x 7.Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 3.25 x-2 +(3x-10).5x-2 +3-x = 0. SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 16 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n PhÇn 3:KÕt qu¶ ®¹t ®-îc vµ bµi häc kinh nghiÖm. 1.ý nghÜa thùc tiÔn. -Sau khi ®-îc rÌn luyÖn hÖ thèng kiÕn thøc trªn,c¸c em häc sinh ®· m¹nh d¹n h¬n ,linh ho¹t h¬n trong viÖc dïng ®¹o hµm ®Ó gi¶i to¸n . -C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ sö dông linh ho¹t tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó c høng minh bÊt ®¼ng thøc ,gi¶i ph-¬ng tr×nh, gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh, gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh . -Tr¸nh ®-îc viÖc biÖn luËn theo tham sè ë mét sè bµi to¸n. -Tr¸nh ph¶i xÐt nhiÒu tr-êng hîp ë mét sè bµi to¸n. -Tr¸nh ph¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si ...cÇn ph¶i chøng minh duy nhÊt .. -Tr¸nh viÖc b×nh ph-¬ng hai vÕ dÔ dÉn ®Õn sai sãt ,thõa nghiÖm vµ tr¸nh viÖc gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao. 2.KÕt qu¶ thu ®-îc ... .....................................HÕt ................................... SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 17 Tr-êng THPT D-¬ng §×nh NghÖ GV: Vò Hoµng S¬n Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸ Tr-êng THPT D-¬ng ®×nh nghÖ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Néi dung Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n Gi¸o Viªn: Vò Hoµng S¬n M«n: To¸n Tr-êng: THPT D-¬ng §×nh NghÖ N¨m Häc: 2007 - 2008 SKKN: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n 18