Tài liệu 01_pt bac 3_bg2017 copy

Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP 01. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 − 3 x + 1 = 0. Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi đó (1) ⇔ −3 x 2 + 3 x − 1 = 2 x3 ⇔ ( x − 1) = 3 x 3 3 ( ) ⇔ x −1 = x 3 3 ⇔ x 1 − 3 3 = 1 ⇔ x = Đ/s: x = 1 thỏa mãn (*) 1− 3 3 1 1− 3 3 Ví dụ 2. Giải phương trình 6 x3 − 12 x 2 + 6 x − 1 = 0. Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi đó (1) ( 2 x − 1) − 2 x3 = 0 ⇔ ( 2 x − 1) = 2 x3 3 3 ( ) ⇔ 2x −1 = x 3 2 ⇔ x 2 − 3 2 = 1 ⇔ x = Đ/s: x = 1 thỏa mãn (*) 2− 3 2 1 2− 3 2 Ví dụ 3. Giải phương trình 11x3 + 12 x 2 + 6 x + 1 = 0. Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi đó (1) ⇔ ( 2 x + 1) + 3 x3 = 0 ⇔ ( 2 x + 1) = −3 x3 3 3 ( ) ⇔ 2 x + 1 = − x 3 3 ⇔ x 2 + 3 3 = −1 ⇔ x = − Đ/s: x = − 1 thỏa mãn (*) 2+ 3 3 1 2+ 3 3 Ví dụ 4. Giải phương trình x3 − 9 x 2 + 3 x − 3 = 0. Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi đó (1) ⇔ x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = 2 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 2 ⇔ ( x + 1) = 2 ( x − 1) 3 ⇔ x + 1 = ( x − 1) 3 2 ⇔ x Đ/s: x = 3 3 ( 3 ) 3 2 −1 = 1 + 3 2 ⇔ x = 3 3 2 +1 thỏa mãn (*) 2 −1 2 +1 2 −1 Ví dụ 5. Giải phương trình x3 + 9 x 2 + 3 x + 3 = 0. Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP Khi đó (1) ⇔ x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = 2 x3 + 6 x 2 + 6 x + 2 ⇔ ( x − 1) = 2 ( x + 1) 3 ( ) 3 ⇔ x − 1 = ( x + 1) 3 2 ⇔ x 1 − 3 2 = 1 + 3 2 ⇔ x = Đ/s: x = 1+ 3 2 thỏa mãn (*) 1− 3 2 1+ 3 2 1− 3 2 Ví dụ 6. Giải phương trình x3 + x 2 − x + 1 = 0. 3 Lời giải: ĐK: x ∈ ℝ (*) Khi đó (1) ⇔ 3 x3 + 3 x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ −3 x 2 + 3 x − 1 = 3 x 3 ⇔ ( x − 1) = 4 x 3 3 ( ) ⇔ x −1 = x 3 4 ⇔ x 1− 3 4 = 1 ⇔ x = Đ/s: x = 1 thỏa mãn (*) 1− 3 4 1 1− 3 4 Ví dụ 7. Giải phương trình 2 ( x + 1) = ( 2 x 2 − 26 x − 3 ) x 2 − 4 x 3 Lời giải: ĐK: x 2 − 4 x ≥ 0 . Đặt u = ( x + 1) ; v = x 2 − 4 x ( v ≥ 0 ) Khi đó ta có: 2 x 2 − 26 x − 3 = −3 ( x 2 + 2 x + 1) + 5 ( x 2 − 4 x ) = −3u 2 + 5v 2 Ta có: 2u 3 = ( −3u 2 + 5v 2 ) v ⇔ 2u 3 + 3u 2v − 5v3 = 0 ⇔ ( u − v ) ( 2u 2 + 5uv + 5v 2 ) = 0 ⇔ u = v  x ≥ −1 1 ⇔ x + 1 = x2 − 4 x ⇔  2 ⇔ x = − ( tm ) . 2 6 x + 2x +1 = x − 4x −1 Vậy nghiệm của PT là: x = . 6 Ví dụ 8. Giải phương trình ( x − 1) x2 + x + 1 3 = x+ +5 2x +1 x Lời giải: 1 ĐK: x > − ; x ≠ 0 . Khi đó: PT ⇔ ( x 2 − x ) x 2 + x + 1 = ( x 2 + 5 x + 3) 2 x + 1 . 2 Đặt u = x 2 + x + 1; v = 2 x + 1 ta có: ( u 2 − v 2 ) u = ( u 2 + 2v 2 ) v ⇔ u 3 − u 2v − uv 2 − 2v3 = 0 ⇔ ( u − 2v ) ( u 2 + uv + v 2 ) = 0 ⇔ u = 2v ⇔ x 2 + x + 1 = 2 2 x + 1 ⇔ x 2 + x + 1 = 4 ( 2 x + 1) ⇔ x2 − 7 x − 3 = 0 ⇔ x = 7 ± 61 ( tm ) là nghiệm của PT đã cho. 2 Ví dụ 9. Giải phương trình x3 − x 2 − 3 x − 1 = ( 2 x 2 + 10 x + 5 ) 2 x + 1 . Lời giải: 1 ĐK: x ≥ − . Khi đó: PT ⇔ ( x + 1) ( x 2 − 2 x − 1) = ( 2 x 2 + 10 x + 5 ) 2 x + 1 2  x 2 − 2 x − 1 = ( x + 1) 2 − 2 ( 2 x + 1) Đặt u = x + 1; v = 2 x + 1 . Ta có:  2 2 2 x + 10 x + 5 = 2 ( x + 1) + 3 ( 2 x + 1) Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP Khi đó: PT ⇔ u ( u 2 − 2v 2 ) = ( 2u 2 + 3v 2 ) v ⇔ u 3 − 2u 2v − 2uv 2 − 3v3 = 0 ⇔ ( u − 3v ) ( u 2 − uv + 3v 2 ) = 0  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ u = 3v ⇔ x + 1 = 3 2 x + 1 ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ x = 8 ± 6 2 ( tm ) . x − 16 x − 8 = 0  x + 2 x + 1 = 9 ( 2 x + 1)  Vậy nghiệm của PT đã cho là x = 8 ± 6 2 . Ví dụ 10. Giải phương trình ( x − 1) + 3 x 2 ( x 2 − 2 ) = 3 ( x ∈ ℝ) . 2 Lời giải 1. Phương trình tương đương x 2 − 2 x + 3 x 2 ( x 2 − 2 ) − 2 = 0 ⇔ x 2 − 2 + 3 x 2 . 3 x 2 − 2 − 2 x = 0 . Đặt 3 o x 2 − 2 = u; 3 x = v ta thu được u = v u 3 + uv 2 − 2v 3 = 0 ⇔ ( u − v ) ( u 2 + uv + 2v 2 ) = 0 ⇔  2 2 u + uv + 2v = 0 2  x2 = 2 1  7 2  2 2 u + uv + 2v = 0 ⇔  u + v  + v = 0 ⇔ u = v = 0 ⇔  ⇔ x ∈∅ . 2  4  x = 0 o u = v ⇔ u 3 = v 3 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2 ) = 0 ⇔ x ∈ {−1; 2} . Kết luận phương trình có hai nghiệm kể trên. Ví dụ 11. Giải phương trình x 2 − 12 x + 8 = 3 3 ( 3 x 2 − 2 x ) ( x ∈ ℝ) . 2 Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với x 2 + 3 3 x 2 ( 3x − 2 ) − 4 ( 3x − 2 ) = 0 ⇔ x 2 + 3 3 x 2 . 3 ( 3x − 2 ) − 4 ( 3x − 2 ) = 0 . 2 Đặt 3 2 x 2 = u; 3 3 x − 2 = v thì phương trình đã cho trở thành u = v u 3 + 3uv 2 − 4v3 = 0 ⇔ ( u − v ) ( u 2 + uv + 4v 2 ) = 0 ⇔  2 2 u + uv + 4v = 0
u = v ⇔ u 3 = v 3 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2 ) = 0 ⇔ x ∈ {1; 2} .  x2 = 0 1  15 2 
u + uv + 4v = 0 ⇔  u + v  + v = 0 ⇔ u = v = 0 ⇔  ⇔ x∈∅ . 2  4  3 x − 2 = 0 Kết luận bài toán có hai nghiệm x = 1; x = 2 . 2 2 2 Ví dụ 12. Giải phương trình ( x − 1)( x − 4 ) = 8 + 4 3 ( x 2 − 2 ) − 4 2 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với x 2 − 5 x − 4 = 4 3 x 4 − 4 x 2 ⇔ x 2 − 4 + 4 3 x 2 − 4. 3 x 2 − 5 x = 0 . Đặt u = 3 x 2 − 4; v = 3 x ta thu được • u = v u 3 + 4uv 2 − 5v3 = 0 ⇔ ( u − v ) ( u 2 + uv + 5v 2 ) = 0 ⇔  2 2 u + uv + 5v = 0 1 + 17 1 − 17  u = v ⇔ u 3 = v3 ⇔ x 2 − x − 4 = 0 ⇔ x ∈  ; . 2   2 Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPTtại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP  x2 = 4 1  19  u 2 + uv + 5v 2 = 0 ⇔  u + v  + v 2 = 0 ⇔ u = v = 0 ⇔  ⇔ x ∈∅ . 2  4  x = 0 Kết luận bài toán có hai nghiệm kể trên. 2 • Ví dụ 13. Giải phương trình x3 + 8 x 2 − 8 x3 + x2 − 8 + 40 = 5 x 2 + 8 x trên tập số thực. x Lời giải: x ≠ 0 5 x 3 + 8 x 2 − 40 x3 + 8 x 2 − 8 Điều kiện:  3 . Phương trình đã cho tương đương với: = 2 x x3 + x2 − 8 x + x − 8 > 0 ( ∗) Đặt t = x3 + x 2 − 8 > 0 ⇔ x3 + 8 x 2 − 8 = t 2 + 7 x 2 và 5 x 3 + 8 x 2 − 40 = 5t 2 + 3 x 2 . 5t 2 + 3 x 2 t 2 + 7 x 2 Khi đó phương trình ( ∗) ⇔ = ⇔ ( 5t 2 + 3 x 2 ) t = ( t 2 + 5 x 2 ) x ⇔ 5t 3 − t 2 x + 3 x 2 t − 7 x 3 = 0 . x t x ≥ 0 ⇔ ( t − x ) ( 5t 2 + 4tx + 7 x 2 ) = 0 ⇔ t = x ⇔ x = x3 + x 2 − 8 ⇔  2 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều 3 2 x = x + x − 8 kiện ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 . Ví dụ 14. Giải phương trình 3 10 x 3 − 2 x + 1 − x 2 3 2 x − 1 = x + 3 2 x − 1 trên tập số thực. Lời giải: 3 3 Điều kiện: x ∈ ℝ . Đặt t = 2 x − 1 ⇔ t = 2 x − 1 , khi đó phương trình đã cho trở thành: 3 10 x 3 − x 2 3 2 x − 1 − ( 2 x − 1) = x + 3 2 x − 1 ⇔ 3 10 x 3 − x 2t − t 3 = x + t ⇔ 10 x3 − x 2t − t 3 = ( x + t ) . 3 ⇔ 10 x3 − x 2t − t 3 = x 3 + 3 x 2t + 3 xt 2 + t 3 ⇔ 9 x 3 − 4 x 2t − 3 xt 2 − 2t 3 = 0 .  x = 3 2x − 1 = 0 x = t = 0 2 2 ⇔ ( x − t ) ( 9 x + 5 xt + 2t ) = 0 ⇔  ⇔ . x = t  x = 3 2 x − 1 x = 1 ⇔ x = 2 x − 1 ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = 0 ⇔  . x = − 1± 5  2 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên. 3 2 Ví dụ 15. Giải phương trình 2 x ( 2 x3 + 3x 2 + 8) x +x +4 3 2 = x 3 + 6 x 2 + 4 trên tập số thực. Lời giải: 2 x ( 2 x3 + 3x 2 + 8) = 2 x ( 2a 2 + x 2 ) 3 2 3 2 Điều kiện: x + x + 4 > 0 . Đặt t = x + x + 4 > 0 ⇔  . 3 2 2 2  x + 6 x + 4 = t + 5 x 2 x ( 2t 2 + x 2 ) 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành = t + 5 x 2 ⇔ 4t 2 x + 2 x3 = t 3 + 5 x 2t . t  x = x3 + x 2 + 4 x = t 2 3 2 2 3 ⇔ 2 x − 5 x t + 4 xt − t = 0 ⇔ ( x − t ) ( 2 x − t ) = 0 ⇔  ⇔  2 x = x 3 + x 2 + 4 2 x = t Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP  x ≥ 0  x ≥ 0  2  3 3 2  x ≥ 0  x = x + x + 4  x + 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 ( thỏa mãn điều kiện ). 2 x≥0 x≥0 x − 2 x + 1 = 0   ( ) ( )    2 3 2 3 2  4 x = x + x + 4   x − 3 x + 4 = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 . Ví dụ 16. Giải phương trình x3 + 16 x 2 − 4 x = 5 ( 4 x − 1) 4 x − 1. Lời giải: ĐK: x ≥ 1 4 (*) Khi đó (1) ⇔ x 3 + 4 x ( 4 x − 1) = 5 ( 4 x − 1) 3 . Đặt y = 4 x − 1 ≥ 0 ⇒ x3 + 4 xy 2 = 5 y 3 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + 5 y 2 ) = 0 (2) 1 Với x ≥ , y ≥ 0 ⇒ x 2 + xy + 5 y 2 > 0 nên (2) ⇔ x = y 4 x ≥ 0 ⇒ x = 4x −1 ⇔  2 ⇔ x = 2 ± 3 thỏa mãn (*) x = 4x −1 Đ/s: x = 2 ± 3 Ví dụ 17. Giải phương trình 7 x 3 − 6 x 2 + 3 x = 4 ( 2x 2 − 2 x + 1) . 3 Lời giải: 2 1  1  ĐK: 2 x 2 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔  x 2 − ≥ 0 ⇔ x∈ℝ  + 2 2  Khi đó (1) ⇔ 3 x ( 2 x 2 − 2 x + 1) + x3 = 4 (2x 2 (*) − 2 x + 1) . 3 Đặt y = 2 x 2 − 2 x + 1 > 0 ⇒ 3 xy 2 + x3 = 4 y 3 2  y  15 y 2  ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + 4 y 2 ) ⇔ ( x − y )  x +  + =0 2 4   (2) 2 y  15 y 2  Do y > 0 ⇒  x +  + > 0 nên (2) ⇔ x = y 2 4  x ≥ 0 ⇒ x = 2x2 − 2x +1 ⇔  2 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*) 2 x = 2x − 2x +1 Đ/s: x = 1 Ví dụ 18. Giải phương trình x 4 + x3 − x 2 + x = 2 (x 3 − x + 1) . 3 Lời giải: ĐK: x − x + 1 ≥ 0 3 (*) Khi đó (1) ⇔ x ( x3 − x + 1) + x 3 = 2 (x 3 − x + 1) . 3 x = y Đặt y = x 3 − x + 1 ≥ 0 ⇔ xy 2 + x3 = 2 y 3 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + 2 y 2 ) = 0 ⇔  2 2  x + xy + 2 y = 0 Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP • x ≥ 0 TH1. x = y ⇒ x = x 3 − x + 1 ⇔  2 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*) 3 x = x − x +1 2 y  7 y2  • TH2. x + xy + 2 y = 0 ⇔  x +  + = 0 ⇔ x = y = 0 ⇔ x = x3 − x + 1 = 0. 2 4  Điều này là vô lý ⇒ Loại Đ/s: x = 1 2 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 3 3 3 Câu 1: Giải phương trình ( 2 x − 3) + ( x + 4 ) = ( 3 x + 1) Câu 2: Giải phương trình ( x 2 + 1) + ( x + 1) = ( x 2 + x + 2 ) 3 3 3 Câu 3: Giải phương trình ( x 2 − x ) + ( x 2 + x + 1) + x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = ( 2 x 2 + 1) 3 3 ( 2 x − 1) Câu 4: Giải phương trình x3 + 8 x 2 = 4 x + 5 3 3 Câu 5: Giải phương trình x3 + ( 3 x 2 − 28 x + 24 ) 7 x − 6 = 0 Câu 6: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 8 x − 7 = 5 ( 8 x − 7 ) 8 x − 7 Câu 7: Giải phương trình ( x + 1) ( x 2 + 11x + 4 ) = 4 ( 3 x + 1) 3 x + 1 2  Câu 8: Giải phương trình 3 x 3 + 4 x 2 − 6 = 2  x 2 + 2 x −  x3 + x 2 − 2 x  10   Câu 9: Giải phương trình 4 x 2 + 33 x − 30 = 7 11 −  11x − 10 x  6  Câu 10: Giải phương trình x 2 − 7 x + 14 =  5 x − 3 +  2 − x x  1  Câu 11: Giải phương trình x 2 − 10 x − 5 = 2  2 x + 2 −  2 x − 1 x  Câu 12: Giải phương trình 2 x 3 + ( 4 x − 1) 8 x − 1 = 17 x ( 8 x − 1) 2 Câu 13: Giải phương trình 7 x 3 − x 2 − 23 x + 17 = ( 7 x 2 + 26 x − 41) x 2 + 3 x − 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP Câu 1: Giải phương trình ( 2 x − 3) + ( x + 4 ) = ( 3 x + 1) 3 3 3 Lời giải Đặt a = 2 x − 3; b = x + 4 ⇒ 3 x + 1 = a + b khi đó phương trình đã cho trở thành a 3 + b3 = ( a + b ) ⇔ a 3 + b3 = a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) = 0 ⇔ ab ( a + b ) = 0 3 3 1 ⇒ ( 2 x − 3)( x + 4 )( 3 x + 1) = 0 ⇔ x = ; x = −4; x = − 2 3 3 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ; x = −4; x = − 2 3 Câu 2: Giải phương trình ( x 2 + 1) + ( x + 1) = ( x 2 + x + 2 ) 3 3 3 Lời giải Đặt a = x + 1; b = x + 1 ⇒ x + x + 2 = a + b khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP a 3 + b3 = ( a + b ) ⇔ a 3 + b3 = a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) ⇔ ab ( a + b ) = 0 3 ⇒ ( x 2 + 1) ( x + 1) ( x 2 + x + 2 ) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −1 Câu 3: Giải phương trình ( x 2 − x ) + ( x 2 + x + 1) + x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = ( 2 x 2 + 1) 3 3 3 Lời giải Đặt a = x − x; b = x + x + 1 ⇒ 2 x + 1 = a + b khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 2 a 3 + b3 + x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = ( a + b ) ⇔ a3 + b3 + x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) 3 ⇔ x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = 3ab ( a + b ) ⇒ x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = 3 ( x 2 − x )( x 2 + x + 1)( 2 x 2 + 1) ⇔ x ( x − 1) = 3 x ( x − 1) ( 2 x 2 + 1) ⇔ x ( x − 1) ( 6 x 2 + 2 ) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0; x = 1 Câu 4: Giải phương trình x3 + 8 x 2 = 4 x + 5 ( 2 x − 1) 3 Lời giải Điều kiện: x ≥ 1 .Phương trình đã cho tương đương 2 x3 + 4 x ( 2 x − 1) − 5 ( 2x −1 ) 3 = 0 ⇔ x3 + 4 x ( 2x − 1 ) 2 −5 ( 2x − 1 ) 3 =0 Đặt a = 2 x − 1 ( a ≥ 0 ) ⇒ x3 + 4 xa 2 − 5a 3 = 0 ⇔ ( x − a ) ( x 2 + xa + 5a 2 ) = 0 ⇒ x = a ⇒ x = 2 x − 1 ⇔ x 2 = 2 x − 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 Câu 5: Giải phương trình x3 + ( 3 x 2 − 28 x + 24 ) 7 x − 6 = 0 Lời giải: ĐK: x ≥ 6 7 (*) Đặt y = 7 x − 6 ≥ 0 ⇒ −28 x + 24 = −4 ( 7 x − 6 ) = −4 y 2 . Khi đó (1) thành x3 + ( 3 x 2 − 4 y 2 ) y = 0 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + 4 xy + 4 y 2 ) = 0 (2) 6 Với x ≥ , y ≥ 0 ⇒ x 2 + 4 xy + 4 y 2 > 0. 7 x ≥ 0 x = 1 Nên (2) ⇔ x = y ⇒ x = 7 x − 6 ⇔  2 ⇔ thỏa mãn (*) x = 6 x = 7x − 6 Câu 6: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 8 x − 7 = 5 ( 8 x − 7 ) 8 x − 7 Lời giải: ĐK: x ≥ 7 8 (*) Đặt y = 8 x − 7 ≥ 0, khi đó (1) thành 2 x 3 + 3 x 2 y = 5 y 2 . y ⇔ ( x − y ) ( 2 x 2 + 5 xy + 5 y 2 ) = 0 (2) 7 Với x ≥ , y ≥ 0 ⇒ 2 x 2 + 5 xy + 5 y 2 > 0. 8 Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP x ≥ 0 x =1 Nên (2) ⇔ x = y ⇒ x = 8 x − 7 ⇔  2 ⇔ thỏa mãn (*) x = 7  x = 8x − 7 Câu 7: Giải phương trình ( x + 1) ( x 2 + 11x + 4 ) = 4 ( 3 x + 1) 3 x + 1 Lời giải: ĐK: x ≥ − 1 3 (*) ( ) 2 Khi đó (1) ⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3 ( 3 x + 1)  − 4 3 x + 1 = 0.   2 Đặt a = x + 1 ≥ , b = 3 x + 1 ≥ 0 ⇒ a ( a 2 + 3b 2 ) − 4b3 = 0 ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + 4b 2 ) = 0 3 2 Với a ≥ , b ≥ 0 ⇒ a 2 + ab + 4b 2 > 0. 3 3 (2)  x ≥ −1  x = 0  x ≥ −1 Nên (2) ⇔ a = b ⇒ x + 1 = 3 x + 1 ⇔  ⇔ 2 ⇔ thỏa mãn (*) 2 x = 1 ( x + 1) = 3 x + 1  x = x 2  Câu 8: Giải phương trình 3 x 3 + 4 x 2 − 6 = 2  x 2 + 2 x −  x3 + x 2 − 2 x  Lời giải: 2 ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 2 ) ≥ 0  x3 + x 2 − 2 ≥ 0 ( x − 1) ( x + 1) + 1 ≥ 0 ĐK:  ⇔ ⇔ ⇔ x ≥1 x ≠ 0  x ≠ 0  x ≠ 0 (*) Khi đó (1) ⇔ 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x = 2 ( x 3 + 2 x 2 − 2 ) x3 + x 2 − 2. 3x 4 + 4 x3 − 6 x = 3 x ( x3 + x 2 − 2 ) + x3 = 3xy 2 + x3 Đặt y = x + x − 2 ≥ 0 ⇒  3 2 2 2  x + 2 x − 2 = y + x 3 2 ⇒ 3 xy 2 + x 3 = 2 ( y 2 + x 2 ) y ⇔ x3 − 2 x 2 y + 3 xy 2 − 2 y 3 = 0 2  x  7 x2  ⇔ ( x − y ) ( x 2 − xy + 2 y 2 ) = 0 ⇔ ( x − y )  y 2 −  + 8 =0 2 2     (2) 2 x  7 x2  Với x ≥ 1, y ≥ 0 ⇒  y 2 −  + 8 > 0. 2 2  x ≥ 0 x ≥ 0 Nên (2) ⇔ x = y ⇒ x = x3 + x 2 − 2 ⇔  2 ⇔ ⇔ x = 3 2 thỏa mãn (*)  3 3 2 x = x + x − 2 x = 2 Đ/s: x = 3 2 10   Câu 9: Giải phương trình 4 x 2 + 33 x − 30 = 7 11 −  11x − 10 x  Lời giải: 10 ĐK: x ≥ (*) 11 Khi đó (1) ⇔ 4 x3 + 33 x 2 − 30 x = 7 (11x − 10 ) 11x − 10. Đặt y = 11x − 10 ≥ 0 ⇒ 33 x 2 − 30 x = 3 x (11x − 10 ) = 3 xy 2 ⇒ 4 x 3 + 3 xy 2 = 7 y 2 . y ⇔ ( x − y ) ( 4 x 2 + 4 xy + 7 y 2 ) = 0 (2) Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP 10 , y ≥ 0 ⇒ 4 x 2 + 4 xy + 7 y 2 > 0. 11 x ≥ 0 x = 1 Nên (2) ⇔ x = y ⇒ x = 11x − 10 ⇔  2 ⇔ thỏa mãn (*)  x = 10  x = 11x − 10 Với x ≥ 6  Câu 10: Giải phương trình x 2 − 7 x + 14 =  5 x − 3 +  2 − x x  Lời giải:  5 x 2 − 3x + 6  Điều kiện: 2 ≥ x; x ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương với: x 2 − 7 x + 14 =   2−x x   ⇔ x 3 − 7 x 2 + 14 x = ( 5 x 2 − 3 x + 6 ) 2 − x ⇔ x3 − 5 x 2 2 − x + 7 x ( 2 − x ) − 3 ( 2 − x ) 2 − x = 0 . Đặt y = 2 − x ≥ 0 ⇔ y 2 = 2 − x nên phương trình trên trở thành: x = y 2 x3 − 5 x 2 y + 7 xy 2 − 3 y 3 = 0 ⇔ ( x − y ) ( x − 3 y ) = 0 ⇔  x = 3y • 2 ≥ x > 0 Với x = y , ta có x = 2 − x ⇔  2 ⇔ x =1. x + x − 2 = 0 • 2 ≥ x > 0 3 17 − 9 Với x = 3 y , ta có x = 3 2 − x ⇔  2 ⇔x= . 2  x + 9 x − 18 = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = 3 17 − 9 . 2 1  Câu 11: Giải phương trình x 2 − 10 x − 5 = 2  2 x + 2 −  2 x − 1 x  Lời giải:  2 x2 + 2 x − 1  1 2 Điều kiện: x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với: x − 10 x − 5 = 2   2x − 1 x 2   ⇔ x3 − 10 x 2 − 5 x = 2 ( 2 x 2 + 2 x − 1) 2 x − 1 ⇔ x 3 − 2 x 2 2 x − 1 − 5 x ( 2 x + 1) − 2 ( 2 x − 1) 2 x − 1 = 0 . Đặt y = 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ y 2 = 2 x − 1 nên phương trình trên trở thành: x3 − 2 x 2 y − 5 xy 2 − 2 y 3 = 0 ⇔ ( x + y ) ( x 2 − 3 xy − 2 y 2 ) = 0 • 2 ≥ x > 0 Với x = y , ta có x = 2 − x ⇔  2 ⇔ x =1. x + x − 2 = 0 • 2 ≥ x > 0 3 17 − 9 Với x = 3 y , ta có x = 3 2 − x ⇔  2 ⇔x= . 2  x + 9 x − 18 = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = Câu 12: Giải phương trình 2 x 3 + ( 4 x − 1) 2 3 17 − 9 . 2 8 x − 1 = 17 x ( 8 x − 1) Lời giải: 1 Điều kiện: x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với: 2 x 3 + (16 x 2 − 8 x + 1) 8 x − 1 = 17 x ( 8 x − 1) 8 ⇔ 2 x3 + 16 x 2 8 x − 1 − 17 x ( 8 x − 1) − ( 8 x − 1) 8 x − 1 = 0 Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy TRƯƠNG NGỌC DIỆP Đặt y = 8 x − 1 ≥ 0 ⇔ y 2 = 8 x − 1 nên phương trình trên trở thành: x = y 2 x 3 + 16 x 2 y − 17 xy 2 − y 3 = 0 ⇔ ( x − y ) ( 2 x 2 + 18 xy + y 2 ) = 0 ⇔  2 2  2 x + 18 xy + y = 0 • 1  x ≥ Với x = y , ta có x = 8 x − 1 ⇔  ⇔ x = 4 ± 15 . 8  x2 − 8x + 1 = 0  • 1 1 Với 2 x + 18 xy + y = 0 , ta có x ≥ ; y ≥ 0 nên 2 x 2 + 18 xy + y 2 = 2 x 2 + y (18 x + y ) ≥ 2   > 0 , 8 8 2 2 2 do đó phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 ± 5 . Câu 13: Giải phương trình 7 x 3 − x 2 − 23 x + 17 = ( 7 x 2 + 26 x − 41) x 2 + 3 x − 5 Lời giải: Điều kiện: x + 3 x − 5 ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương với: 2 3 2 3 ( x − 1) + 4 ( x − 1) ( x 2 + 3x − 5) = 8 ( x 2 + 3x − 5) − ( x − 1)  x 2 + 3x − 5   ⇔ 3 ( x − 1) + ( x − 1) 3 2 x 2 + 3 x − 5 + 4 ( x − 1) ( x 2 + 3 x − 5 ) − 8 ( x 2 + 3 x − 5 ) x 2 + 3 x − 5 = 0 t = x − 1 Đặt  , phương trình trên trở thành 3t 3 + t 2 y + 4ty 2 − 8 y 3 = 0 . 2  y = x + 3 x − 5 ≥ 0  x ≥ 1 ⇔ ( t − y ) ( 3t 2 + 4ty + 8 y 2 ) = 0 ⇔ t = y ⇔ x − 1 = x 2 − 3 x + 5 ⇔  ⇔ x = 4. 2 2 ( x − 1) = x − 3 x + 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4 . Chương trình Luyện thi TỐT NGHIỆP THPT tại BUTXINH Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !