Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Khoa học tự nhiên Toán học 01_bien doi luong giac_mau 2015_bg...

Tài liệu 01_bien doi luong giac_mau 2015_bg

.PDF
7
242
109

Mô tả:

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 CÁC DẠNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ 1. [ĐVH]: Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau: 1 π 2 π ; 0  → cos x = . 2 3  sin x 1 2 = =  tan x = cos x 2 2 4 Từ đó ta được:  cot x = 1 = 2 2  tan x −2 4 1 1 b) cos x = ⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = ± 5 5 5 5 π 1 Do < x < π ⇒ sin x > 0  → sin x = . 2 5 sin x −1   tan x = cos x = 2 Từ đó ta được:  cot x = 1 = −2  tan x 1 1 c) Từ tan x = 2 ⇒ cot x = = tan x 2 2  1  2 sin x = ± sin x  cos x =  =2 sin x = 2 cos x 5  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x  2 sin 2 x + cos 2 x = 1 5 cos x = 1 sin 2 x = 4 cos x = ± 1  5  5  −2  sin x =  sin x < 0 3π 5  Do π < x < ⇒ ⇒ 2 cos x < 0 cos x = −1  5 1 1 d) cot x = − ⇒ tan x = = −2 2 cot x 2  1  2 sin x = ± sin x  cos x =   = −2 sin x = −2 cos x 5  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 2 5cos x = 1  2 sin 2 x = 4 cos x = ± 1 sin x + cos x = 1   5 5 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] −2  sin x =  sin x < 0 3π 5  Do < x < 2π ⇒  ⇒ 2 cos x > 0 cos x = 1  5 Ví dụ 2. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau: a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x c) 1 − Facebook: LyHung95 sin x + cos x − 1 cos x = sin x − cos x + 1 1 + sin x tan x + tan y d) tan x.tan y = cot x + cot y b) sin 2 x cos 2 x − = sin x cos x 1 + cot x 1 + tan x Lời giải: sin x sin x − sin x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x) 2 sin a) tan 2 x − sin 2 x = − x = = = tan 2 x sin 2 x ⇒ đpcm. 2 2 2 cos x cos x cos x b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được: x x x 2sin x  cos x − sin x  x x 2 sin cos − 2sin 2   cos − sin sin x + cos x − 1 2 2 2  = 2 2 2 = 2 2 , (1) = x x x x x sin x − cos x + 1 2sin x cos x + 2sin 2 x 2sin  cos + sin  cos − sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x cos 2 − sin 2 cos − sin cos x 2 2 = 2 2 , ( 2). Mặt khác = 2 x x 1 + sin x  x x cos + sin  sin 2 + cos 2  2 2   Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x cos3 x sin 3 x + cos3 x c) 1 − − = 1− − = 1− − = 1− = cos x sin x 1 + cot x 1 + tan x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 1+ 1+ sin x cos x 2 2 (sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x) = 1− = 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm. sin x + cos x sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d) = = = = tan x tan y ⇒ đpcm. cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y sin x sin y sin x sin y Ví dụ 3. [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau 2 2 2 A= cos 2 x + cos 2 x cot 2 x sin 2 x + sin 2 x tan 2 x B= cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 2(1 + sin x) . (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x Lời giải: cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) 2 2 cos x + cos x . cos 2 x + cos 2 x cot 2 x cos 4 x sin 2 x = sin 2 x  Ta có A = = = = cot 4 x 2 2 2 2 2 2 2 4 sin x sin x(cos x + sin x) sin x sin x + sin x tan x sin 2 x + sin 2 x. 2 cos x cos 2 x  Ta có Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2 = = = (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x (1 − sin x + 1 + sin x) cos x 2 cos x 2 cos x (1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x  →B = . = = = cos x 2 cos x 1 − sin x cos x cos x  cos x  3  sin x  3  C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +  sin x + 1 +  cos x − sin x cos x =  sin x   cos x  = sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x = (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x (1 − cos x ) + 4 cos x + (1 − sin x ) + 4sin x ( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + 2 = 3  Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x = = cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 4. [ĐVH]: Tính giá trị các biểu thức sau 9 3π π  a) A = tan  x −  , với cos x = − ; π < x < 41 2 4  8 5 b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin a = , tan b = 17 12 Tính: sin ( a − b ) , cos ( a + b ) , tan ( a − b ) Lời giải: 9 81 1600 40 a) cos x = − ⇔ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = ± 41 1681 1681 41 3π 40 sin x 40 Do π < x <  → sin x < 0  → sin x = −  → tan x = = 2 41 cos x 9 40 π −1 tan x − tan π 31  4 = 9 Từ đó ta được A = tan  x −  = = . π 40 4  1 + tan x tan 49  1+ 4 9 b) Ta có: 8 15  sin a =  → cos a = ± 17 17 15 8 Do a là góc nhọn ⇒ cos a > 0  → cos a =  → tan a = . 17 15 5 5  tan b = ⇔ sin b = cos b 12 12 5  5  sin b = ±  sin b = cos b  13 Từ đó ta có  ⇔ 12 sin 2 b + cos 2 b = 1 cos b = ± 12   13 5  sin b = 13 Do b là góc nhọn nên sin b > 0; cos b > 0  → cos b = 12  13 8 12 15 5 21 • sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = . − . = 17 13 17 13 221 15 12 8 5 140 • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = . − . = 17 13 17 13 221 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 8 5 − tan a − tan b 15 12 = 21 • tan(a − b) = = 1 + tan a tan b 1 + 8 . 5 220 15 12 Ví dụ 5. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau sin ( a + b ) sin ( a − b ) a) tan 2 a − tan 2 b = cos 2 a.cos 2 b 1 3 b) sin 4 x + cos 4 x = cos 4 x + 4 4 6 + 2 cos 4 x c) = cot 2 x + tan 2 x 1 − cos 4 x Lời giải: sin a sin b sin a.cos b − sin 2 b.cos 2 a 2 2 a) tan a − tan b = − = cos 2 a cos 2 b cos 2 a.cos 2 b (sin a cos b − sin b cos a )(sin a cos b + sin b cos a ) sin(a − b)sin(a + b) = = cos 2 a.cos 2 b cos 2 a.cos 2 b 2 1 1 3 1 b) sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2(sin x cos x) 2 = 1 − 2. sin 2 2 x = 1 − (1 − cos 4 x) = + cos 4 x 4 4 4 4 2 2 4 4 sin x cos x sin x + cos x c) tan 2 x + cot 2 x = + = cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x  1 2   1 1  2 sin 2 x + cos 2 x − 2(sin x cos x) 2 4  1 − 2 sin 2 x  4 1 − 4 + 4 cos 4 x  6 + 2 cos 4 x = = = = 2 1 2 1 − cos 4 x sin 2 x 1 − cos 4 x sin 2 x 4 2 2 9  π  Ví dụ 6. [ĐVH]: Cho x ∈  0;  và ( cos 2 2 x − 4sin x 2 cos 2 x ) = . Tính P = sin x cos x cos x 2 x cos 4 x. 10  16  2 ( 2 2 2 ) Lời giải: 1 1 1 Ta có P = sin 2 x cos 2 x cos 4 x = sin 4 x cos x 4 x = sin 8 x 2 4 8 Bài ra có ( cos 2 2 x − 4sin x 2 cos 2 x ) = 2 (1) 2 9 9 9 ⇔ ( cos 2 2 x − sin 2 2 x ) = ⇔ cos 2 4 x = 10 10 10 1 + cos8 x 9 4 3  4 3 = ⇔ cos 8 x = ⇒ sin 2 8 x = 1 − cos 2 8 x = 1 −   =   ⇒ sin 8 x = ± . 2 10 5 5 5 5 2 ⇔ 2 1 3 3 3  π   π Mà x ∈  0;  ⇒ 8 x ∈  0;  ⇒ sin 8 x > 0 ⇒ sin 8 x = . Thế vào (1) ta có P = . = . 8 5 40 5  16   2 Đ/s: P = 3 . 40 tan x 5 −1  π 3π  Ví dụ 7. [ĐVH]: Cho x ∈  ;  và = . Tính P = sin 2 tan x + cos 2 cot x + sin 2 x. cot x 2 4 5 +1   Lời giải: 2 2 sin 3 x cos3 x sin 4 x + cos 4 x + 2sin 2 x cos 2 x ( sin x + cos x ) 2 Ta có P = + + 2sin x cos x = = = cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin 2 x 2 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 (1) Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Bài ra có tan x 5 −1 5 −1 sin 2 x 5 −1 = ⇔ tan 2 x = ⇔ = ⇔ 2 cot x cos x 5 +1 5 +1 5 +1 ( ⇔ sin 2 x + cos 2 x = ( cos 2 x − sin 2 x ) 5 ⇔ 1 = 5 cos 2 x ⇔ cos 2 x = 2 Facebook: LyHung95 ) 5 + 1 sin 2 x = ( ) 5 − 1 cos 2 x 1 5 2 2  1   2  ⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x1 = 1 −  .  =  ⇒ sin 2 x = ± 5  5  5 2 2  π 3π Mà x ∈  ; 2 4   3π  ⇒ 2x ∈ π ; 2   2 2  = − 5. . Thế vào (1) ta có P =  ⇒ sin 2 x < 0 ⇒ sin 2 x = − 2 5  − 5 Đ/s: P = − 5. 4 sin x sin 2 x − 2 cos3 x + 2 cos5 x π  Ví dụ 8. [ĐVH]: Cho x ∈  ; π  và sin x = . Tính P = . 5 sin x cos 2 x + sin 5 x 2  sin x.2 sin x cos x − 2 cos x (1 − cos x ) 3 Ta có P = sin x ( cos 2 x − sin 2 x ) + sin 5 x Lời giải: 2 = 2sin 2 x cos x − 2 cos3 x sin 2 x sin x cos 2 x − sin 3 x (1 − sin 2 x ) 2sin 2 x cos x (1 − cos 2 x ) 2 sin 2 x cos x sin 2 x 2sin 4 x cos x 2sin 3 x = = = = sin x cos 2 x − sin 3 x cos 2 x sin x cos 2 x (1 − sin 2 x ) sin x cos 2 x cos 2 x cos3 x 2 Bài ra có sin x = (1) 2 4 3  4 3 ⇒ cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 −   =   ⇒ cos x = ± . 5 5 5 5 3  4    128 3 π  Mà x ∈  ; π  ⇒ cos x < 0 ⇒ cos x = − . Thế vào (1) ta có 2  5  = − . 3 27 5 2  −   5 Đ/s: P = − 128 . 27 x x sin 5 x + 3sin x cos 4 x − 2sin cos 1− 2  π 2 2. Ví dụ 9. [ĐVH]: Cho x ∈  0;  và cos x = . Tính P = 6 6 4 2 sin x + cos x + 3cos x − 1  2 Lời giải: x x Ta có sin 5 x + 3sin x cos 4 x − 2 sin cos = sin 5 x + 3sin x cos 4 x − sin x 2 2 = 3sin x cos 4 x − sin x (1 − sin 4 x ) = 3sin x cos 4 x − sin x (1 − sin 2 x )(1 + sin 2 x ) = 3sin x cos 4 x − sin x cos 2 x (1 + sin 2 x ) = sin x cos 2 x ( 3cos 2 x − 1 − sin 2 x ) = sin x cos 2 x ( 3cos 2 x − sin 2 x − cos 2 x − sin 2 x ) = 2sin x cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x ) . sin 6 x + cos 6 x + 3cos 4 x − 1 = ( sin 2 x + cos 2 x )( sin 4 x + cos 4 x − sin 2 x cos 2 x ) + 3cos 4 x − 1 = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x + 3cos 4 x − 1 = 3cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x ) . 2 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Do đó P = 2 sin x cos 2 x ( cos 2 x − sin 2 x ) 3cos x ( cos x − sin x ) 2 2 2 2 = sin x 3 Facebook: LyHung95 (1) 2  1− 2  1+ 2 2 1− 2 1+ 2 2 ⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −  =± . Bài ra có cos x =  = 2 4 2  2  1+ 2 2 2 1+ 2 2 1+ 2 2  π Mà x ∈  0;  ⇒ sin x > 0 ⇒ sin x = . Thế vào (1) có P = . = . 2 3 2 3  2 Đ/s: P = 1+ 2 2 . 3 2 2 sin 6 x + cos 6 x − 1 π  π  Ví dụ 10. [ĐVH]: Cho x ∈  0;  và cos x = . Tính P = .sin  x +  . 4 4 3 sin x + cos x − 1 4  2  Lời giải: sin x + cos x )( sin x + cos x − sin x cos 2 x ) − 1 sin x + cos x ( Ta có P = . 2 2 ( sin 2 + cos2 x ) − 2sin 2 x cos2 x − 1 2 ( sin = = 2 2 4 4 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x − 1 sin x + cos x . 1 − 2sin 2 x cos 2 x − 1 2 2 1 − 3sin 2 x cos 2 x − 1 sin x + cos x 3 = . ( sin x + cos x ) 2 2 −2sin x cos x 2 2 2 (1) 2  2 2   1 2 2 2 1 Bài ra có cos x = ⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −   =   ⇒ sin x = ± . 3 3  3  3 1 3  1 2 2  1+ 2 2 4 + 2  π Mà x ∈  0;  ⇒ sin x > 0 ⇒ sin x = . Thế vào (1) có P = = .  + = 3 3  4 2 2  3 2 2  2 Đ/s: P = 4+ 2 . 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau: sin 2 x sin x + cos x a) − = sin x + cos x sin x − cos x tan 2 x − 1 b) 1 − cot 4 x = 2 1 − 4 2 sin x sin x Bài 2. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau: a) 1 + sin 2 x = 1 + 2 cot 2 x 2 1 − cos x b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2 Bài 3. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x = cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x b) cos 2 x − sin 2 x = sin 2 x.cos 2 x cot 2 x − tan 2 x Bài 4. [ĐVH]: Chứng minh các đẳng thức sau: Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] a) 1 − 4sin 2 x cos 2 x = (sin x − cos x) 2 2 (sin x + cos x) b) Facebook: LyHung95 sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x = tan 4 x 2 2 4 cos x − sin x + sin x Bài 5. [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau a) A = 1 − cos x 1 − 2 sin x 1 + cos x b) B = 1 − sin 2 x.cos 2 x − cos 2 x 2 cos x Bài 6. [ĐVH]: Rút gọn các biểu thức sau a) C = 1 − cos x 1 + cos x − 1 + cos x 1 − cos x b) D = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1 Bài 7. [ĐVH]: Tính giác trị của các hàm số lượng giác a) sin x = 1 π ;0 < x < 2 3 c) tan x + cot x = 2; 0 < x < b) cot x = − 2; − π 2 d) cos x = π < x<0 2 2 3π ;π < x < 2 6 Bài 8. [ĐVH]: Tính giác trị của các hàm số lượng giác a) tan x − cot x = − 2 3π ;π < x < 2 3 b) tan x = − 1 π ; - Xem thêm -