Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
CÁC DẠNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1. [ĐVH]: Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau:
1
π
2 π
; 0
→ cos x =
.
2
3
sin x
1
2
=
=
tan x =
cos x 2 2
4
Từ đó ta được:
cot x = 1 = 2 2
tan x
−2
4 1
1
b) cos x =
⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = ±
5 5
5
5
π
1
Do < x < π ⇒ sin x > 0
→ sin x =
.
2
5
sin x −1
tan x = cos x = 2
Từ đó ta được:
cot x = 1 = −2
tan x
1
1
c) Từ tan x = 2 ⇒ cot x =
=
tan x 2
2
1
2
sin x = ±
sin x
cos
x
=
=2
sin x = 2 cos x
5
tan x =
5
Ta có
⇔
⇔
⇔
cos x
2
sin 2 x + cos 2 x = 1 5 cos x = 1
sin 2 x = 4
cos x = ± 1
5
5
−2
sin x =
sin x < 0
3π
5
Do π < x <
⇒
⇒
2
cos x < 0 cos x = −1
5
1
1
d) cot x = − ⇒ tan x =
= −2
2
cot x
2
1
2
sin x = ±
sin x
cos x =
= −2
sin x = −2 cos x
5
tan x =
5
Ta có
⇔
⇔
⇔
cos x
2
2
5cos x = 1
2
sin 2 x = 4
cos x = ± 1
sin x + cos x = 1
5
5
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
−2
sin x =
sin x < 0
3π
5
Do
< x < 2π ⇒
⇒
2
cos x > 0 cos x = 1
5
Ví dụ 2. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x
c) 1 −
Facebook: LyHung95
sin x + cos x − 1
cos x
=
sin x − cos x + 1 1 + sin x
tan x + tan y
d) tan x.tan y =
cot x + cot y
b)
sin 2 x
cos 2 x
−
= sin x cos x
1 + cot x 1 + tan x
Lời giải:
sin x
sin x − sin x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x)
2
sin
a) tan 2 x − sin 2 x =
−
x
=
=
= tan 2 x sin 2 x ⇒ đpcm.
2
2
2
cos x
cos x
cos x
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được:
x
x
x 2sin x cos x − sin x
x
x
2 sin cos − 2sin 2
cos − sin
sin x + cos x − 1
2
2
2
=
2
2
2 =
2
2 , (1)
=
x
x
x
x
x
sin x − cos x + 1 2sin x cos x + 2sin 2 x
2sin cos + sin cos − sin
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
cos 2 − sin 2
cos − sin
cos x
2
2 =
2
2 , ( 2).
Mặt khác
=
2
x
x
1 + sin x
x
x
cos + sin
sin 2 + cos 2
2
2
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x
cos 2 x
sin 3 x
cos3 x
sin 3 x + cos3 x
c) 1 −
−
= 1−
−
= 1−
−
= 1−
=
cos x
sin x
1 + cot x 1 + tan x
sin x + cos x sin x + cos x
sin x + cos x
1+
1+
sin x
cos x
2
2
(sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x)
= 1−
= 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm.
sin x + cos x
sin x sin y sin x cos y + sin y cos x
+
tan x + tan y cos x cos y
sin x sin y
cos x cos y
d)
=
=
=
= tan x tan y ⇒ đpcm.
cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y
sin x sin y
sin x sin y
Ví dụ 3. [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau
2
2
2
A=
cos 2 x + cos 2 x cot 2 x
sin 2 x + sin 2 x tan 2 x
B=
cos 2 x − 2sin x(1 − sin x)
2(1 + sin x)
.
(1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x
C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x
D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x
Lời giải:
cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x)
2
2
cos
x
+
cos
x
.
cos 2 x + cos 2 x cot 2 x
cos 4 x
sin 2 x =
sin 2 x
Ta có A =
=
=
= cot 4 x
2
2
2
2
2
2
2
4
sin x
sin x(cos x + sin x) sin x
sin x + sin x tan x
sin 2 x + sin 2 x.
2
cos x
cos 2 x
Ta có
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
cos 2 x − 2sin x(1 − sin x)
1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2
=
=
=
(1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x
(1 − sin x + 1 + sin x) cos x
2 cos x
2 cos x
(1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x
→B =
.
=
=
= cos x
2 cos x
1 − sin x
cos x
cos x
cos x 3
sin x 3
C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +
sin x + 1 +
cos x − sin x cos x =
sin x
cos x
= sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x
= (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x
= (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x
(1 − cos x ) + 4 cos x + (1 − sin x ) + 4sin x
( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + 2 = 3
Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x =
= cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ví dụ 4. [ĐVH]: Tính giá trị các biểu thức sau
9
3π
π
a) A = tan x − , với cos x = − ; π < x <
41
2
4
8
5
b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin a = , tan b =
17
12
Tính: sin ( a − b ) , cos ( a + b ) , tan ( a − b )
Lời giải:
9
81
1600
40
a) cos x = − ⇔ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −
=
⇒ sin x = ±
41
1681 1681
41
3π
40
sin x 40
Do π < x <
→ sin x < 0
→ sin x = −
→ tan x =
=
2
41
cos x 9
40
π
−1
tan x − tan
π
31
4 = 9
Từ đó ta được A = tan x − =
= .
π
40
4 1 + tan x tan
49
1+
4
9
b) Ta có:
8
15
sin a =
→ cos a = ±
17
17
15
8
Do a là góc nhọn ⇒ cos a > 0
→ cos a =
→ tan a = .
17
15
5
5
tan b =
⇔ sin b = cos b
12
12
5
5
sin b = ±
sin b = cos b
13
Từ đó ta có
⇔
12
sin 2 b + cos 2 b = 1 cos b = ± 12
13
5
sin b = 13
Do b là góc nhọn nên sin b > 0; cos b > 0
→
cos b = 12
13
8 12 15 5
21
• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = . − . =
17 13 17 13 221
15 12 8 5 140
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = . − . =
17 13 17 13 221
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
8 5
−
tan a − tan b
15
12 = 21
• tan(a − b) =
=
1 + tan a tan b 1 + 8 . 5 220
15 12
Ví dụ 5. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau
sin ( a + b ) sin ( a − b )
a) tan 2 a − tan 2 b =
cos 2 a.cos 2 b
1
3
b) sin 4 x + cos 4 x = cos 4 x +
4
4
6 + 2 cos 4 x
c)
= cot 2 x + tan 2 x
1 − cos 4 x
Lời giải:
sin a sin b sin a.cos b − sin 2 b.cos 2 a
2
2
a) tan a − tan b =
−
=
cos 2 a cos 2 b
cos 2 a.cos 2 b
(sin a cos b − sin b cos a )(sin a cos b + sin b cos a ) sin(a − b)sin(a + b)
=
=
cos 2 a.cos 2 b
cos 2 a.cos 2 b
2
1
1
3 1
b) sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2(sin x cos x) 2 = 1 − 2. sin 2 2 x = 1 − (1 − cos 4 x) = + cos 4 x
4
4
4 4
2
2
4
4
sin x cos x sin x + cos x
c) tan 2 x + cot 2 x =
+
=
cos 2 x sin 2 x
sin 2 x cos 2 x
1 2
1 1
2
sin 2 x + cos 2 x − 2(sin x cos x) 2 4 1 − 2 sin 2 x 4 1 − 4 + 4 cos 4 x 6 + 2 cos 4 x
=
=
=
=
2
1 2
1 − cos 4 x
sin
2
x
1 − cos 4 x
sin 2 x
4
2
2
9
π
Ví dụ 6. [ĐVH]: Cho x ∈ 0; và ( cos 2 2 x − 4sin x 2 cos 2 x ) = . Tính P = sin x cos x cos x 2 x cos 4 x.
10
16
2
(
2
2
2
)
Lời giải:
1
1
1
Ta có P = sin 2 x cos 2 x cos 4 x = sin 4 x cos x 4 x = sin 8 x
2
4
8
Bài ra có ( cos 2 2 x − 4sin x 2 cos 2 x ) =
2
(1)
2
9
9
9
⇔ ( cos 2 2 x − sin 2 2 x ) =
⇔ cos 2 4 x =
10
10
10
1 + cos8 x 9
4
3
4 3
= ⇔ cos 8 x = ⇒ sin 2 8 x = 1 − cos 2 8 x = 1 − = ⇒ sin 8 x = ± .
2
10
5
5
5 5
2
⇔
2
1 3 3
3
π
π
Mà x ∈ 0; ⇒ 8 x ∈ 0; ⇒ sin 8 x > 0 ⇒ sin 8 x = . Thế vào (1) ta có P = . = .
8 5 40
5
16
2
Đ/s: P =
3
.
40
tan x
5 −1
π 3π
Ví dụ 7. [ĐVH]: Cho x ∈ ; và
=
. Tính P = sin 2 tan x + cos 2 cot x + sin 2 x.
cot
x
2
4
5 +1
Lời giải:
2
2
sin 3 x cos3 x
sin 4 x + cos 4 x + 2sin 2 x cos 2 x ( sin x + cos x )
2
Ta có P =
+
+ 2sin x cos x =
=
=
cos x sin x
sin x cos x
sin x cos x
sin 2 x
2
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(1)
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Bài ra có
tan x
5 −1
5 −1
sin 2 x
5 −1
=
⇔ tan 2 x =
⇔
=
⇔
2
cot x
cos x
5 +1
5 +1
5 +1
(
⇔ sin 2 x + cos 2 x = ( cos 2 x − sin 2 x ) 5 ⇔ 1 = 5 cos 2 x ⇔ cos 2 x =
2
Facebook: LyHung95
)
5 + 1 sin 2 x =
(
)
5 − 1 cos 2 x
1
5
2
2
1 2
⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x1 = 1 −
.
=
⇒ sin 2 x = ±
5
5 5
2
2
π 3π
Mà x ∈ ;
2 4
3π
⇒ 2x ∈ π ;
2
2
2
= − 5.
. Thế vào (1) ta có P =
⇒ sin 2 x < 0 ⇒ sin 2 x = −
2
5
−
5
Đ/s: P = − 5.
4
sin x sin 2 x − 2 cos3 x + 2 cos5 x
π
Ví dụ 8. [ĐVH]: Cho x ∈ ; π và sin x = . Tính P =
.
5
sin x cos 2 x + sin 5 x
2
sin x.2 sin x cos x − 2 cos x (1 − cos x )
3
Ta có P =
sin x ( cos 2 x − sin 2 x ) + sin 5 x
Lời giải:
2
=
2sin 2 x cos x − 2 cos3 x sin 2 x
sin x cos 2 x − sin 3 x (1 − sin 2 x )
2sin 2 x cos x (1 − cos 2 x )
2 sin 2 x cos x sin 2 x
2sin 4 x cos x
2sin 3 x
=
=
=
=
sin x cos 2 x − sin 3 x cos 2 x sin x cos 2 x (1 − sin 2 x ) sin x cos 2 x cos 2 x cos3 x
2
Bài ra có sin x =
(1)
2
4
3
4 3
⇒ cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − = ⇒ cos x = ± .
5
5
5 5
3
4
128
3
π
Mà x ∈ ; π ⇒ cos x < 0 ⇒ cos x = − . Thế vào (1) ta có 2 5 = −
.
3
27
5
2
−
5
Đ/s: P = −
128
.
27
x
x
sin 5 x + 3sin x cos 4 x − 2sin cos
1− 2
π
2
2.
Ví dụ 9. [ĐVH]: Cho x ∈ 0; và cos x =
. Tính P =
6
6
4
2
sin x + cos x + 3cos x − 1
2
Lời giải:
x
x
Ta có sin 5 x + 3sin x cos 4 x − 2 sin cos = sin 5 x + 3sin x cos 4 x − sin x
2
2
= 3sin x cos 4 x − sin x (1 − sin 4 x ) = 3sin x cos 4 x − sin x (1 − sin 2 x )(1 + sin 2 x )
= 3sin x cos 4 x − sin x cos 2 x (1 + sin 2 x ) = sin x cos 2 x ( 3cos 2 x − 1 − sin 2 x )
= sin x cos 2 x ( 3cos 2 x − sin 2 x − cos 2 x − sin 2 x ) = 2sin x cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x ) .
sin 6 x + cos 6 x + 3cos 4 x − 1 = ( sin 2 x + cos 2 x )( sin 4 x + cos 4 x − sin 2 x cos 2 x ) + 3cos 4 x − 1
= ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x + 3cos 4 x − 1 = 3cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x ) .
2
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Do đó P =
2 sin x cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x )
3cos x ( cos x − sin x )
2
2
2
2
= sin x
3
Facebook: LyHung95
(1)
2
1− 2 1+ 2 2
1− 2
1+ 2 2
⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −
=±
.
Bài ra có cos x =
=
2
4
2
2
1+ 2 2
2 1+ 2 2
1+ 2 2
π
Mà x ∈ 0; ⇒ sin x > 0 ⇒ sin x =
. Thế vào (1) có P = .
=
.
2
3
2
3
2
Đ/s: P =
1+ 2 2
.
3
2 2
sin 6 x + cos 6 x − 1
π
π
Ví dụ 10. [ĐVH]: Cho x ∈ 0; và cos x =
. Tính P =
.sin x + .
4
4
3
sin x + cos x − 1
4
2
Lời giải:
sin x + cos x )( sin x + cos x − sin x cos 2 x ) − 1 sin x + cos x
(
Ta có P =
.
2
2
( sin 2 + cos2 x ) − 2sin 2 x cos2 x − 1
2
( sin
=
=
2
2
4
4
2
x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x − 1 sin x + cos x
.
1 − 2sin 2 x cos 2 x − 1
2
2
1 − 3sin 2 x cos 2 x − 1 sin x + cos x
3
=
.
( sin x + cos x )
2
2
−2sin x cos x
2
2 2
(1)
2
2 2 1 2
2 2
1
Bài ra có cos x =
⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −
= ⇒ sin x = ± .
3
3
3 3
1
3 1 2 2 1+ 2 2 4 + 2
π
Mà x ∈ 0; ⇒ sin x > 0 ⇒ sin x = . Thế vào (1) có P =
=
.
+
=
3
3
4
2 2 3
2 2
2
Đ/s: P =
4+ 2
.
4
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
sin 2 x
sin x + cos x
a)
−
= sin x + cos x
sin x − cos x
tan 2 x − 1
b) 1 − cot 4 x =
2
1
− 4
2
sin x sin x
Bài 2. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1 + sin 2 x
= 1 + 2 cot 2 x
2
1 − cos x
b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2
Bài 3. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x
=
cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x
b)
cos 2 x − sin 2 x
= sin 2 x.cos 2 x
cot 2 x − tan 2 x
Bài 4. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau:
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
a)
1 − 4sin 2 x cos 2 x
= (sin x − cos x) 2
2
(sin x + cos x)
b)
Facebook: LyHung95
sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x
= tan 4 x
2
2
4
cos x − sin x + sin x
Bài 5. [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau
a) A =
1 − cos x
1
−
2
sin x 1 + cos x
b) B =
1 − sin 2 x.cos 2 x
− cos 2 x
2
cos x
Bài 6. [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau
a) C =
1 − cos x
1 + cos x
−
1 + cos x
1 − cos x
b) D = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1
Bài 7. [ĐVH]: Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) sin x =
1
π
;0 < x <
2
3
c) tan x + cot x = 2; 0 < x <
b) cot x = − 2; −
π
2
d) cos x =
π
< x<0
2
2
3π
;π < x <
2
6
Bài 8. [ĐVH]: Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) tan x − cot x = −
2
3π
;π < x <
2
3
b) tan x = −
1 π
; - Xem thêm -